Apostila Deivid Provas 004 Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Módulo 1 ­ INTRODUÇÃO ­ NATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Cada valor financeiro está vinculado a uma data determinada. 
Toda vez que a data de referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. 
A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas. 
Desde  o  aparecimento  das  sobras  dos  bens  de  consumo  que  começaram  a  ser 
comercializados,  ensejando a  criação das moedas de  troca, a  tecnologia  progrediu muito, 
criando instrumentos de cálculo cada vez mais eficazes e eficientes, cujo aparecimento tem 
delegado  ao  ser  humano,  cada  vez  mais,  a  responsabilidade  de  análise  dos  resultados 
desses  cálculos. Esse processo aposentou, nas empresas modernas, o  calculista,  que  foi 
substituído pelas calculadoras programáveis, microcomputadores e grandes computadores, 
equipados com programas de cálculo que operam com planilhas, cada vez mais precisos e 
abrangentes,  integrados com outros softwares que ajudam a cuidar do gerenciamento das 
empresas. Uma das evidências desse processo é o grande volume de dinheiro aplicado às 
estruturas de  TI  (tecnologia  da  informação),  responsável  não  apenas  pelos  cálculos, mas 
também em fazer com que seus resultados cheguem às mãos de quem necessita deles. 
Uma das conseqüências dessa evolução foi o aparecimento do “manager”, que analisa 
os  dados  e,  baseado  neles,  toma  as  decisões  que  vão  guiar  suas  empresas.  O 
desaparecimento do calculista responsável pelos dados exigiu, do tomador de decisões, um 
conhecimento maior da origem desses cálculos e dos próprios instrumentos de cálculo. 
Nós, da UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP, resolvemos montar esse curso para ajudá­ 
lo  a  desenvolver  as  competências  de  que  necessita  para  se  destacar  no  mercado  de 
trabalho e construir seu futuro, trabalhando naquilo de que mais gosta, com os instrumentos 
adequados! 
O  curso  é  composto  de  dez  módulos,  e  você  deverá  estudar  um  por  dia,  não  se 
restringindo  ao  conteúdo aqui  apresentado,  mas  consultando  também  a  referência  citada 
abaixo. 
Seja bem­vindo! Mãos à obra!!! 
PLANO DE ENSINO 
Ementa da disciplina 
• Juros Simples 
• Descontos Simples 
• Juros Compostos 
• Séries de Capitais 
Objetivos da disciplina 
A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar aos alunos o domínio dos seus 
conceitos  e  nomenclatura,  bem  como  instrumentalizá­los  no  uso  das  fórmulas  e  das
calculadoras financeiras, facilitando­lhes o trânsito na área de finanças, de acordo com seu 
perfil profissional e servindo como base/instrumento para outras áreas do conhecimento. 
Ao  final  do  curso,  o  aluno  deverá  ser  capaz  de  identificar  e  efetuar  o  cálculo  das 
operações  financeiras,  relacionando­as  às  situações do dia­a­dia  das empresas e  da  sua 
própria vida, utilizando­se de uma calculadora financeira. 
Conteúdo programático 
Importância da Matemática Financeira 
· Aplicações 
· A Matemática Financeira e a inflação 
Fundamentos 
· Taxas: percentual, unitária 
· Taxas proporcionais 
· Capital, juro e montante 
· Valor atual e valor nominal 
· Custo, lucro e venda 
· Regimes de capitalização 
· Fluxo de caixa 
Juros simples 
· Fórmulas do juro e do montante 
· Valor nominal e valor atual 
· Juro exato e juro comercial 
· Taxas equivalentes 
Descontos simples 
· Conceitos básicos 
· Desconto simples racional ou “por dentro” 
· Desconto simples comercial ou “por fora” 
· Desconto simples bancário 
· Taxa de desconto e taxa efetiva 
Juros compostos 
· Conceito 
· Fórmula do montante composto 
· Valor atual e valor nominal a juros compostos 
· Taxas equivalentes 
· Montante em um número fracionário de períodos 
· Séries de capitais 
· Conceito 
· Série básica 
· Valor atual da série básica 
· Montante da série básica
Módulo 2 – CONCEITOS BÁSICOS 
Após o estudo deste módulo, o aluno conscientizar­se­á da importância da Matemática 
Financeira em cada um dos seus aspectos básicos, identificando seu  relacionamento com 
outras áreas, por meio das suas possíveis aplicações. 
Essa  área  da  matemática  é  entendida  como  o  estudo  das  relações  dos  valores 
financeiros com suas datas. Não podemos perder de vista que cada valor está vinculado a 
uma  data  determinada,  e  a  alteração  dessa  data  deverá  vir  acompanhada  do  recálculo 
desse  valor.  A  importância  desse  recálculo  está  confirmada  por  aspectos  considerados 
importantes na análise  econômica,  como a  inflação e o prazo de  remuneração do  capital. 
Finalmente,  tomamos  consciência  dessa  importância  quando entramos em contato  com o 
volume  dos  recursos  aplicados  às  estruturas  computadorizadas  que  dão  suporte  a  esse 
recálculo e  fazem seus  resultados chegarem às áreas de  tomada de  decisão, como  já  foi 
dito anteriormente. Do simples consumidor de bens vendidos, por meio de financiamentos, 
até  gestores  e  operadores  da  estrutura  financeira  do  País,  todos  devem,  na  medida  das 
suas necessidades, conhecer a Matemática Financeira. 
Para acompanhar um ramo qualquer da ciência, devemos conhecer sua nomenclatura e 
uma série de conceitos básicos. Definiremos explicando cada um deles: 
· Principal(P): capital inicial de uma aplicação. 
· Juro(J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital. 
· Taxa de  juros(r ou  i): é o  índice,  referindo­se a uma unidade de  tempo, por meio do 
qual calculamos os juros; será denominada r quando for percentual(base 100) ou i quando 
for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de 
forma abreviada, podendo haver alguma confusão. 
Exemplos: aa = ao ano; am = ao mês; at = ao trimestre; ab = ao bimestre; e, assim por 
diante. 
· Número de períodos(n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na unidade 
de tempo da taxa de juros. 
Proporcionalidade de taxas 
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referidas a unidades de tempo diferentes, são 
proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos. 
Fórmula: 
Exemplos: 
· Montante(M): é a soma do Principal de uma aplicação com o seu Juro.
· Custo(C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar 
um determinado serviço. 
· Lucro(L):  ganho  adicionado  ao  custo  da mercadoria  ou  serviço  para  se  calcular  seu 
preço de venda. 
· Preço de Venda(V): resultado da soma do custo com o 
· Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia­a­dia, perfazendo um ano de 365 
dias. 
· Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando 
um ano de 360 dias. 
· Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa, com a 
marcação desses valores em suas respectivas datas, sobre um eixo horizontal, por meio de 
uma convenção, geralmente com setas, que demonstra se são entradas ou saídas. 
Obs.: de uma forma simplista, podemos considerar o preço de venda de um bem como a 
soma do custo com o lucro, que por sua vez poderá ser calculado como um percentual do 
custo  ou  do  preço  de  venda.  O  cálculo  do  lucro,  tendo  por  base  o  preço  de  venda,  é 
importante  por  ser  a  base  conceitual  de  remuneração  de  vendedores  comissionados  e 
também de tributos embutidos no preço de venda das mercadorias e serviços. 
