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Matemática Financeira
Professor conteudista: Cláudio José dos Santos Penteado
Sumário
Matemática Financeira
Unidade I
1 INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS ..........................................................................................................4
1.1 Proporcionalidade de taxas .................................................................................................................6
2 JUROS SIMPLES ...................................................................................................................................................9
2.1 Valor atual (A) e Valor nominal (N): .............................................................................................. 10
2.2 Juro exato e juro comercial ...............................................................................................................11
2.3 Equivalência de taxas ..........................................................................................................................11
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL ................................................................................................................ 17
3.1 Desconto simples .................................................................................................................................. 17
3.2 Desconto simples racional ou por dentro .................................................................................. 18
4 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL ............................................................................................................. 22
4.1 Desconto simples comercial ou por fora .................................................................................... 22
Unidade II
5 DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO ............................................................................................................... 25
6 TAXA EFETIVA NA OPERAÇÃO DE DESCONTO ...................................................................................... 27
6.1 Taxa efetiva nos descontos simples comercial e bancário .................................................. 27
7 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 31
7.1 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ............................................................................................... 32
7.2 Calculadoras financeiras .................................................................................................................... 37
8 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS .............................................................................. 38
9 CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS ............................. 41
9.1 Período de capitalização diferente do período da taxa ........................................................ 43
10 SÉRIES DE CAPITAIS ..................................................................................................................................... 45
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INTRODUÇÃO
NATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Cada valor financeiro está vinculado a uma data determinada. 
Toda vez que a data de referência de um valor é mudada, ele 
deve ser recalculado. A matemática financeira estuda as relações 
entre os valores financeiros e suas datas.
Desde o aparecimento das sobras dos bens de consumo, que 
começaram a ser comercializados ensejando a criação das moedas 
de troca, a tecnologia progrediu muito, criando instrumentos de 
cálculo cada vez mais eficazes e eficientes, cujo aparecimento tem 
delegado ao ser humano, cada vez mais, a responsabilidade de 
análise dos resultados desses cálculos. Esse processo aposentou, 
nas empresas modernas, o calculista, que foi substituído pelas 
calculadoras programáveis, pelos microcomputadores e grandes 
computadores, equipados com programas de cálculo que operam 
com planilhas cada vez mais precisos e abrangentes, integrados 
com outros softwares que ajudam a cuidar do gerenciamento 
das empresas. Uma das evidências desse processo é o grande 
volume de dinheiro aplicado às estruturas de TI (Tecnologia 
da Informação), responsável não apenas pelos cálculos, mas 
também por fazer com que seus resultados cheguem às mãos 
de quem necessita deles.
Uma das consequências dessa evolução foi o aparecimento 
do manager, que analisa os dados e, baseado neles, toma as 
decisões que vão guiar suas empresas. O desaparecimento 
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do calculista, responsável pelos dados, exigiu do tomador de 
decisões um conhecimento maior da origem desses cálculos e 
dos próprios instrumentos de cálculo.
Nós, da Universidade Paulista – UNIP, resolvemos montar este 
curso para ajudá-lo a desenvolver as competências necessárias 
para se destacar no mercado de trabalho e construir seu futuro, 
trabalhando naquilo que mais gosta, com os instrumentos 
adequados!
O curso é composto de dez capítulos e você deverá estudar 
um por dia, não se restringindo ao conteúdo aqui apresentado, 
mas consultando também a bibliografia citada no final da 
apostila.
Seja bem-vindo e mãos e cabeça à obra!
PLANO DE ENSINO
Ementa da disciplina
• Juros simples
• Descontos simples
• Juros compostos
• Séries de capitais
Objetivos da disciplina
A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar 
aos alunos o domínio dos seus conceitos e nomenclatura, 
bem como instrumentalizá-los no uso das fórmulas e das 
calculadoras financeiras, facilitando-lhes o trânsito na área de 
finanças, de acordo com seu perfil profissional, e servindo como 
base/instrumento para outras áreas do conhecimento.
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Ao final do curso, o aluno deverá ser capaz de identificar 
e efetuar o cálculo das operações financeiras, relacionando-as 
às situações do dia a dia das empresas e da sua própria vida, 
utilizando uma calculadora financeira.
