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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III
– 2012/1
Prova Final (PF): 02/07/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
F e = qE , E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
, E = −∇V , V = k0 q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv , V = RI ,
Fm = qv ×B , dFm = Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , dB = µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um anel circular condutor de raio R, ao longo
do qual passa uma corrente estaciona´ria de intensidade I.
Um fio retil´ıneo, de comprimento L muito grande, per-
corrido por uma corrente estaciona´ria de intensidade 2I,
cruza o centro do anel, perpendicularmente ao seu plano.
Qual o mo´dulo da forc¸a magne´tica entre a espira e o fio?
(a) µ0I
2.
(b) 2µ0I
2.
(c) µ0LI
2/R.
(d) µ0LI
2/(2R).
(e) 0.
2. Uma corrente estaciona´ria, de intensidade I, percorre o
circuito constitu´ıdo por dois arcos circulares de raios a e
2a e dois segmentos radiais de comprimento a. Qual e´ a
raza˜o Ba/B2a entre os mo´dulos campos magne´ticos gera-
dos pelos arcos circulares de raio a e de raio 2a no ponto
central P?
(a)
√
2.
(b) 1/
√
2.
(c) 1/2.
(d) 2.
(e) 1.
(f) θ/2.
3. Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga
constante (estaciona´ria e uniforme). Na figura, esta˜o re-
presentadas quatro superf´ıcies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4),
com disposic¸o˜es particularmente sime´tricas com respeito
ao plano carregado. Dentre elas, qual(is) exatamente
aquela(s) que e´(sa˜o) apropriada(s) para a determinac¸a˜o
de uma expressa˜o geral para o campo ele´trico num ponto
gene´rico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?
(a) S1.
(b) S2.
(c) S3.
(d) S4.
(e) S1 e S2.
(f) S2 e S3.
(g) S2 e S4.
(h) S3 e S4.
1
4. Considere a distribuic¸a˜o de cargas da figura. Sa˜o oito seg-
mentos retil´ıneos de mesmo comprimento, uniformemente
carregados com densidade linear de mesmo mo´dulo λ > 0.
O aˆngulo entre segmentos vizinhos e´ o mesmo (45◦). Qual
das alternativas melhor representa o campo ele´trico resul-
tante na origem O?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) E = 0.
5. Para aumentar a auto-indutaˆncia de um soleno´ide com
N espiras compactadas, de sec¸a˜o reta circular de raio R,
comprimento (ou altura) h, percorrido por uma corrente I,
qual das modificac¸o˜es a seguir devemos efetuar, mantido
todo o resto inalterado?
(a) Aumentar a corrente que passa em suas espiras.
(b) Diminuir o seu raio.
(c) Aumentar o seu comprimento (ou altura).
(d) Aumentar o nu´mero de espiras.
(e) Rechear seu interior com um material isolante.
6. Entre as placas circulares, de raio R, de um capacitor
plano-paralelo, o vetor campo ele´trico E tem mo´dulo vari-
ando na forma E = E0 [1− exp(−bt)], sendo b uma cons-
tante positiva. Podemos afirmar que uma corrente de des-
locamento ID aparece no interior do capacitor cujo mo´dulo
ma´ximo e´ dado por
(a) ǫ0E0bπR
2.
(b) µ0ǫ0E0bπR
2.
(c) ǫ0E0bR
2.
(d) ǫ0E0πR
2.
(e) ǫ0E0πR
2/µ0.
7. Um fio cil´ındrico, de sec¸a˜o reta circular, e´ constitu´ıdo por
um material condutor oˆhmico homogeˆneo. Se dobrarmos
tanto o seu comprimento quanto o seu raio, mantendo-o
ligado a uma mesma bateria, a corrente que passara´ no
fio
(a) tera´ a mesma intensidade que antes.
(b) tera´ intensidade 2 vezes menor que antes.
(c) tera´ intensidade 2 vezes maior que antes.
(d) tera´ intensidade 4 vezes menor que antes.
(e) tera´ intensidade 4 vezes maior que antes.
8. Um capacitor de placas em forma de discos circulares,
ideˆnticas e de raio R, separadas por uma distaˆncia D, esta´
conectado a uma fonte de voltagem V constante. Ao in-
troduzir um meio diele´trico entre as placas do capacitor,
preenchendo totalmente a regia˜o entre as placas, pode-
mos afirmar, com respeito ao mo´dulo Q da carga em cada
placa, a` capacitaˆncia C e ao mo´dulo do campo ele´trico E
entre as placas, que, respectivamente:
(a) permanece o mesmo, diminui e aumenta.
(b) diminui, aumenta e aumenta.
(c) aumenta, aumenta e permanece o mesmo.