Em  síntese,  de  posse  do  instrumental,  devemos  analisar  de  que  forma  poderemos 
utilizá­lo. Trabalharemos com dois critérios diferentes de recálculo, a saber: 
a) Juros Simples. 
b) Juros Compostos. 
Aplicações: 
a) Por quanto devo vender um bem que custou R$100,00, se quero ter um lucro de 15% do 
preço de custo? 
V=C+L → V=100+0,15x100=R$115,00 
R.: Devo vender o bem por R$115,00. 
b) Por quantodevo vender um bem que custou R$250,00, se quero ter um lucro de 25% do 
preço de venda? 
V=C+L → V=250+ 0,25.V → V – 0,25.V = 250 → 0,75.V =250 
V = 250/0,75=R$333,33 
R.: Devo vender o bem por R$333,33. 
c) Quanto paguei por um bem vendido por R$500,00, se tive um lucro de 10% do preço de 
venda? 
V=C+L → 500= C + 0,10.500 → C = 500 – 50 = R$450,00 
R.: Paguei R$450,00 pelo bem.
Exercícios propostos: são exercícios para você exercitar seus conceitos e sua habilidade 
operacional e de cálculo. Bom trabalho! Os dados entre parênteses são as respostas. 
1­Por quanto devo vender um artigo de custo R$60.000,00, para ter 30 % de lucro sobre o 
preço de venda? (R$85.714,29) 
2­Por quanto devo vender um bem que custou R$80,00 se quero ter, de lucro, 20% do preço 
de custo? (R$96,00) 
3­Um bem adquirido por R$150,00 foi vendido por R$180,00. Calcule o percentual de lucro 
dessa venda, tendo por base seu custo. (20%) 
4­Em uma venda de um bem por R$200,00,  30% do preço de  custo é  o  lucro. Calcule  o 
preço de custo. (R$153,85) 
5­Na venda de um bem por R$240,00, 25% do preço de venda é o  lucro. Quanto custou 
esse bem? (R$180,00) 
6­Um bem adquirido por R$150,00 foi vendido por R$180,00. Calcule o percentual de lucro 
dessa venda, tendo por base seu preço de venda. (16.67%) 
Módulo 3 – JUROS SIMPLES 
Conceitos 
Ao final deste módulo, o aluno será capaz de  identificar os casos de  juros simples e 
aplicar as fórmulas adequadas ao seu cálculo, interpretando os resultados obtidos. 
A modalidade de cálculo de juros denominada simples tem sua aplicação no cálculo de 
dívidas  de  empresas  e  de  países,  tendo  uma  aplicação  restrita,  no  caso  das  dívidas 
tributárias  de  pessoas  físicas.  Esse  conceito  reveste­se  de  especial  importância  quando 
aparece, em algumas situações, agregado ao do juro composto. 
Conceito: Juros simples ­ segundo o critério de cálculo de juros denominado simples, o 
juro de todos os períodos da aplicação somente é adicionado ao principal para constituir o 
montante, ao  final  da aplicação. Em  todos os períodos, o  juro é calculado aplicando­se a 
taxa sobre o principal. 
Como conseqüência dessa definição, temos: 
1. denominações: esse critério também é chamado: 
· juro não capitalizado 
· juro linear 
· juro proporcional 
2. todos os períodos rendem o mesmo valor de juros. 
3. o juro total é diretamente proporcional à taxa e ao número de períodos da aplicação. 
Fórmulas
a) Juro: como cada período renderá juro  igual ao principal vezes a taxa de  juros, em 
uma aplicação de n períodos, teremos o juro total igual a: 
J = P.i.n 
b) Montante: será a soma do principal do período com o seu juro: 
M=P + J 
M=P + P.i.n 
M=P.(1+i.n) 
Valor Atual (A) e Valor Nominal (N) 
Existe  uma  forte  segmentação  na  sociedade,  em  quase  todos  os  aspectos.  Essa 
característica  acentua­se  quando  analisamos  a  linguagem,  em  função  do  trabalho  que  a 
pessoa  realiza. Depois de algum  tempo na área financeira, conseguimos identificar a área 
de  trabalho  dos  profissionais  pelo  seu  vocabulário.  Profissionais  que  atuam  na  área  de 
investimentos utilizam as expressões montante e principal ou capital. Profissionais de áreas 
de financiamento e pagamento preferem os vocábulos “atual” e “nominal”. Definimos o atual 
como  um  valor  da  dívida  antes  da  data  de  vencimento,  e  o  nominal  como  seu  valor  na 
própria  data  de  vencimento.  O  nominal  está  associado  a  uma  idéia  de  valor  futuro,  de 
montante do valor atual correspondente, no prazo de antecipação do pagamento da dívida. 
Reforçando os conceitos, podemos afirmar que o valor nominal de uma dívida é o seu valor 
na data de vencimento, e o valor atual é o seu valor antes da data de vencimento. O valor 
nominal é o montante de cada um dos valores atuais da dívida. 
Operacionalmente, podemos escrever: 
N = A.(1 + i.n) ou A = N/(1 + i.n) 
Juro exato e juro comercial 
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos: 
· Juro exato para anos contados como de 365 dias; aplicado em operações de 
curto prazo, como descontos de duplicadas e de cheques. 
· Juro  comercial  para  meses  de  trinta  dias,  perfazendo  um  ano  de  360  dias; 
aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a Caderneta de 
Poupança. 
Equivalência de taxas 
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referidas a unidades de tempo diferentes, são 
equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo 
montante. 
Fórmula: 
Determine as taxas de juros anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo 
do juro simples.
i a = taxa de juros unitária anual 
im = taxa de juros unitária mensal 
número de períodos: um ano para a taxa anual ou doze meses para a taxa mensal. 
M=P.(1+ i a) e M=P.(1+ im .12) 
Como os montantes e os principais são iguais, teremos: 
1 + i a = 1 + im .12 e, portanto: i a = 12 . im 
Chegamos, portanto, à conclusão de que no  juro simples, as taxas são proporcionais 
aos  períodos  e  os  cálculos  das  taxas  equivalentes  são  efetuados  por  meio  de  simples 
proporcionalidades. 
Módulo 4 – JUROS SIMPLES 
Aplicações 
a) Calcule o montante de um capital de R$500,00 aplicado a juros simples de 5% ao mês, 
durante quinze meses. 
M=P.(1+in) → M=500.(1+5/100 . 15) → M=R$875,00 
R.: O montante será de R$875,00. 
b) Que principal devo aplicar por dois anos para obter R$670,00 de montante à taxa de juros 
simples de 5% ao mês? 
M=P.(1+in) → 670=P.(1+5/100 . 24) → 670=P.2,20 → P=670/2,20 
P=R$304,55 
R.: O principal será de R$304,55. 
c) A que  taxa de  juro simples mensal devo aplicar um principal de R$1.000,00 para obter 
R$1.800,00 de montante, em um ano e meio? 
M=P.(1+in) → 1800=1000. (1+i.18) → 1800/1000=1+i.18 → i.18=1,8­1 
i=0,8/18 → i=0,044444ao mês → taxa=4,44% ao mês 
R.: A taxa mensal será de 4,44%. 
d) Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de 5% ao mês? Dê 
a resposta em anos e meses. 
M=P.(1+in) → 2P=P.(1+5/100 .n) → 2= 1+ 0,05 .n →2­1=0,05.n3 
n=1/0,05 → n=20 meses 
R.: O prazo será de um ano e oito meses.
