1298175 cap 09 centro de massa e momento linear

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Física Geral I
Centro de Massa e Momento Linear
Profa. Cláudia Vasconcelos
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas
Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
Cláudia Vasconcelos (PUC Minas) Física Geral II 2 / 34
Outline
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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O Centro de Massa
Figura 9-1 (a) Uma bola
arremessada para cima segue uma
trajetória parabólica.
Figura 9-1 (b) O centro de massa
(ponto preto) de um taco de beisebol
arremessado para cima com um
movimento de rotação segue uma
trajetória parabólica, mas todos os
outros pontos do taco seguem
trajetórias curvas mais complicadas.
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O Centro de Massa
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se
(1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as
forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
Figura 9-1 (b) O centro de massa
(ponto preto) de um taco de beisebol
arremessado para cima com um
movimento de rotação segue uma
trajetória parabólica, mas todos os
outros pontos do taco seguem
trajetórias curvas mais complicadas.
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O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
Figura 9-2 (a) Duas partículas de
massas m1 e m2 estão separadas por
uma distância d. O ponto marcado
como CM mostra a posição do centro
de massa.
Posição do centro de massa
xCM =
m2
m1 + m2
d
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O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
Figura 9-2 (b) O mesmo que (a)
exceto pelo fato de que a origem foi
deslocada para a esquerda. A posição
do centro de massa pode ser calculada
usando a equação abaixo. A
localização do centro de massa em
relação às partículas é a mesma nos
dois casos.
Posição do centro de massa
xCM =
m1x1 + m2x2
m1 + m2
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O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
Posição do centro de massa - sistema com n partículas
xCM =
1
M
n∑
i=1
mixi yCM =
1
M
n∑
i=1
miyi zCM =
1
M
n∑
i=1
mizi
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O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
Posição do centro de massa - forma vetorial
~rCM = xCMiˆ + yCMjˆ + zCMkˆ
Posição do centro de massa - forma vetorial
~rCM =
1
M
n∑
i=1
mi~ri
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O Centro de Massa
Corpos Maciços
Posição do centro de massa - massas infinitesimais
xCM =
1
M
∫
x dm yCM =
1
M
∫
y dm zCM =
1
M
∫
z dm
Posição do centro de massa - volumes infinitesimais
xCM =
1
V
∫
x dV yCM =
1
V
∫
y dV zCM =
1
V
∫
z dV
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O Centro de Massa
Exemplo - Página 212
CM de três partículas
Três partículas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg formam um
triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa do sistema?
Figura 9-4 Três partículas formam um triângulo equilátero de lado a. A localização do
centro de massa é dada pelo vetor posição ~rCM.
Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
~Fres = M~aCM
1 ~Fres é a força resulntante de todas as forças externas que agem sobre o
sistema. Forças de uma parte do sistema que agem sobre outra parte
(forças internas) não devem ser incluídas.
2 M é a massa total do sistema. Supomos que nenhuma massa entra ou sai
do sistema durante o movimento, de modo que M permanece constante.
Nesse caso, dizemos que o sistema é fechado.
3 ~aCM é a aceleração do centro de massa do sistema. A equação não
fornece nenhuma informação a respeito da aceleração de outros pontos do
sistema.
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A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
Figura 9-5 Um fogo de artifício
explode no ar. Se não fosse a
resistência do ar, o centro de massa
dos fragmentos continuaria a seguir a
trajetória parabólica original até que
os fragmentos começassem a atingir o
solo.
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A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
~Fres = M~aCM
Fres,x = MaCM,x Fres,y = MaCM,y Fres,z = MaCM,z
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A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
Exemplo - Página 215
Movimento do CM de três partículas
As três partículas da Fig. 9-7a
estão inicialmente em repouso.
Cada uma sofre a ação de uma
força externa produzida por corpos
fora do sistema das três partículas.
As orientações das forças estão
indicadas e os módulos são
F1 = 6, 0 N, F2 = 12 N e F3 = 14
N.Qual é a aceleração do centro de
massa do sistema e em que direção
se move?
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Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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Momento Linear
~p = m~v (momento linear de uma partícula)
A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à força
resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que a força
resultante.
~Fres =
d~p
dt
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Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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O Momento Linear de um Sistema de Partículas
~P = M~vCM (momento linear de um sistema de partículas)
O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa
total do sistema pela velocidade docentro de massa.