Conteúdo programático
Importância da matemática financeira
• Aplicações
• A matemática financeira e a inflação
Fundamentos
• Taxas: percentual, unitária
• Taxas proporcionais
• Capital, juro e montante
• Valor atual e valor nominal
• Custo, lucro e venda
• Regimes de capitalização
• Fluxo de caixa
Juros simples
• Fórmulas do juro e do montante
• Valor nominal e valor atual
• Juro exato e juro comercial
• Taxas equivalentes
Descontos simples
• Conceitos básicos
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• Desconto simples racional ou “por dentro”
• Desconto simples comercial ou “por fora”
• Desconto simples bancário
• Taxa de desconto e taxa efetiva
Juros compostos
• Conceito
• Fórmula do montante composto
• Valor atual e valor nominal a juros compostos
• Taxas equivalentes
• Montante em um número fracionário de períodos
Séries de capitais
• Conceito
• Série básica
• Valor atual da série básica
• Montante da série básica
1 INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS
Após o estudo deste capítulo, o aluno deverá estar consciente 
da importância da matemática financeira em cada um dos seus 
aspectos básicos, identificando seu relacionamento com outras 
áreas por meio das suas possíveis aplicações.
Esta área da matemática é entendida como o estudo das 
relações dos valores financeiros com suas datas. Não podemos 
perder de vista que cada valorestá vinculado a uma data 
determinada e que a alteração desta data deverá vir acompanhada 
do recálculo desse valor. A importância desse recálculo está 
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confirmada por aspectos considerados importantes na análise 
econômica, como a inflação e o prazo de remuneração do 
capital.
Finalmente, tomamos consciência dessa importância quando 
entramos em contato com o volume dos recursos aplicados às 
estruturas computadorizadas que dão suporte a esse recálculo e 
fazem seus resultados chegarem às áreas de tomada de decisão, 
como já foi dito anteriormente. Do simples consumidor de bens 
vendidos por financiamentos até gestores e operadores da 
estrutura financeira do país, todos devem, na medida das suas 
necessidades, conhecer a matemática financeira.
Para acompanhar um ramo qualquer da ciência, devemos 
conhecer sua nomenclatura e uma série de conceitos básicos. 
Definiremos cada um deles abaixo:
Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) 
pelo uso de um capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma 
unidade de tempo, por meio do qual calculamos os juros; será 
denominada r quando for percentual (base 100) ou i quando 
for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da 
taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo haver 
alguma confusão.
Exemplos:
• a.a. = ao ano
• a.m. = ao mês
• a.t. = ao trimestre
• a.b. = ao bimestre
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Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma 
aplicação expressa na unidade de tempo da taxa de juros.
Exemplo: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis 
bimestres etc.
1.1 Proporcionalidade de taxas
Conceito: duas taxas de juros diferentes que se referem a 
unidades de tempo diferentes são proporcionais quando seus 
valores estiverem na mesma razão que seus prazos.
Fórmula:
i
i
n
n
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1
2
=
Exemplos:
• 2% ao mês e 24% ao ano
• 1% ao bimestre e 3% ao semestre
• 5% ao trimestre e 20% ao ano
• 2% ao dia e 60% ao mês
Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com 
o seu juro.
Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria 
ou se gasta para prestar um determinado serviço.
Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou 
serviço para se calcular seu preço de venda.
Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o 
lucro - V = C + L.
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Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, 
perfazendo um ano de 365 dias.
Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em 
meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias.
Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de 
valores em um caixa, com a marcação desses valores em suas 
respectivas datas, sobre um eixo horizontal, por uma convenção, 
geralmente com setas, que demonstra se são entradas ou 
saídas.
Obs.: De uma forma simplista, podemos considerar o preço 
de venda de um bem como a soma do custo com o lucro, que por 
sua vez poderá ser calculado como um percentual do custo ou 
do preço de venda. O cálculo do lucro, tendo por base o preço de 
venda, é importante por ser a base conceitual de remuneração 
de vendedores comissionados e também de tributos embutidos 
no preço de venda das mercadorias e dos serviços.
Em síntese, de posse do instrumental, devemos analisar 
de que forma poderemos utilizá-lo. Trabalharemos com dois 
critérios diferentes de recálculo, a saber:
1. juros simples;
2. juros compostos.
Aplicações:
a. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 100,00 se 
quiser ter um lucro de 15% do preço de custo?
V = C + L  V = 100 + 0,15 x 100 = R$ 115,00
Resposta: Devo vender o bem por R$ 115,00.