Em síntese, o módulo juro simples nos mostrou que, por esse critério, as variações são 
lineares, e os cálculos deverão ser efetuados por meio dos recursos simples das regras de 
três e das proporções. 
Exercícios propostos: são exercícios para você treinar seus conceitos e sua habilidade 
operacional e de cálculo. Bom trabalho! Os dados entre parênteses são as respostas. 
01­Calcule a taxa trimestral proporcional às seguintes taxas: 
a) 21 % aa (5, 25 % at.) 
b) 15 % cada cinco meses (9 % at.) 
02­Calcule o juro simples e o montante de: 
a) R$5.000,00 a 250 % aa, em 2a e 4m. (R$ 29. 166, 67 ­ R$ 34.166, 67) 
b) R$3.500,00 a 36 % aa, por 19 meses. (R$1. 995, 00 ­ R$5. 495, 00) 
03­Qual é a taxa de juros que gera o montante de R$ 1.998,00 em três anos e dois meses, a 
partir de um principal de R$1.200, 00? (21 % aa) 
04­Qual é o capital que rende R$ 15.000,00, aplicado a juros simples de 30 % aa, em três 
anos e quatro meses? (R$ 15. 000, 00) 
05­Se o valor atual for igual a dois terços do valor nominal e o prazo de aplicação for de dois 
anos, qual será a taxa de juros considerada? (25 % aa) 
06­Calcule o juro simples comercial e o exato de um principal R$15.000,00 a 27 % aa, por 
135 dias. (c=R$1.518,75; e=R$1. 497, 95) 
07­Uma loja oferece um relógio por R$3.000,00 à vista ou por 20 % do valor à vista como 
entrada,  mais  um  pagamento  de  R$2.760,00  após  seis  meses.  Qual  é  a  taxa  de  juros 
cobrada? (2,5% am) 
08­Por quanto devo vender um artigo de custo R$60.000,00, para ter 30 % de lucro sobre o 
preço de venda? (R$85.714,29) 
09­Em  quanto  tempo  triplica  um  capital  qualquer  aplicado  a  juros  simplesde  10 %  am? 
(20m) 
Módulo 5 – DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
Desconto simples 
Ao  final  deste módulo, o  aluno  será capaz de  identificar  uma operação de desconto 
simples,  reconhecer  o  critério  de  desconto  racional  e  efetuar  os  cálculos  utilizando  suas 
fórmulas. 
Não  podemos  esquecer  que  o  desconto  é  denominado  simples  porque  é  calculado 
segundo o critério de juros simples.
A  importância  dessa operação  reside em  sua  aplicação no  dia­a­dia  da maioria  das 
empresas, nas quais a operação de desconto é responsável pelo capital de giro, sem o qual 
a empresa não conseguiria subsistir. A aplicação desse conceito, denominada operação de 
desconto, tem posição de destaque na estrutura das empresas modernas. 
Conceitos 
· Desconto(D)  é  o  abatimento  dado  no  valor  nominal  de  uma  dívida,  como 
conseqüência da antecipação da sua data de pagamento. 
· Prazo  de  antecipação(n)  é  a  medida  do  tempo  que  vai  da  data  de  pagamento 
efetivo até a data de vencimento. 
· Valor descontado ou líquido (VD) é o valor efetivamente pago ou recebido, após o 
abatimento do desconto. 
· Taxa de desconto é a taxa de juros utilizada nas operações de desconto. 
Os descontos podem ser calculados de acordo com dois critérios distintos, um deles é 
o cálculo tomando­se por base o valor atual da dívida e o outro sobre o seu valor nominal. 
Desconto simples racional ou “ por dentro”  
Definição: segundo o critério racional ou “por dentro”, o desconto simples é calculado 
como  o  juro  simples  do  valor  atual  da  dívida,  na  data  da  antecipação,  pelo  prazo  de 
antecipação da data de pagamento. 
Fórmulas: 
De acordo com a definição, teremos: D = A.i.n. 
Caso o valor atual (A) da dívida seja substituído por sua expressão, teremos: 
Valor descontado racional ou valor líquido racional 
Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e 
o desconto racional. Portanto, teremos: 
VD = N – D substituindo suas expressões teremos: VD = Nb – N.i.n/(1+ i.n) que, por 
simplificação, transformar­se­á em:
Módulo 6 – DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
Aplicações 
a) Calcule o desconto simples racional de um título de valor nominal R$1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples racional: 
R.: O desconto será de R$107,14. 
b)  Um  título  de  valor  nominal  R$245,00  foi  descontado  em  uma  antecipação  de  quatro 
meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de R$35,00. Determine a taxa 
de desconto utilizada nessa operação. 
Podemos iniciar com a fórmula do valor descontado: 
R.: A taxa de desconto será de 4,17% ao mês. 
c)  Calcule  o  prazo  de  antecipação  em  um  desconto  racional  de  um  valor  nominal  de 
R$560,00,  com  uma  taxa  de  desconto  de  3%  ao  mês,  sabendo  que  o  desconto  foi  de 
R$43,00. 
Devemos partir da fórmula do valor descontado racional:
R.: O prazo será de dois meses e vinte e três dias. 
d)  Determine  o  valor  descontado  racional  de  um  título  de  valor  nominal  R$1.000,00, 
sabendo que sua antecipação foi de dois meses e a taxa utilizada nessa operação foi de 5% 
ao mês. 
O valor descontado racional possui fórmula própria: 
R.: O valor descontado racional será R$909,09. 
Em síntese, vimos que o desconto é um abatimento provocado pela antecipação da 
data de pagamento e aplicado  sempre  sobre o valor nominal, mas a  sua base de  cálculo 
pode ser o valor atual, resultando no critério de cálculo racional ou “por dentro”. 
Exercícios propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Calcule o desconto simples racional e o correspondente valor descontado, em cada uma 
das hipóteses abaixo: 
Valor Nominal Taxa Prazo até vencimento 
a) R$50.000,00 100% aa 3 meses (R$10.000,00) 
b) R$95.800,00 35% aa 140 dias (R$11.477,26) 
c) R$42.300,00 85% aa 1 ano e 2 meses (R$21.061,51) 
02­Se o desconto  racional concedido  for de R$60,00,  qual será  a  taxa  considerada,  se  o 
valor nominal for de R$600,00 e o período de antecipação de três meses? (44,44% aa) 
03­Um título de valor nominal R$13.000,00 foi  resgatado antes do seu vencimento, sendo 
bonificado  com  um  desconto  racional  de  R$350,00.  Sendo  a  taxa  de  30%  aa,  qual  foi  a 
antecipação? (1m 3d)
04­O valor descontado de uma promissória é de R$1.600,00, tendo sido adotada a taxa de 
20%  aa.  Qual  será  o  prazo  de  antecipação,  se o  desconto  racional  for  de  R$70,00?  (2m 
18d) 
05­Um  título  cujo  resgate  foi  efetuado a 150 dias do vencimento,  foi negociado à  taxa de 
25%  aa.  Qual  era  o  valor  nominal  do  título,  uma  vez  que  o  valor  descontado  racional 
recebido foi de R$2.000,00? (R$2.200,33) 
Módulo 7 – DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU “ POR FORA”  
Ao  final  desse módulo,  o  aluno  será  capaz  de  identificar  as  operações  de  desconto 
simples  comercial  e,  conhecendo  a  nomenclatura  das  suas  grandezas,  fazer  os  cálculos 
pelas fórmulas montadas a partir das definições. 