~Fres =
d~P
dt
(sistema de partículas)
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Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
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Colisão e Impulso
Colisão Simples
Figura 9-8 A força ~F (t) age sobre
uma bola quando a bola e um taco
colidem.
~J =
∫ tf
ti
~F (t) dt
(definição de impulso)
∆~p = ~J
(teorema do momento linear e
impulso)
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Colisão e Impulso
Colisão Simples
Figura 9-9 (a) A curva mostra o
módulo da força dependente do
tempo F (t) que age sobre a bola na
colisão da Fig. 9-8. A área sob a
curva é igual ao módulo do impulso ~J
sobre a bola na colisão. (b) A altura
do retângulo representa a força média
Fméd que age sobre a bola no
intervalo ∆t. A área do retângulo é
igual à área sob a curva do item (a) e,
portanto, também é igual ao módulo
do impulso ~J na colisão.
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Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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Conservação do Momento Linear
~P = constante (sistema fechado e isolado)
Se um sistema de partículas não está submetido a uma força externa, o
momento linear total ~P do sistema não pode variar.
Se uma das componentes da força externa aplicada a um sistema fechado é
nula, a componente do momento linear do sistema em relação ao mesmo eixo
não pode variar.
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Conservação do Momento Linear
Exemplo - Página 223
Explosão bidimensional e momento: coco
Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de massa M , inicialmente
em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o coco em três pedaços, que deslizam em uma
superfície horizontal. Uma vista superior é mostrada na Fig. 9-13a. O pedaço C, de massa
0, 30M , tem uma velocidade escalar final vfC = 5, 0 m/s. (a) Qual é a velocidade do pedaço B, de
massa 0, 20M? (b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
Figura 9-13 Três pedaços de um coco que explodiu se afastam em três direções sobre um piso
sem atrito. (a) Vista superior do evento. (b) O mesmo com um sistema de eixos bidimensional
superposto.
Sumário
1 O Centro de Massa
Sistemas de Partículas
2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Figura 9-14 Os corpos 1 e 2 se movem ao longo de um eixo x, antes e depois de sofrerem
uma colisão inelástica.
~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f (conservação do momento linear)
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Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
Figura 9-15 Uma colisão
perfeitamente inelástica entre dois
corpos. Antes da colisão, o corpo de
massa m2 está em repouso e o corpo
de massa m1 está se movendo. Após
a colisão, os corpos unidos se movem
com a mesma velocidade ~V .
V =
m1
m1 + m2
v1i
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1 O Centro de Massa
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2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
3 Momento Linear
4 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
5 Colisão e Impulso
Colisão Simples
6 Conservação do Momento Linear
7 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Inelástica Unidimensional
Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
8 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Alvo em Movimento
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Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Nas colisões elásticas, a energia cinética dos corpos envolvidos na colisão pode
variar, mas a energia cinética total do sistema permanece a mesma.
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Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo Estacionário
Figura 9-18 O corpo 1 se move ao
longo de um eixo x antes de sofrer
uma colisão elástica com o corpo 2,
que está inicialmente em repouso. Os
dois corpos se movem ao longo do
eixo x após a colisão.
v1f =
m1 −m2
m1 + m2
v1i v2f =
2m1
m1 + m2
v1i
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Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Alvo em Movimento
Figura 9-19 Dois corpos prestes a
sofrer uma colisão elástica
unidimensional.
v1f =
m1 −m2
m1 + m2
v1i +
2m2
m1 + m2
v2i
v2f =
2m1
m1 + m2
v1i +
m1 −m2
m1 + m2
v2i
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Exercícios Selecionados
Halliday 9a Edição
Capítulo 9
Centro de Massa e Momento Linear
2, 13, 21, 33, 40, 46, 50, 51, 52, 58, 59, 60, 63, 67, 68
Cláudia Vasconcelos (PUC Minas) Física Geral II 34 / 34
	O Centro de Massa
	Sistemas de Partículas
	A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
	Momento Linear
	O Momento Linear de um Sistema de Partículas
	Colisão e Impulso
	Colisão Simples
	Conservação do Momento Linear
	Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
	Colisão Inelástica Unidimensional
	Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais
	Colisões Elásticas em Uma Dimensão
	Alvo Estacionário
	Alvo em Movimento