Muito cuidado ao usar a calculadora! 
Para uma precisão coerente com 
nossos cálculos devemos utilizar todos 
os dígitos que podem ser mostrados no 
visor, arredondando apenas a resposta 
final.
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b. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 250,00 se 
quiser ter um lucro de 25% do preço de venda?
V = C + L  V = 250 + 0,25.V  V – 0,25.V = 250  
0,75.V = 250
V = 250/0,75 = R$ 333,33
R.: Devo vender o bem por R$ 333,33.
c. Quanto paguei por um bem vendido por R$ 500,00 se tive 
um lucro de 10% do preço de venda?
V = C + L  500 = C + 0,10.500  C = 500 – 50 = R$ 
450,00
R.: Paguei R$ 450,00 pelo bem.
Exercícios propostos
São exercícios para você exercitar seus conceitos e sua 
habilidade operacional e de cálculo. Bom trabalho! Os dados 
entre parênteses são as respostas.
1. Por quanto devo vender um artigo de custo R$ 60.000,00 
para ter 30% de lucro sobre o preço de venda? (R$ 
85.714,29)
2. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 80,00 
se quero ter de lucro 20% do preço de custo? (R$ 
96,00)
3. Um bem adquirido por R$ 150,00 foi vendido por R$ 
180,00. Calcule o percentual de lucro dessa venda tendo 
por base seu custo. (20%)
4. Em uma venda de um bem por R$ 200,00, 30% do preço de 
custo é o lucro. Calcule o preço de custo. (R$ 153,85)
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5. Na venda de um bem por R$ 240,00, 25% do preço 
de venda é o lucro. Quanto custou esse bem? (R$ 
180,00)
6. Um bem adquirido por R$ 150,00 foi vendido por R$ 
180,00. Calcule o percentual de lucro dessa venda tendo 
por base seu preço de venda. (16.67%)
2 JUROS SIMPLES
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar 
os casos de juros simples e aplicar as fórmulas adequadas ao 
seu cálculo, interpretando os resultados obtidos.
A modalidade de cálculo de juros denominada simples tem 
sua aplicação no cálculo de dívidas de empresas e de países, 
tendo uma aplicação restrita no caso das dívidas tributárias de 
pessoas físicas. Esse conceito reveste-se de especial importância 
quando aparece, em algumas situações, agregado ao do juro 
composto.
Conceito: segundo o critério de cálculo de juros denominado 
simples, o juro de todos os períodos da aplicação somente é 
adicionado ao principal para constituir o montante ao final da 
aplicação. Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se 
a taxa sobre o principal.
Como consequência dessa definição, esse critério também é 
denominado:
• juro não capitalizado;
• juro linear;
• juro proporcional.
Todos os períodos rendem o mesmo valor de juros.
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O juro total é diretamente proporcional à taxa e ao número 
de períodos da aplicação.
Fórmulas:
1. Juro: como cada período renderá juro igual ao principal 
vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n períodos, teremos 
o juro total igual a:
J = P.i.n
2. Montante: será a soma do principal do período com o 
seu juro:
M = P + J
M = P + P.i.n
M = P + (1 + i.n)
2.1 Valor atual (A) e valor nominal (N):
Existe uma forte segmentação na sociedade em quase todos 
os aspectos. Essa característica se acentua quando analisamos a 
linguagem em função do trabalho que a pessoa realiza. Depois 
de algum tempo na área financeira, conseguimos identificar aárea de trabalho dos profissionais por meio do seu vocabulário. 
Profissionais que atuam na área de investimentos utilizam as 
expressões ‘montante’ e ‘principal’ ou ‘capital’. Profissionais das 
áreas de financiamento e pagamento preferem os vocábulos 
‘atual’ e ‘nominal’.
Definimos o atual como um valor da dívida antes da data 
de vencimento e o nominal como seu valor na própria data 
de vencimento. O nominal está associado a uma ideia de valor 
futuro, de montante do valor atual correspondente no prazo de 
antecipação do pagamento da dívida. Reforçando os conceitos, 
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podemos afirmar que o valor nominal de uma dívida é o seu 
valor na data de vencimento e o valor atual é o seu valor antes 
da data de vencimento, e que o valor nominal é o montante de 
cada um dos valores atuais da dívida.
