Lista 3 - Séries Numéricas

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M
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II - Matema´tica
Profa.: Moˆnica
1. Verificar pela definic¸a˜o, se as seguintes se´ries convergem. Caso convirjam, achar a
sua soma.
(a)
∞∑
n=0
1
2n
(b)
∞∑
n=1
2
3n
(c)
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
(d)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
(e)
∞∑
n=1
1
n(n+ 2)
(f)
1
1 · 2 · 3 +
1
2 · 3 · 4 +
1
3 · 4 · 5 + ...
2. Mostre que a soma da se´rie convergente, de Swineshead,
∞∑
n=1
n
2n
e´ 2.
3. Utilizando crite´rios de convergeˆncia convenientes, verifique se convergem ou di-
vergem as seguintes se´ries:
(a) 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + ...
(b)
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+ ...
(c)
∞∑
n=1
n+ 1
n3 + n+ 4
(d)
∞∑
n=2
1
n lnn
(e)
∞∑
n=2
lnn
n
(f)
∞∑
n=1
1
3
√
n2
(g)
∞∑
n=1
(
√
n+ 1−√n)
(h)
∞∑
n=1
2n + 3n
4n + 5n
(i)
∞∑
n=1
n3
n(1+
1
n
)
(j)
∞∑
n=1
n3
3n
(k)
∞∑
n=1
3n
n3
(l)
∞∑
n=1
n4
n!
(m)
∞∑
n=1
n!
nn
(n)
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
(o)
∞∑
n=1
3n
n!
(p)
∞∑
n=1
senn
n2
(q)
∞∑
n=1
2 + (−1)n
3n
(r)
∞∑
n=1
1
38 + pin
(s)
∞∑
n=2
1
n
√
lnn
(t)
∞∑
n=1
n e−n
2
(u)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
(v)
∞∑
n=1
arcsen
(
1
n
)
(w)
∞∑
n=1
(pi
2
− arctg n
)
(x) 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ ...
(y)
1
12
− 1
22
+
1
32
− 1
42
+ ...
(z)
∞∑
n=1
xn
n!
4. O teorema de Leibniz para se´ries alternadas pode ser aplicado a` se´rie
1√
2− 1 −
1√
2 + 1
+
1√
3− 1 − ...+
1√
n− 1 −
1√
n+ 1
+ ... ?
A se´rie e´ convergente? Justifique.
Respostas
1. (a)conv.;2; (b)conv.;1; (c)div.; (d)conv.;1; (e)conv.;3/4; (f)conv.;1/4.
2. Sugesta˜o: Use que
n
2n
=
1
2n
+
1
2
(n− 1)
2(n−1)
e que sabe calcular a soma da se´rie geome´trica
de raza˜o 1/2.
3.
(a) div.
(b) div.
(c) conv.abs.
(d) div.
(e) div.
(f) div.
(g) div.
(h) conv.abs.
(i) div.
(j) conv.abs.
(k) div.
(l) conv.abs.
(m) conv.abs.
(n) conv.
(o) conv.abs.
(p) conv.abs.
(q) conv.abs.
(r) div.
(s) div.
(t) conv.abs.
(u) conv.abs.
(v) div.
(w) div.
(x) conv.cond.
(y) conv.abs.
(z) conv.abs.
4. Na˜o pode ser aplicado pois a se´rie na˜o e´ decrescente. A se´rie e´ divergente.