(d) aumenta, aumenta e diminui.
(e) aumenta, permanece a mesma e permanece o
mesmo.
(f) diminui, diminui e diminui.
(g) permanece o mesmo, diminui e diminui.
2
9. Uma espira condutora circular esta´ em repouso, com seu
plano perpendicular a um campo magne´tico constante (es-
taciona´rio e uniforme). No instante t = 0, a espira comec¸a
a girar em torno de um eixo de simetria que passa pelo
seu centro e pertence a seu plano. Dentre as opc¸o˜es a
seguir, indique aquela que melhor representa o fluxo co
campo magne´tico ΦB (curva cont´ınua) e a corrente in-
duzida Iind (curva pontilhada) na espira condutora, em
func¸a˜o do aˆngulo θ = ωt entre o vetor campo magne´tico
B e o vetor unita´rio normal a` espira nˆ.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10. Um campo eletrosta´tico possui superf´ıcies equipotenciais
planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista de
perfil, pelas treˆs retas tracejadas, igualmente espac¸adas de
uma distaˆncia L, com V1 = 2V2 = 3V3 > 0. Ale´m disso,
sa˜o mostradas quatro trajeto´rias orientadas, por curvas
cont´ınuas, que partem da equipotencial V1 e passam pelas
demais equipotenciais. Considere as afirmac¸o˜es: (I) o ve-
tor campo ele´trico (me´dio) E12 entre as equipotenciais V1
e V2 e´ dado por −(V2/L)yˆ ; (II) o trabalho realizado pela
forc¸a eletrosta´tica ao deslocar-se uma part´ıcula carregada
e´ o mesmo em todas as trajeto´rias mostradas; (III) o tra-
balho realizado pela forc¸a eletrosta´tica ao deslocar-se uma
part´ıcula carregada positiva na trajeto´ria de g para h e´ ne-
gativo. Qual(is) de tais afirmativas esta´(a˜o) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) I.
(c) II.
(d) III.
(e) I e II.
(f) I e III.
(g) II e III.
(h) Todas.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande que possui uma
densidade superficial de carga constante σ. A placa e´ recoberta lateralmente
por duas laˆminas de espessura D e densidade volumar de carga constante ρ.
(a) Utilizando a lei de Gauss, obtenha o vetor campo ele´trico E(z) produzido
pela distribuic¸a˜o de cargas a uma distaˆncia |z| da placa central para os casos
em que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Fac¸a um gra´fico esboc¸ando o
comportamento da componente Ez versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para
o caso em que σ e ρ sa˜o positivos. [1,7 ponto]
(b) Usando a expressa˜o para o vetor E(z) e tomando como refereˆncia o potencial
ele´trico V
D
≡ V (z = D) na superf´ıcie externa da laˆmina lateral (a` direita),
obtenha a expressa˜o para o potencial ele´trico V (z) produzido pela distribuic¸a˜o
de cargas a uma distaˆncia |z| considerando os mesmos casos acima, ou seja, em
que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Fac¸a um gra´fico esboc¸ando o
comportamento de V versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para o caso em que
σ e ρ sa˜o positivos. [1,8 ponto]
2. [2,5 pontos] A Fig. 2a mostra um cabo coaxial muito longo constitu´ıdo de um condutor cil´ındrico, so´lido, de raio a envolvido
por uma casca cil´ındrica condutora, muito fina, de raio b. Sabe-se que essas duas partes constituintes do cabo sa˜o percorridas
por correntes ele´tricas estaciona´rias de mesmo mo´dulo i e sentidos contra´rios, uniformemente distribu´ıdas ao longo de suas
sec¸o˜es transversais.
(a) Utilizando a lei de Ampe`re, obtenha o campo magne´tico B(r) nas treˆs regio˜es definidas por: (i) 0 ≤ r ≤ a ; (ii) a ≤ r < b ;
e (iii) b < r <∞, sendo r a distaˆncia ate´ o eixo do cabo. [1,5 ponto]
(b) Calcule o fluxo do campo magne´tico Φ
B
produzido pelocabo coaxial atrave´s do retaˆngulo, de altura h e largura b,
indicado na Fig. 2b. [0,5 ponto]
(c) Calcule a energia armazenada, por unidade de comprimento ao longo do eixo de simetria, no campo magne´tico entre o
eixo de simetria r = 0 e a casca cil´ındrica r = b. [0,5 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (d)
3. (e)
4.