Operacionalmente, podemos escrever:
N = A.(1 + i.n) ou A = N/(1 + i.n)
2.2 Juro exato e juro comercial
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos:
• juro exato para anos contados como de 365 dias; 
aplicado em operações de curto prazo, como descontos 
de duplicadas e de cheques;
• juro comercial para meses de trinta dias, perfazendo um 
ano de 360 dias; aplicado em situações que envolvem o 
consumidor final, como a caderneta de poupança.
2.3 Equivalência de taxas
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a 
unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, a partir 
do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo 
montante.
Fórmula: determine as taxas de juros anual e mensal 
equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro simples.
• ia = taxa de juros unitária anual
• im = taxa de juros unitária mensal
• número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze 
meses, para a taxa mensal.
M = P.(1+ ia) e M = P.(1 + im.12)
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Como os montantes e os principais são iguais, teremos:
1 + ia = 1 + im.12, portanto: ia = 12.im
Chegamos, portanto, à conclusão de que, no juro simples, 
as taxas são proporcionais aos períodos, e os cálculos das 
taxas equivalentes são efetuados por meio de simples 
proporcionalidades.
Aplicações:
a. Calcule o montante de um capital de R$ 500,00 aplicado a 
juros simples de 5% ao mês durante quinze meses.
M = P.(1 + in)  M = 500.(1 + 5/100 . 15)  M = R$ 
875,00
R.: O montante será de R$ 875,00.
b. Que principal devo aplicar por dois anos para obter R$ 
670,00 de montante, à taxa de juros simples de 5% ao 
mês?
M = P.(1 + in)  670 = P.(1 + 5/100 . 24)  670 = P.2,20 
 P = 670/2,20
P = R$ 304,55
R.: O principal será de R$ 304,55.
c. A que taxa de juro simples mensal devo aplicar um principal 
de R$ 1.000,00 para obter R$ 1.800,00 de montante em 
um ano e meio?
M = P.(1 + in)  1800 = 1000. (1 + i.18)  1800/1000 = 
1 + i.18  i.18 = 1,8-1
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i = 0,8/18  i = 0,044444 ao mês  taxa = 4,44% ao 
mês
R.: A taxa mensal será de 4,44%.
d. Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a 
juros simples de 5% ao mês? Dê a resposta em anos e 
meses.
M = P.(1 + in)  2P = P.(1 + 5/100.n)  2 = 1 + 0,05.n 
 2-1 = 0,05.n
n = 1/0,05  n = 20 meses
R.: O prazo será de um ano e oito meses.
Em síntese, o capítulo Juro simples nos mostrou que, por 
esse critério, as variações são lineares e os cálculos deverão 
ser efetuados por recursos simples das regras de três e das 
proporções.
Exercícios propostos
1. Calcule a taxa trimestral proporcional às seguintes taxas:
a. 21% a.a. (5, 25% a.t.)
b. 40% a.s. (20% a.t.)
c. 15% cada cinco meses. (9% a.t.)
2. Determine a taxa proporcional referente a quatro meses 
para cada uma das seguintes taxas:
a. 1% a.m. (4% a.q.)
b. 5% a.b. (l0% a.q.)
c. 20% a.a. (6,67% a.q.)
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d. 12% a.t. (16% a.q.)
3. Calcule o juro simples e o montante de:
a. R$ 500,00, a 200% a.a., em 10 meses. (R$ 833,33 - R$ 
1.333,33)
b. R$ 5.000,00, a 250% a.a., em 2 anos e 4 meses. (R$ 
29.166, 67 - R$ 34.166,67)
c. R$ 3.500,00, a 36% a.a., por 19 meses. (R$ 1.995, 00 
- R$ 5.495,00)
4. Qual é a taxa de juros que gera os montantes abaixo, a 
partir de um principal de R$ 1.200,00:
a. R$ 1.998,00 em três anos e dois meses. (21% a.a.)
b. R$ 1.470,00 em 10 meses. (27% a.a.)
5. Qual é o capital que rende:
a. R$ 1.500,00, a 18% a.a., em 10 meses? (R$ 
10.000,00)
b. R$ 6.480,00, a 21,6% a.a., em dois anos e seis meses? 
(R$ 12.000,00)
c. R$ 15.000,00, a 30% a.a., em três anos e quatro meses? 