Será  capaz  também  de  calcular  a  taxa  efetiva  envolvida  na  operação  de  desconto 
comercial. 
Definição: segundo o critério comercial ou  “por fora”, o desconto simples é calculado 
como  juro  simples  do  valor  nominal  da  dívida,  pelo  prazo  de  antecipação  da  data  de 
pagamento. 
Fórmulas: 
Desconto simples comercial ou “ por fora”  
Se o desconto comercial é o juro simples do valor nominal pelo prazo de antecipação, 
sua fórmula será: 
d= N.i.n 
Valor descontado ou líquido comercial ou “ por fora”  
De acordo com o conceito de valor descontado, temos: 
Vd=N – d. 
Substituindo d por sua fórmula, teremos: 
Vd=N – N.i.n ou Vd=N.( 1 – i.n) 
Em síntese, vimos que o desconto comercial ou “por fora” tem sua base de cálculo no 
valor nominal da dívida, sendo o mais aplicado nas áreas de finanças das empresas. 
Exercícios propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Calcule o desconto comercial dos títulos abaixo: 
Valor Nominal  ­­  Taxa  ­­  Prazo até vencimento 
a) R$100.000,00  ­­  40% aa  ­­  300 dias (R$33.333,33)
b) R$150.000,00  ­­  38% aa  ­­  4 meses (R$19.000,00) 
c) R$245.000,00  ­­  50% aa  ­­  3 meses e 20 dias (R$37.430,56) 
02­Calcule o valor descontado comercial dos títulos abaixo: 
Valor Nominal  ­­  Taxa  ­­  Prazo até vencimento 
a) R$100.000,00  ­­  40% aa  ­­  300 dias (R$33.333,33) 
b) R$150.000,00  ­­  38% aa  ­­  4 meses (R$19.000,00) 
c) R$245.000,00  ­­  50% aa  ­­  3 meses e 20 dias (R$37.430,56) 
03­Uma nota promissória foi descontada quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 
26%  aa.  Sabendo  que  o  seu  valor  atual  comercial  foi  de  R$20.000,00,  calcule  seu  valor 
nominal. (R$21.897,81) 
04­O valor nominal de um título é quinze vezes o seu desconto comercial a 30% aa. Qual 
será o prazo de antecipação? (80 dias) 
05­O valor atual comercial recebido de um título é de R$23.600,00, considerando­se a taxa 
de 28% aa e o prazo de antecipação de 72 dias. Qual foi o desconto comercial desse título? 
(R$1.400,00) 
06­Pelo valor  nominal de R$10.000,00 uma pessoa  recebeu R$9.556,94  como valor  atual 
comercial. Qual foi a antecipação, se a taxa de juros adotada tivesse sido de 29% aa? (55 
dias) 
Módulo 8 – DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO 
Ao  final  desse  módulo  o  aluno  deverá  ser  capaz  de  identificar  as  operações  de 
desconto  simples  bancário  e,  conhecendo  a  nomenclatura  das  suas  grandezas,  fazer  os 
cálculos atravésdas fórmulas montadas a partir das definições. 
Definição:  segundo  o  critério  bancário  o  desconto  é  calculado  como  o  desconto 
simples comercial, acrescido de um percentual do valor nominal como taxa administrativa. 
Essa  taxa  representa  para  as  instituições  que  praticam  esse  tipo  de  desconto  uma 
remuneração ou custeio da estrutura colocada a serviço das operações de desconto. Essa 
cobrança  aparece  sob  as  mais  diversas  roupagens,  sendo  uma  delas  atualmente 
denominada por algumas instituições “taxa de abertura de crédito” (TAC). 
A taxa administrativa é um percentual bruto, e não uma taxa de juros; ao montarmos a 
fórmula de cálculo, onde a mesma será representada por h, devemos dividi­la por 100, para 
trabalharmos com sua forma unitária. Esse procedimento facilita os cálculos. 
Fórmulas: 
Desconto Simples Bancário 
De acordo com o conceito, teremos: 
db = d + h.N db = N.i.n + h.N portanto db = N.( i.n + h )
Valor Descontado Bancário (valor líquido bancário) 
De acordo com o conceito, temos: Vdb = N – db e, portanto: 
Vdb = N – N.( i.n + h ) ou Vdb = N .[ 1 – ( i.n + h ) ] 
Em  síntese,  vimos  que  o  desconto  bancário  é  conseqüência  da  aplicação  da  taxa 
administrativa ao desconto  comercial, como o  custeio  da  operação de desconto  praticada 
pelas financeiras. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Qual será o desconto bancário em uma operação onde o valor nominal é de R$7.000,00 
e o prazo de antecipação 
é  de  105  dias?  Considerar  juros  correntes  de  23,5%  aa  e  taxa  administrativa  de  2%. 
(R$619,79) 
02­João, desejando comprar um carro,pediu empréstimo de R$17.000,00 pelo prazo de três 
meses.Sabendo­se que o Banco Alfa cobra 2% de despesas administrativas e que a taxa de 
juros de mercado é de 28,4% aa, pergunta­se o preço do carro.(O valor recebido é o preço 
do carro). (R$15.453,00) 
03­Se  uma  Empresa  necessitar  de  R$10.740,00  para  saldar  uma  duplicata,  que 
compromisso  deverá  assumir  por  90  dias,  se  a  taxa  corrente  for  de  36%  aa  e  o  Banco 
cobrar 1,5% de taxa de serviço? (R$12.000,00) 
04­Por um empréstimo de R$5.000,00 a quatro meses,  João  recebeu  líquido R$4.291,67. 
Tendo perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era 
de 24,5% aa. Qual foi a taxa de serviço cobrada? (6%) 
05­Um empréstimo de R$4.000,00  foi  retirado  de um Banco  cuja  taxa administrativa  é de 
2,5%. Se o desconto bancário fosse de R$564,00 e a taxa de juros 27,84% aa,qual seria o 
prazo contratado para tal empréstimo? (5meses) 
Módulo 9 – TAXA EFETIVA NOS DESCONTOS SIMPLES COMERCIAL E BANCÁRIO 
Ao final deste módulo o aluno terá condições de identificar e calcular as taxas de juros, 
às quais os capitais estão efetivamente aplicados, nas operações de desconto comercial ou 
bancário. 
Definição: 
Denomina­se efetiva a  taxa de  juros à qual devemos aplicar os valores descontados 
(líquidos) comercial ou bancário para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no 
prazo de antecipação. 
Essa  taxa  indica  a  remuneração  do  valor  aplicado  efetivamente  na  operação  de 
desconto.  É  a  taxa  que  o  banco  ou  a  financeira  ganham  na  operação  de  desconto  que 
praticam junto às Empresas em geral. Representaremos essa taxa por if. 
A fórmula dessa taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição:
N = Vd . ( 1 + if . n) 
A partir dessa definição, podemos concluir as seguintes fórmulas: 
As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas pela troca 
dos parâmetros das duas fórmulas anteriores: 
Observação: 
Substituindo,  na  fórmula da  taxa efetiva  comercial,  cada  parâmetro  por  sua  fórmula, 
conseguimos  chegar  a  uma  fórmula  para  a  taxa  efetiva  baseada  apenas  na  taxa  de 
desconto e no prazo de antecipação: 
Fazendo  o  mesmo  para  o  desconto  bancário,  teremos  que  transformar  a  taxa 
administrativa  em uma  taxa de  juros  correspondente, na mesma unidade de  tempo que  a 
taxa de desconto e adicionar as duas, dando origem a uma nova taxa de desconto bancário, 
que engloba a administrativa e a de desconto, representada por I. 