(b)
5. (d)
6. (a)
7. (c)
8. (c)
9. (a)
10. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria plana da distribuic¸a˜o de carga, e´ conveniente aplicarmos a lei de Gauss para a determinac¸a˜o do campo
ele´trico. De fato, tal simetria exige que
• das 3 componentes cartesianas que o campo ele´trico possui, 2 sa˜o nulas, a saber:
Ex(r) ≡ 0 (1)
Ey(r) ≡ 0 . (2)
• a componente na˜o nula restante e´ func¸a˜o somente da coordenada cartesiana z:
Ez(r) = Ez(z) . (3)
• essa mesma componente satisfaz uma simetria de reflexa˜o (ou especular):
Ez(−z) = −Ez(z) . (4)
O campo ele´trico a ser determinado possui, portanto, linhas de campo retil´ıneas paralelas ao eixo Z. Isso tudo nos motiva
a tomar como superf´ıcie gaussiana aquela mostrada na Fig. 1a, ou seja, uma superf´ıcie cil´ındrica circular, constitu´ıda pela
unia˜o de treˆs superf´ıcies disjuntas: (i) uma base Be a` esquerda da placa fina (bidimensional), no plano z = −|z|; (ii) outra
base Bd a` direita da placa fina (bidimensional), no plano z = |z|, e (iii) uma superf´ıcie lateral Slat.
1
Calcularemos, primeiro, o fluxo, pela sua pro´pria definic¸a˜o, atrave´s da gaussiana. Temos
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆ dA
=
∫
Be
E · nˆ dA+
∫
Bd
E · nˆ dA+
∫
Slat
E · nˆ dA
=
∫
Be
E · nˆ dA+
∫
Bd
E · nˆ dA [usamos que E ⊥ nˆ em Slat]
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
Ez(−|z|)zˆ · (−zˆ) dA+
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|)zˆ · zˆ dA
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
−Ez(|z|)(−1) dA +
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA [usamos (4)]
= 2
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA
= 2Ez(|z|)A . (5)
Naturalmente, tal expressa˜o vale para qualquer valor de |z|, ou seja, tanto para 0 < |z| ≤ D, quanto para D ≤ |z| < ∞,
apesar da Fig. 1a so´ sugerir uma gaussiana dentro da distribuic¸a˜o de carga.
A segunda etapa preparato´ria para a aplicac¸a˜o da lei de Gauss implica em determinar a carga no interior da correspondente
gaussiana e, enta˜o, teremos duas possibilidades:
• 0 < |z| ≤ D:
Qint[S] = σA+ ρ2|z|A
= (σ + 2ρ|z|)A . (6)
• D ≤ |z| <∞:
Qint[S] = σA+ ρ2DA
= (σ + 2ρD)A . (7)
2
Comparando (5) e (6) ou (7), via a lei de Gauss, obtemos, finalmente, para o campo ele´trico as expresso˜es:
E(z) =
1
2ǫ0
.


−(σ + 2ρD) zˆ , se −∞ < z ≤ −D ;
(−σ + 2ρz) zˆ , se −D ≤ z < 0 ;
(σ + 2ρz) zˆ , se 0 < z ≤ D ;
(σ + 2ρD) zˆ , se D ≤ z <∞ .
(8)
Devemos observar que o campo ele´trico na˜o e´ definido para z = 0. Contudo, para pontos muit´ıssimo pro´ximos da placa
fina, Ez tende ao valor E0 := σ/(2ǫ0) pela direita e −E0 pela esquerda. Ja´ na regia˜o externa a`s laˆminas, Ez tem o valor
constante ED := (σ + 2ρD)/(2ǫ0) pela direita e −ED pela esquerda.
O gra´fico correspondente para a componente Ez versus a coordenada z e´ mostrado na Fig. 1b.
�
(b) Na avaliac¸a˜o do potencial ele´trico, novamente considerando a simetria do sistema, tomemos como caminho de integrac¸a˜o
C linhas ortogonais a` placa central. Deste modo, para a regia˜o interna a` laˆmina do lado positivo do eixo Z (0 < z ≤ D) ,
teremos
V
in
(z)− V
D
= −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρ z) zˆ.dz zˆ
ou seja,
V
in
(z) = V
D
+
1
2ǫo
[σ(D − z) + ρ(D2 − z2)] .
3
Nestas condic¸o˜es o potencial ele´trico na placa central sera´ dado por Vo = V (0) = VD + (σD + ρD
2)/(2ǫo). Procedendo da
mesma forma para a regia˜o externa a` laˆmina do lado positivo do eixo Z (z ≥ D) , teremos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρD) zˆ.dz zˆ =⇒ V
ex
(z) = V
D
−
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(z −D) .
Na regia˜o −D ≤ z ≤ 0 teremos
V
in
(z)− V (0) = −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ =
1
2ǫo
∫ 0
z
(−σ + 2ρ z) zˆ.dz zˆ = 1
2ǫo
(σz − ρz2)
que, usando o valor de V (0), podemos escrever como
Vin(z) = VD +
1
2ǫo
[σ(D + z) + ρ(D2 − z2)].