(R$ 15.000,00)
6. Em quanto tempo um capital de R$ 10.000,00, aplicado a 
26,4% a.a.
a. Renderá R$ 4.620,00? (21 meses)
b. Elevar-se-á a R$ 16.160,00? (28 meses)
7. Se o valor atual for igual a dois terços do valor nominal e 
o prazo de aplicação for de dois anos, qual será a taxa de 
juros considerada? (25% a.a.)
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8. Calcule o juro simples comercial e o exato das seguintes 
propostas:
a. R$ 8.000,00, a 20% a.a., por 90 dias. (c = R$ 400,00; 
e = R$ 394,52)
b. R$ 15.000,00, a 27% a.a., por 135 dias. (c = R$ 
1.518,75; e = R$ 1.497,95)
c. R$ 28.000,00, a 30% a.a., em 222 dias. (c = R$ 5.180,00; 
e = R$ 5.109,04)
9. Calcule o valor atual de um título em cada uma das datas 
abaixo, sabendo que seu valor nominal é R$ 20.000,00, 
com vencimento daqui a dois anos, à taxa simples de 28% 
a.a.:
a. hoje. (R$ 12.820,51)
b. daqui a um ano. (R$ 15.625,00)
c. a quatro meses do vencimento. (R$ 18.292,68)
10. O valor nominal de um título é igual ao dobro do seu 
valor de face (valor aplicado). Sabendo que a taxa de juros 
corrente é de 13% a.a., calcule o prazo de aplicação desse 
título. (7 anos e 8 meses)
11. Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista, 
ou por 20% do valor à vista como entrada mais um 
pagamento de R$ 2.760,00 após seis meses. Qual é a taxa 
de juros cobrada? (2,5% a.m.)
12. João tomou emprestado R$ 20.000,00 de Carlos para 
pagá-lo após dois anos. A taxa ajustada foi de 30% a.a. 
Quanto Carlos poderia aceitar se seis meses antes do 
vencimento da dívida João fosse resgatá-la, e se, nessa 
época, o dinheiro valesse 25% a.a.? (R$ 28.444,44)
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13. João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa 
de 28,8% a.a. Sabendo-se que João pagou R$ 2.061,42 
para Carlos, saldando a dívida dois meses antes do seu 
vencimento, e que nessa época a taxa corrente de mercado 
era de 25,2% a.a., pergunta-se o valor emprestado e o 
prazo inicial se os juros previstos montavam R$ 648,00. 
(R$ 1.500,00; 18 meses)
14. Por quanto devo vender um artigo de custo R$ 60.000,00 
para ter 30% de lucro sobre o preço de venda? (R$ 
85.714,29)
15. O valor da cota de um fundo de investimento era R$ 
17,87. Três meses depois, esse valor aumentou para R$ 
24,43. Qual a taxa de rentabilidade trimestral desse fundo? 
(36,71% a.t.)
16. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 5.000,00, ou 
então por R$ 1.500,00 de entrada mais uma parcela de 
R$ 4.250,00 após quatro meses. Qual a taxa mensal dejuros simples utilizada? (5,36% a.m.)
17. Em quanto tempo triplica um capital qualquer aplicado 
a juros simples de 10% a.m.? (20 meses)
18. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 
30.000 sacas, na expectativa de alta de preço do produto, 
recusa uma oferta de R$ 5,00 por saca. Seis meses mais 
tarde, vende seu estoque a R$ 12,00 a saca. Sabendo que 
a taxa de juros de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro 
ou prejuízo real do produtor utilizando o regime de juros 
simples. (Lucrou R$ 102.000,00)
19. Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de R$ 
222.857,00, foram aplicados em uma mesma data, sendo o 
primeiro a 168% a.a. e o segundo a 120% a.a. Considerando 
juros simples, determine o tempo necessário para que os 
montantes se igualem. (3 meses e 27 dias)
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20. Carlos fez uma aplicação de R$ 600.000,00 num prazo fixo 
de nove meses, a juros simples de 96% a.a. Necessitando 
de dinheiro, quatro meses antes do vencimento, vendeu 
o título à Vera. Determine o valor de venda (valor atual 
na data cinco), sabendo-se que a taxa de juros simples 
corrente de mercado, na data da venda, era de 108% a.a. 
(R$ 758.823,53)
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL
3.1 Desconto simples
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar 
uma operação de desconto simples, reconhecer o critério de 
desconto racional e efetuar os cálculos utilizando suas fórmulas.