Dessa forma a fórmula da taxa efetiva para o desconto bancário, baseada apenas nas 
suas duas taxas e no prazo, será: 
Módulo 10 – TAXA EFETIVA NOS DESCONTOS SIMPLES COMERCIAL E BANCÁRIO 
Aplicações 
a)  Calcule  a  taxa  efetiva  e  o  desconto  simples  comercial  de  um  título  de  valor  nominal 
R$1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
Trabalhando a partir das fórmulas, temos:
b)  Um  título  de  valor  nominal  R$245,00  foi  descontado  em  uma  antecipação  de  quatro 
meses, e beneficiado com um desconto simples comercial de R$35,00. Determine a taxa de 
desconto utilizada nessa operação e a taxa efetiva. 
Começaremos pela fórmula do desconto comercial: 
c) Determine  o  desconto  simples  bancário  de  um  título  de valor  nominal R$1.000,00,  em 
uma  antecipação  de  cinco  meses,  à  taxa  de  desconto  de  2%  ao  mês,  com  uma  taxa 
administrativa de 1%. 
Nesse caso devemos aplicar diretamente a fórmula do desconto solicitado: 
d) Calcule o valor descontado bancário de um título de R$2.000,00, à taxa de desconto de 
3% ao mês, em uma antecipação de quatro meses, com a taxa administrativa de 2%. 
A aplicação direta da fórmula nos levará à resposta: 
Nesse módulo você aprendeu a identificar parâmetros eventualmente disfarçados nas 
operações financeiras e a leválos em consideração em suas análises e conclusões. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Uma  duplicata  de  valor  nominal  R$8.000,00  foi  descontada  90  dias  antes  do  seu 
vencimento a 23,5%
aa.  Qual  foi  o  desconto  comercial?  Qual  a  taxa  efetiva  envolvida  nessa  operação? 
(R$470,00, 24,97% aa) 
02­Um fornecedor oferece  três meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar pelo 
pagamento à vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal. Que taxa de juros 
efetiva anual está sendo cobrada? (44,44% aa) 
03­Se uma instituição deseja ganhar 36% aa de taxa efetiva, que taxa de desconto deverá 
aplicar em operações de três meses? (33,03% aa) 
04­O Banco Alfa cobra 2% de taxa de serviço e como taxa de juros emprega 26% aa. Qual é 
o desconto bancário de um título com valor nominal de R$3.000,00 e vencimento a quatro 
meses? Qual é a taxa efetiva? (R$320,00, 35,82% aa) 
05­Uma  empresa  “vai  ao  Banco”  para  descontar  uma  duplicata  de  R$7.200,00  com 
vencimento a cinco meses. Se a taxa de juros for de 25% aa e a taxa de serviço de 2,5%, 
qual será o valor líquido recebido e qual a taxa efetiva paga? (R$6.270,00 , 35,60% aa) 
06­Se  o banco  exigir  2%  como  taxa administrativa,  qual  será  sua  taxa efetiva,  se  cobrar 
juros de 27% aa. e o prazo de desconto for seis meses? (36,69% aa) 
Módulo 11 – JUROS COMPOSTOS 
Ao final desse módulo o aluno deverá ser capaz de identificar as aplicações de juros 
segundo  o  critério  composto  e  efetuar  os  cálculos  básicos  utilizando  as  fórmulas  da 
definição. 
Conceito 
Segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período o juro do 
período é adicionado ao principal do período e o montante assim formado é reaplicado como 
principal no período seguinte. 
Conseqüências da definição do critério composto: 
· as denominações desse critério seguem as idéias passadas pela definição: 
o  juro sobre juro 
o  juro capitalizado 
o  juro exponencial· nesse  caso  o  juro  não  é  diretamente  proporcional  à  taxa  e  ao  número  de 
períodos e os cálculos serão feitos sempre utilizando o divisor 100 para a taxa 
de juros. 
Fórmulas 
Montante:  relembrando  seu  conceito,  faremos  sua  aplicação  período  a  período, 
construindo a fórmula. Vamos indexar o montante ao final de cada período com o número do 
período.
Valor Atual (A) e Valor Nominal (N) 
Repetindo os conceitos, definimos o atual como um valor da dívida antes da data de 
vencimento  e  o  nominal  como  seu  valor  na  própria  data  de  vencimento.  O  nominal  está 
associado a uma idéia de valor futuro, de montante do valor atual. 
Operacionalmente podemos escrever: 
N = A . (1+i) n ou A = N/(1+i) n 
Módulo 12 – JUROS COMPOSTOS 
Aplicações 
a) Calcule o montante de um principal de R$1.000,00, aplicado a juros compostos de 5% ao 
mês, durante dez meses. 
A solução será encontrada pela aplicação direta da fórmula do montante: 
M = P.(1 +i) n = 1000 . (1 + 5/100 ) 10 = R$1.628,89 
R.: O montante será de R$1.628,89. 
b) Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros compostos de 5% ao mês? 
Através da fórmula de montante, temos: 
M = P . (1 +i) n → 2 = 1. (1 + 5/100 ) n → 2 = 1,05 n → n = log 2/log 1,05 = 14,21 meses
R.: O capital dobrará em 14,21 meses ou, de outra forma, em 1ano, 2 meses e 6 dias. 
c) A que taxa mensal de  juros compostos um capital qualquer rende de juros 20% do seu 
valor em cinco meses? 
Como  o  cálculo  será  válido  para  qualquer  capital,  podemos  arbitrar  um  capital  de 
R$100,00,  que  renderá  R$100,00  (20%  do  seu  valor),  passando  a  um  montante  de 
R$120,00. Podemos iniciar com a fórmula do montante composto: 
R.: A taxa será de 3,71% ao mês. 
d) Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de 
juros compostos de 4% ao mês, para ter R$5.000,00 de montante daqui a dez meses? 
Podemos trabalhar diretamente com a fórmula do montante: 
R.: Devo aplicar um principal de R$3.377,82. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Calcule o montante e os juros compostos gerados por um capital de R$1.000,00,aplicado 
pelos prazos e taxas abaixo: 
a) 1,5% am em 3 anos (R$1.709,14) 
b) 3% at em 18 meses (R$1.194,05) 
c) 10% aa em 10 meses (R$1.082,67) 
d) 5% as em 5 anos (R$1.628,90) 
02­Certa pessoa pretende comprar uma casa por R$500.000,00, daqui a seis anos. Quanto 
deve  aplicar,  a  juros  compostos,  hoje,  para  que  possa  comprar  a  casa  no  valor  e  prazo 
estipulados, se a taxa de juros for 15% aa? (R$216.163,80) 
03­O preço de  um  carro  é  R$11.261,62, podendo  ser  pago a 6 meses. Quem optar  pelo 
pagamento à vista beneficiase de um desconto de 11,2%. Qual é a taxa anual composta de 
juros cobrada nessa operação? (26,82% aa) 
04­O Banco X anuncia que sua taxa de empréstimo pessoal é de 2,5% am no critério juro 
composto.Um cliente retirou R$20.000,00 e, quando foi saldar a dívida,o gerente lhe disse 
que  a  mesma  importava  em  R$31.193,17.  Quanto  tempo  levou  o  cliente  para  restituir  o 
empréstimo? (18 meses)
05­Certa  loja  tem como política  de vendas a  crédito  exigir  30% do valor  da mercadoria  à 
vista  como  entrada  e  o  restante  a  ser  liquidado  em  três  meses.  Nesse  caso,o  valor  da 
mercadoria sofre um acréscimo de 10% a título de despesa administrativa. Qual é a taxa de 
juros composta anual utilizada por essa loja? (70,60% aa) 
06­Um sítio é posto à venda por R$50.000,00 de entrada mais R$100.000,00 a um ano da 
data  da  venda. Como  opção  o vendedor  pede R$124.000,00  à  vista. Se  a  taxa  de  juros 
compostos de mercado é  de  2,5%am,  qual  é  a melhor  alternativa  para  o  comprador?  (À 
vista, pois a taxa de mercado é menor que a pedida). 