Este resultado mostra que, em particular, V (−D) = VD. Por fim, na regia˜o z ≤ −D temos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ −D
z
(σ + 2ρD) zˆ.dz zˆ =⇒ V
ex
(z) = V
D
+
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(D + z) .
Portanto, ao considerarmos os resultados teremos que
V (z) = V
D
+
1
2ǫ0
.
{ [
σ(D − |z|) + ρ(D2 − z2)] , se 0 ≤ |z| ≤ D ;
(σ + 2ρD)(D − |z|) , se D ≤ |z| <∞ .
e sera´ nulo quando |z| = |zo| =
√
[D + σ/(2ρ)]2 + 2ǫoVD/ρ − σ/(2ρ). O gra´fico apresentado na figura 1c ilustra o
comportamento de V (z) em geral.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Segundo a lei de Ampe`re temos que ∮
B · dℓ = µ0i,
onde i e´ a soma alge´brica das correntes englobadas pelo percurso de integrac¸a˜o.
Ou justificativa extensa: Levando em conta a simetria axial apresentada pelo sistema enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re
assumindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cabo e contidos em um plano ortogonal a ele. Neste
caso dℓ = r dφ φˆ e pela simetria do sistema devemos ter B = Bφ(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma
maneira geral considerando i = i(r) .
Ou justificativa compacta: Considerando a simetria cil´ındrica do sistema e tomando como contorno de integrac¸a˜o c´ırculos
de raio r a partir do eixo do cilindro, temos
∮
B · dℓ = 2πrBφ(r).
Enta˜o, ∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
Bφ(r) φˆ · r dφ φˆ = Bφ(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πr Bφ(r).
Aplicando a lei de Ampe`re,
B(r) =
µ0 i(r)
2πr
φˆ .
Podemos agora particularizar este resultado geral para as treˆs regio˜es de nosso sistema.
4
• r < a:
i(r) =
∫
S
1
j
1
.dS =
∫ r
0
(
i
πa2
)
2πr dr =
( r
a
)
2
i.
Ou:
Densidade de corrente atrave´s da a´rea A da sec¸a˜o reta do cilindro de raio a: j = i/A = i/πa2.
Densidade de corrente atrave´s da a´rea A′ < A definida pela curva amperiana de raio r < a: j = i(r)/A′ = i(r)/πr2.
Como essas densidades sa˜o iguais, tem-se que i(r) = (r/a)2i.
Enta˜o,
B(r) =
µ0 i r
2πa2
φˆ .
• a < r < b :
i(r) = i .
Logo,
B(r) =
µ0 i
2πr
φˆ .
• r > b :
i(r) = i− i = 0 .
Logo,
B(r) = 0 .
Considerac¸o˜es sobre o campo B(r): (i) apresenta o seu maior valor B(a) = µoi/(2πa) na superf´ıcie do cilindro macic¸o
interno; (ii) na˜o e´ definido para r = b. Contudo para pontos internos muit´ıssimo pro´ximos a` casca cil´ındrica ele tende ao
valor B(b) = µoi/(2πb).
5
�
(b) Considere a figura acima.
A partir dos resultados encontrados para o campo magne´tico e tomando como elementos de a´rea tiras longitudinais (figura
acima) com d~S = hdr φˆ , enta˜o teremos que
Φ
B
=
∫ a
0
~B
1
.d~S +
∫ b
a
~B
2
.d~S =
µoih
2π
{
1
a2
∫ a
0
r dr +
∫ b
a
dr
r
}
,
ou seja,
Φ
B
=
µoih
4π
[
1 + 2 ln
(
b
a
)]
.
�
(c) No caso da energia acumulada no campo magne´tico, devemos lembrar que a densidade de energia u
B
e´ dada por
u
B
=
B2
2µo .
Por sua vez,
u
B
=
dU
B
dV ,
onde dV e´ o elemento de volume: dV = 2πhrdr, com h sendo o comprimento de um pedac¸o do cabo coaxial. Portanto,
dU
B
= u
B
dV =
B2
2µo
2πhrdr.
Como
U
B
=
∫ b
r=0
u
B
dV =
∫ a
r=0
u
B
dV +
∫ b
r=a
u
B
dV ,
temos que
U
B
=
πh
µo
∫ a
0
B2rdr +
πh
µo
∫ b
a
B2rdr.
Usando os resultados obtidos para B no item (a) acima, determina-se que a energia magne´tica armazenada por unidade de
comprimento e´:
U
B
h
=
µoi
2
16π
[1 + 4 ln
(
b
a
)]
.
�
6