5 Regras de Derivação e Taxas Relacionadas

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Atividades Complementares
e
Semana 5: Regras de Derivação e Taxas Relacionadas
1) Encontre a derivada das funções abaixo usando as regras de derivação.
a) f (x )= (3 x5−1)(2−x4); b) g ( x) = 3x
2+5 x−1
x−1
;
c) f (x )= (x2−1)(3 x−1)(5 x2+2 x) ; d) f (t) = 2−t
2
t−2
;
e) f (x )= 7 x
2
2 5√3 x+1
+√3 x+1 ; f) q (x )= 2e3x
2+6 x+7 ;
g) u (x )= sen3(3x 2+6 x) ; h) v ( x) = √e
x−1
√e x+1
;
i) f (x )= e2x cos(3x); j) g ( x) = log2 [3 x−cos (2 x)] ;
k) h (x) = e2cos (2x) ;
2) Seja V o volume de um cilindro tendo altura h e o raio r e suponha que h e r variam com o 
tempo.
a) Como estão relacionadas 
dV
dt
, dh
dt
, e dr
dt
?
b) 
3) Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja 
área cresce a uma taxa constante de 6 m2/h. Com que rapidez estará variando o raio da man-
cha crescente quando a área for de 9 m2?
4) (Evaporação) Uma gota de chuva, na forma de uma esfera, encontra uma camada de ar seco 
ao longo de sua queda e começa a evaporar a uma taxa proporcional à área de sua superfície
(S = 4π r2). Mostre que a velocidade com que o raio da gota está diminuindo é 
constante.
5) (Eletricidade) A resistência total de duas resistências conectadas em paralelo é dada pela 
fórmula 
1
R
= 1
R1
+ 1
R2
, onde R , R1 e R2 são medidas em ohms. R1 e R2 estão 
aumentando a uma taxa de 1 e 1,5 ohm por segundo, respectivamente. Qual a taxa de 
variação de R quando R1 = 50 ohms e R2 = 75 ohms ?
Em certo instante, a altura é de 6 cm e está crescendo a 1cm/s, enquanto que o raio é de 
10 cm e está decrescendo a 1 cm/s. Com que rapidez o volume está variando naquele ins-
tante? O volume está crescendo ou decrescendo?