Calculadoras Financeiras 
Existe uma correspondência entre os parâmetros  financeiros e as funções presentes 
nas teclas de uma calculadora financeira. De maneira geral, introduzidos os valores de três 
desses  parâmetros  a  calculadora  fornecerá  o  valor  do  quarto  parâmetro.  Essa 
correspondência é a seguinte: 
Montante (M)  →  FV 
Principal (P)  →  PV 
Taxa de juros (i)  →  i 
Número de períodos (n)  →  n 
Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar 
com sinais diferentes (+ ou –). 
Existem algumas pequenas diferenças de um modelo de calculadora para outro mas, 
em linhas gerais, suas estruturas de cálculo e entrada/saída de dados são muito parecidas. 
Caso  tenha acesso a uma calculadora  financeira  refaça os cálculos  relativos a  juros 
compostos, utilizando as funções financeiras da calculadora. Essa habilidade pode não ser 
muito valorizada dentro de um curso teórico, mas ajuda muito no mercado de trabalho. 
Concluindo, o módulo juro composto nos mostrou outro critério de cálculo em que as 
variações  não  são  lineares  e  os  cálculos  não  podem  ser  efetuados  através  dos  recursos 
simples  das  regras  de  três  e  das  proporções,  mas  pelas  fórmulas  exponenciais  e 
logarítmicas.  Esse  critério  é  importante,  pois,  apesar  de  uma  histórica  proibição  da  sua 
aplicação, é o mais utilizado no dia­a­dia financeiro das empresas e dos cidadãos brasileiros 
em geral. 
Módulo 13 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS 
Ao final desse módulo o aluno será capaz de calcular as taxas de juros equivalentes 
referidas a períodos de tempo diferentes, sob o critério composto de cálculo dos juros. 
Conceito 
Duas  taxas  de  juros  diferentes,  referidas  a  unidades  de  tempo  diferentes,  são 
equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo 
montante.
Fórmula 
Determine as taxas anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro 
composto. 
· ia = taxa unitária anual 
· im = taxa unitária mensal 
número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal. 
Aplicando a fórmula do montante composto teremos: 
· M = P.(1 +im) 12 para a taxa mensal 
· M = P.(1 +ia) para a taxa anual 
Se, como especifica o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos: 
(1 +im) 12 = (1 +ia) 
Essa  fórmula  indica  que  a  taxa  anual  possui  doze  capitalizações  da  mensal 
equivalente. 
Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando­se, na fórmula, os 
números de capitalizações correspondentes. 
Módulo 14 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS 
Aplicações 
a)  Calcule  a  taxa  composta  anual  equivalente  a  2%am.  Solução  por  aplicação  direta  da 
fórmula: 
(1 + 2/100 ) 12 = (1 +ia) → 1 + ia = 1,26824 → ia = 0,26824 ao ano 
R.: A taxa será 26,82% aa. 
b) Calcule a taxa composta semestral equivalente a 3% ao bimestre. Solução por aplicação 
direta da fórmula: 
(1 + 3/100) 3 = 1 + is  → 1,09273 = 1 + is  → is = 0,09273 ao semestre 
R.: A taxa será 9,27% as. 
c) Calcule a taxa composta mensal equivalente a 30% aa. Solução por aplicação direta da 
fórmula: 
(1 + 30/100) = (1 + im) 12  → 1 + im = 12 √1,3  → im = 0,0221 ao mês 
R.: A taxa será 2,21%am. 
d)  Calcule  a  taxa  composta  quadrimestral  equivalente  a  50%  aa.  Solução  por  aplicação 
direta da fórmula:
(1 + 50/100) = (1 + iq) 3  → iq = 3 √1,5 ­ 1  → iq = 0,14471 ao quadrimestre 
R.: A taxa será 14,47% aq. 
Nesse  módulo  você  aprendeu  a  adequar  a  taxa  de  juros  compostos  à  unidade  de 
contagem de tempo da aplicação. É um aspecto importante das finanças, pois sua aplicação 
pode gerar discrepâncias danosas nas finanças dos desinformados. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  ede  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Calcule a taxa composta anual equivalente a cada uma das taxas abaixo: 
a) 1% ao mês (12,68%aa) 
b) 2% ao bimestre (12,62%aa) 
c) 50% a cada dois anos (22,47%aa) 
d) 2,5% ao trimestre (10,38%aa) 
02­Em 1975 a rentabilidade da Caderneta de Poupança foi de 31,66% aa. Qual sua taxa de 
rentabilidade trimestral média equivalente? (7,12%) 
03­O Produto Nacional Bruto de um país  cresceu  200% em dez anos. Qual  foi a  taxa de 
crescimento anual? (11,61%) 
04­Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82% aa? (24,93 anos) 
Módulo 15 – CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS 
Temos dois critérios de cálculo de montantes em números fracionários de períodos. 
Segundo  um  critério  denominado  exponencial,  capitalizamos  a  taxa  diretamente  ao 
número de períodos, mesmo fracionário. 
Existe outro critério de cálculo denominado linear, segundo o qual devemos calcular a 
parte  inteira do número de períodos a  juros compostos e o montante assim obtido deverá 
ser aplicado a juros simples na parte fracionária dos períodos. 
