Algebra1 - Lista2

Prévia do material em texto

Lista II de A´lgebra I - 2014
1. Mostre que 9n + 72n + 6 e´ divis´ıvel por 8 para todo n em N.
2. Mostre que 7n + 2n+2 + 10 e´ divis´ıvel por 5 para todo n em N.
3. Para n ≥ 1 demonstre as identidades:
(i)
(
n
0
)
+ 4
(
n
1
)
+ · · ·+ 4n−1( n
n−1
)
+ 4n
(
n
n
)
= 5n;
(ii)
(
n
0
)2
+
(
n
1
)2
+ · · · + ( n
n−1
)2
+
(
n
n
)2
=
(
2n
n
)
. (Sugesta˜o: Use a identidade
(1 + x)n(1 + x)n = (1 + x)2n.)
4. Quais sa˜o os poss´ıveis restos na diviso˜ de um inteiro ao quadrado por 5?
5. Mostre que para todo inteiro n : 2|n2 − n, 3|n3 − n, 6|n3 − n.
6. Mostre que o quadrado de um inteiro e´ da forma 4k ou 4k + 1.
7. Mostre que 8|a2 − b2 para quaisquer inteiros ı´mpares a e b.
8. Mostre que 16|n4 + 2n2 + 13 para todo inteiro ı´mpar n.
9. Mostre que para todo natural n, o nu´mero 32n − 1 e´ mu´ltiplo de 8.
10. Seja b um inteiro positivo cuja expressa˜o na base 10 e´:
b = r0 + r110 + r210
2 + ... + rn10
n, rn 6= 0, 0 ≤ ri ≤ 9 , i = 0, 1, 2, ..., n.
Prove que:
a) 2|b⇔ 2|r0.
b) 3|b⇔ 3|(r0 + r1 + ... + rn).
c) 5|b⇔ 5|r0.
d) 9|b⇔ 9|(r0 + r1 + ... + rn).
e) 11|b⇔ 11|(r0 − r1 + r2 − ... + (−1)nrn).
11. Aproveite os crite´rios acima para decidir se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras
ou falsas: 3|60210421 11|3145217 11|(125621438021) e 3|34567.
12. Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 16 e 27 quando dividido
respectivamente por 39 e 56.
13. Sejam a, b e c inteiros, mostre que:
a) mdc(a, b) = mdc(−a, b) = mdc(−a,−b).
b) c|ab ∧mdc(b, c) = 1⇒ c|a.
1
c) mdc(a, c) = 1 ∧mdc(a, b) = 1⇒ mdc(a, bc) = 1.
d) c|a ∧ b|a⇒ bc|amdc(b, c).
e) mdc(a, b) = 1⇒ mdc(a + b, a− b) = 1 ∨ 2
14. Prove que 4k + 3 e 5k + 4 sa˜o primos entre si para todo k ∈ Z.
15. Determinar o ma´ximo divisor comum entre a e b e escreveˆ-lo como combinac¸a˜o
linear de a e b nos seguintes casos: a = 252 e b = −1325, a = 7293 e b = −3640,
a = 221 e b = 195.
16. Sejam a e b inteiros, mostre que se o mdc(a, 4) = mdc(b, 4) = 2, enta˜o o mdc(a+
b, 4) = 4.
17. Dados inteiros a, b e c, prove que:
a) ∃x, y ∈ Z tais que c = ax + by ⇔ mdc(a, b)|c.
b) ∃x, y ∈ Z tais que ax + by = mdc(a, b)⇒ mdc(x, y) = 1.
2