Aplicação 
a) Calcule o montante composto de um principal de R$1.000,00, aplicado à taxa de juros de 
4% ao mês, por cento e quinze dias, pelos critérios linear e exponencial. Exponencial: 
R.: Segundo o critério exponencial o montante será:
R.: Segundo o critério linear o montante será de R$1.162,36. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Um investidor aplicou cinco mil reais durante trinta meses, à taxa composta de 10% ao 
ano.  Qual  será  o  montante  por  ele  recebido?  (linear/exponencial)  (lin­R$6.352,50;  exp­ 
R$6.345,29) 
02­Com  a  finalidade  de  comprar  um  carro  no  valor  de  R$7.500,00,  um  rapaz  aplica 
R$6.000,00 a  juros  compostos de 3% ao mês. Quanto  tempo  levou para obter o valor do 
carro? (lin. e expo.) (exp­7m 16,47d; lin­7m 16,47d) 
03­Qual  é  o  montante  recebido  em  um  investimento  de  R$10.000,00,  por  quatro  anos  e 
nove  meses,  à  taxa  composta  de  10%  aa?  (convenções  linear  e  exponencial)  (lin­ 
R$15.739,08; exp­R$15.725,89) 
04­Uma  aplicação  em  caderneta  de  poupança  rendeu  R$500,00  sobre  um  capital  de 
R$800,00, em um ano e três meses. Que taxa composta anual recebeu? (expon.) (47,46% 
aa) 
05­A  rentabilidade  de  uma  aplicação  é  de  25%  aa.  Sabendose  que  uma  pessoa  lucrou 
R$980,00  sobre  um  capital  de  R$2.500,00,  pergunta­se  quanto  tempo  ficou  o  dinheiro 
aplicado. (convenções linear e exponencial) (lin­1a 5m 14d; exp­ 1a 5m 24d) 
06­Qual é a taxa de juros para treze meses, nas hipóteses abaixo (linear e exponencial): 
a) 27% aa (lin­29,86% ; ex­29,55%) 
b) 6% as (lin­13,48%; ex­13,46%) 
c) 5% aq (lin­17,21%; ex­17,18%) 
d) 10% at (lin­51,29%; ex­51,14%) 
Observação: Não podemos esquecer que as unidades de  tempo da  taxa e do prazo 
devem  ser  as  mesmas.  Outro  fator  importante  é  a  diferença  entre  os  resultados  obtidos 
pelos  dois  critérios.  Devido às estruturas  de  cálculo,  o  linear  apresentará  sempre  valores 
maiores que o exponencial. Outro  fator  importante  é  a  aplicação desses  critérios, apenas 
aos casos em que o número de períodos for fracionário em relação à unidade de tempo da 
taxa  de  juros.04­Em  quanto  tempo  dobra  uma  população  que  cresce  2,82%  aa?  (24,93 
anos) 
Módulo 16 – CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS 
Período de capitalização diferente do período da taxa 
Geralmente a capitalização de uma  taxa composta coincide com seu período. Taxas 
anuais possuem capitalizações anuais, taxas mensais têm capitalizações mensais, e assim 
por  diante.  Alguns  casos,  principalmente  aqueles  cujo  recolhimento  do  juro  não  coincide 
com a unidade de tempo da taxa, pressupõem outros períodos de capitalização. Podemos 
ter taxa anual com capitalização mensal, como é o caso da Tabela Price, modelo de cálculo 
muito utilizado em financiamentos imobiliários.
Esses casos de disparidade da capitalização poderão ser calculados através de uma 
associação entre a proporcionalidade e a recapitalização dentro do período utilizado. 
O cálculo é muito simples: dividimos a taxa pelo número de períodos de capitalização 
e  capitalizamos  o  resultado  novamente,  período  a  período  de  capitalização,  totalizando o 
prazo da operação financeira. 
Aplicação 
a)  Determine  a  taxa  efetiva  anual  correspondente  à  nominal  de  50%  ao  ano,  com 
capitalização mensal. 
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula: 
R.: A taxa efetiva será 63,21% aa. 
b)  Calcule  a  taxa  efetiva  anual  correspondente  à  taxa  nominal  de  30%  ao  ano,  com 
capitalização trimestral. 
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula: 
R.: A taxa efetiva será 33,55% aa. 
Exercícios Propostos: são exercícios para você exercitar os conceitos formados e sua 
habilidade  operacional  e  de  cálculo.  Bom  trabalho!  Os  dados  entre  parênteses  são  as 
respostas. 
01­Calcule a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo: 
a) 24% aa com capitalização mensal (26,82% aa) 
b) 30% aa com capitalização anual (30,00% aa) 
02­Se  o  Banco deseja  ganhar  30%aa  como  taxa  efetiva,  que  taxa  nominal  anual  deverá 
pedir, em cada hipótese de capitalização abaixo: 
a) mensal (26,53% aa) 
b) trimestral (27,12% aa) 
c) quadrimestral (27,42% aa) 
d) semestral (28,04% aa)
03­O Banco Alfa propõe a um cliente a taxa de juros de 40%aa, sendo a capitalização anual. 
O cliente, entretanto, opta pelo financiamento de outro banco, pois sua taxa é de 36,5% aa, 
com capitalização diária. Qual a melhor opção para o cliente? (Banco Alfa: 40% aa  ­ outro 
banco: 44,03% aa) 
04­Uma empresa  toma emprestado R$100.000,00 pelo prazo de dois  anos. Se a  taxa do 
banco  for  de  28%  aa,  com  capitalização  trimestral,  qual  será  o  montante  devolvido  ao 
banco? (R$171.818,60) 
05­Em quanto  tempo  duplica  um  capital  qualquer  aplicado a  juros  compostos  de  50%aa, 
com capitalização mensal? (1a 4m 29d) 
Módulo 17 – SÉRIES DE CAPITAIS 
Ao  final  deste  módulo  o  aluno  será  capaz  de  identificar  uma  série  de  capitais 
destacando suas características, e calcular seus parâmetros pelas fórmulas de definição ou 
das funções apropriadas de uma calculadora financeira. 
Este módulo se reveste de capital importância, pois desenvolve o estudo dos principais 
critérios  de  financiamento  e  de  remuneração  na  aplicação  de  um  conjunto  de  valores 
financeiros. 
Conceito 
Qualquer seqüência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser 
considerada uma série,  também denominada anuidade. Esses  capitais podem ser valores 
que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma Série de Pagamentos, que 
tem como objetivo a quitação de uma dívida ou uma série de aplicações, denominada Série 
de Rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro. 
Uma  série  de pagamentos  tem como principal  característica  seu valor  atual  na data 
zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da 
série  na data  zero, valor  esse que depende  do número e  do valor  dos pagamentos, bem 
como da taxa de juros utilizada no financiamento. 
Já a série de rendas tem como parâmetro importante o montante, ou valor futuro, que 
é  a  soma  de  todas  as  aplicações  na  data  do  último  depósito.  Esse  valor  dependerá  do 
número e do valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi­los. 
De  acordo  com  suas  características,  as  séries  podem  ser  classificadas  em  dois 
grandes grupos, as certas ou determinísticase as probabilísticas ou aleatórias. Uma série é 
denominada certa  quando as datas e os valores dos  seus  termos  são  conhecidos. Como 
exemplo,  temos  os  financiamentos  com  taxas  predeterminadas:  mensalidades  escolares, 
aluguel,  prêmio  de  seguro,  poupança  programada.  A  série  aleatória  não  tem  datas  nem 
valores determinados. Como exemplo, podemos citar os fluxos de caixa das seguradoras. 
Nenhuma companhia de seguros sabe quando vai indenizar um sinistro, e a quanto monta 
essa  saída  de  caixa.  Esses  cálculos  são  feitos  por  meio  da  estatística,  com  modelos 
probabilísticos complexos, por uma área da matemática denominada atuária. 
Devido à complexidade dos cálculos matemáticos exigidos, não estudaremos as séries 
probabilísticas.
Características 
O  estudo  completo  das  séries  envolveria  um  prazo  muito  longo,  e  não  é  esse  o 
objetivo do nosso curso. Para atendermos aos nossos objetivos, escolheremos um modelo 
de série mais restrito, elegendo algumas de suas características. 
Essas características são: 
· série periódica: seus termos ocorrem a períodos iguais. 
· temporária: a série tem uma duração determinada. 
· constante: todos os termos da série têm o mesmo valor. 
· imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo. 
· postecipada: cada termo localiza­se no final do período de vencimento. 
Valor Presente ou à Vista (A) 
Teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser calculado por meio 
da sua definição, termo a termo. Na prática, isso seria complicado, pois podemos ter séries 
com  um  grande  número  de  termos.  Para  evitar  esse  transtorno,  estabeleceremos  uma 
fórmula que fará isso por nós. 
Adotando R para representar as prestações, n para o número de prestações e i para a 
taxa de juros, e aplicando a definição de valor atual na data zero, teremos: 
Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: 
Aplicação 
a) Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais 
iguais a R$250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 
3% ao mês. 
Solução por aplicação direta da fórmula: 
R.: O valor à vista será de R$2.658,74.
b) Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida de valor à 
vista R$5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, 
sem entrada? 
R.: O valor da prestação será R$481,71. 
Exercícios Propostos: 
01­Calcular o valor atual (à vista) de uma anuidade periódica de R$1.000,00, nas hipóteses 
abaixo: 
a) 2%am em 24 meses (R$18.913,93) 
b) 3%am em 12meses (R$9.954,00) 
02­Um terreno é vendido por R$10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais iguais de 
R$500,00. Sabendose que a taxa de juros do financiamento foi de 2,5%am, qual foi o valor à 
vista do imóvel? (R$21.778,13) 
03­Em uma seção de classificados anuncia­se uma casa por R$250.000,00 à vista ou em 
quatro prestações trimestrais de R$77.600,00. Qual é a melhor opção de compra, uma vez 
que  a  taxa  de  juros  corrente  é  de  10%at?  (Melhor  financiar,  pois  o  valor  à  vista  do 
financiamento é menor que o real) 
04­Calcular  o  valor  da  prestação  referente  a  uma  mercadoria  cujo  preço  à  vista  é  de 
R$10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos: 
a) 2,5%am em 12 meses (R$974,87) 
b) 2,5%am em 24 meses (R$559,13) 
05­Um sítio é posto à venda por R$300.000,00 à vista, ou a prazo, nas seguintes condições: 
10%  de  entrada  e  o  restante  em  cinqüenta  pagamentos  mensais  iguais,  com  juros  de 
3%am. Qual é o valor das prestações? (R$10.493,68) 
06­O  gerente  financeiro  de  uma  cadeia  de  lojas  que  vende  a  prazo  deseja  estabelecer 
fatores que serão aplicados ao preço à vista, para o cálculo da prestação mensal. A taxa de 
juros  da  empresa é  de  2%am;  calcule  esses  fatores,  por  unidade  de  capital,  nos  prazos 
abaixo: 
a)6 meses (0,1785258) 
b)12 meses (0,0945596) 
07­Um barco é vendido por R$150.000,00 à vista ou por R$30.000,00 de entrada mais oito 
prestações  quadrimestrais  iguais  de  R$26.742,01.  Que  taxa  quadrimestral  está  sendo 
considerada? (15%) 
08­Certa  agência  de  viagens  diz  financiar  a  juros  de  1,2%am.  Sua  sistemática  de 
financiamento de R$10.000,00, em doze meses, é a seguinte:
1,2% x 12 meses = 14,4%aa 
10.000 x 1,144 = R$11.440,00 
R$11.440,00 ÷ 12 = R$953,33. 
Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de R$953,33. A taxa de juros é realmente 
de  1,2%am?  Sugestão:  calcular  o  valor  da  prestação  e  comparar  com  o  fornecido  pelo 
enunciado. 
Justifique a resposta! (não – cálculos) 
Módulo 18 – SÉRIES DE CAPITAIS 
Valor Futuro ou montante(S) 
O valor futuro ou montante de uma série de rendas poderia ser calculado por meio da 
definição, corrigindo­se os valores dos depósitos para a data do último depósito e somando­ 
os nessa data. Esse procedimento seria, no entanto,  impraticável para uma série com um 
número  grande  de  termos.  Vamos  então  estabelecer  uma  fórmula  que  efetue  todo  esse 
cálculo para nós. Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de 
acordo com a definição: 
Fatorando e simplificando a expressão, teremos: 
Aplicação 
a) Quanto terei de montante ao fim de cinqüenta depósitos mensais iguais a R$300,00, em 
uma instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 3% ao mês, se não fizer 
nenhuma retirada? 
Solução por meio da fórmula do montante da série: 
R.: Ao final dos cinqüenta meses terei R$33.839,06. 
b)  Quanto  deverei  depositar  mensalmente  durante  trinta  meses,  em  uma  instituição  que 
remunera  as  aplicações  a  juros  compostos  de  2%  ao  mês,  se  desejo  ter  de  montante 
R$50.000,00? 
Solução através da aplicação da fórmula do montante da série:
R.: Terei que depositar R$1.232,50 por mês. 
Exercícios Propostos: 
01­Quanto  se  deverá  depositar  mensalmente  para  que  ao  fim  de  cinco  anos,  não  se 
processando nenhuma  retirada,  tenha­se R$50.000,00? Considerar  que  a  instituição  paga 
2,5%am sobre o saldo credor. (R$367,67) 
02­Uma pessoa pretende comprar um apartamento no valor de R$300.000,00 ao fim de dois 
anos.  Sabendo  que  hoje  ela  possui  R$100.000,00  em dinheiro,  a  que  taxa  mensal  deve 
aplicar essa poupança e os 24 depósitos mensais de R$2.809,48 que pretende fazer, para 
que  seu  objetivo  seja  alcançado?  A  sugestão  é  que  se  utilize  a  calculadora  financeira. 
(3%ao mês) 
03­Certo  executivo,  pretendendo  viajar  durante  doze  meses,  resolve  fazer  seis  depósitos 
mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar doze retiradas mensais de 
R$20.000,00, durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá um mês após o 
último depósito. Se a financeira paga juros de 3%am, de quanto devem ser os depósitos? 
(R$30.777,28) 
CONCLUSÃO 
Ao  final  do  curso  de  Matemática  Financeira,  deveremos  ter  cumprido  os  objetivos, 
tomando  contato  com  os  conceitos  básicos  e  capacitados  para  analisar  resultados  e 
identificar perspectivas. Não podemos esquecer que esse curso não esgota o conteúdo da 
disciplina. Você deverá  continuar estudando,  lendo muito  e acompanhando, por meio das 
publicações  especializadas,  a  dança  dos  números  sob  a  regência  dos  conceitos  da 
Matemática Financeira. 
Como professor da UNIP coloco­me à sua disposição para esclarecer as dúvidas. 
Aproveite bem tudo aquilo que você aprendeu! 
Referências 
SOBRINHO,  José  Dutra  Vieira.  Matemática  Financeira.  7ª  Edição,  São  Paulo,  Editora 
ATLAS S. A., 2000. 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Manual de Aplicações Financeiras HP – 12C. 2ª Edição, São 
Paulo, Editora ATLAS S. A., 1985. 
HAZZAN, Samuel &POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª Edição, São Paulo, 
Editora SARAIVA, 2004.
FARIA,  Rogério  Gomes  de.  Matemática  Comercial  e  Financeira.  5ª  Edição,  São  Paulo, 
Editora MAKRON BOOKS, 2000. 
TOSI, Armando José. Matemática Financeira Com Utilização do EXCEL 2000. São Paulo, 
Editora ATLAS S. A., 2000.