Não podemos esquecer que o desconto é denominado 
simples porque é calculado segundo o critério de juros simples.
A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia 
a dia da maioria das empresas, nas quais a operação de desconto 
é responsável pelo capital de giro, sem o qual a empresa não 
conseguiria subsistir. A aplicação desse conceito, denominada 
operação de desconto, tem posição de destaque na estrutura 
das empresas modernas.
Conceitos
Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de 
uma dívida como consequência da antecipação da sua data de 
pagamento.
Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da 
data de pagamento efetivo até a data de vencimento.
Valor descontado ou líquido (VD): é o valor efetivamente 
pago ou recebido após o abatimento do desconto.
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Taxa de desconto: é a taxa de juros utilizada nas operações 
de desconto.
Os descontos podem ser calculados de acordo com dois 
critérios distintos: um deles é o cálculo tomando-se por base o 
valor atual da dívida e o outro sobre o seu valor nominal.
3.2 Desconto simples racional ou por dentro
Definição: segundo o critério racional ou por dentro, o 
desconto simples é calculado como o juro simples do valor atual 
da dívida, na data da antecipação, pelo prazo de antecipação da 
data de pagamento.
Fórmulas
1. Desconto simples racional ou por dentro
• De acordo com a definição, teremos: D = A.i.n.
• Caso o valor atual (A) da dívida seja substituído por sua 
expressão, teremos:
D
Nin
in
=
+1
2. Valor descontado racional ou valor líquido racional
Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença 
entre o valor nominal e o desconto racional. Portanto,
VD = N – D
Substituindo suas expressões, teremos:
VD = N – N.i.n/(1 + i.n), que, por simplificação, transformar-
se-á em:
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Aplicações:
a. Calcule o desconto simples racional de um título de valor 
nominal R$ 1.000,00, em uma antecipação de três meses, 
à taxa de desconto de 4% ao mês.
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto 
simples racional: D
Nin
in
=
+1
Substituindo os valores: D =
+
1000
4
100
3
1
4
100
3
. .
.
 = R$ 107,14
R.: O desconto será de R$ 107,14
b. Um título de valor nominal R$ 245,00 foi descontado em 
uma antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com 
um desconto simples racional de R$ 35,00. Determine a 
taxa de desconto utilizada nessa operação.
Podemos iniciar com a fórmula do valor descontado: 
VD = +
N
in1
Substituindo os valores, temos: 210 = 245
1 4+ i.
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i = 
245
210
1
4
−
 = 0,04167, que se transforma percentualmente 
em: 4,17% ao mês .
R.: A taxa de desconto será de 4,17% ao mês.
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c. Calcule o prazo de antecipação em um desconto racional 
de um valor nominal de R$ 560,00, com uma taxa de 
desconto de 3% ao mês, sabendo que o desconto foi de 
R$ 43,00.
Devemos partir da fórmula do valor descontado racional: 
VD =
+
N
in1
Substituindo os valores fornecidos, teremos: 
517 = 
560
1 0 03+ , .n
n = 
560
517
1
0 03
−
,
 = 2,77 meses  2 meses e 23 dias
R.: O prazo será de dois meses e vinte e três dias.
d. Determine o valor descontado racional de um título de 
valor nominal R$ 1.000,00, sabendo que sua antecipação 
foi de dois meses e que a taxa utilizada nessa operação foi 
de 5% ao mês.
O valor descontado racional possui fórmula própria:
VD =
+
N
in1
Substituindo os valores, teremos:
VD =
+
1000
1 0 05 2, .
 = R$ 909,09
R.: O valor descontado racional será R$ 909,09.
Em síntese, vimos que o desconto é um abatimento 
provocado pela antecipação da data de pagamento e aplicado 
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sempre sobre o valor nominal, mas que sua base de cálculo pode 
ser o valor atual, resultando no critério de cálculo racional ou 
por dentro.
Exercícios propostos
1. Calcule o desconto racional simples em cada uma das 
hipóteses abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 50.000,00 100% a.a. 3 meses (R$ 10.000,00)
b. R$ 95.800,00 35% a.a. 140 dias (R$ 11.477,26)
c. R$ 42.300,00 85% a.a. 1 ano e 2 meses (R$ 21.061,51)
d. R$ 73.450,00 76,3% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 13.886,56)
2. Calcule o valor descontado racional simples dos seguintes 
títulos:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 30.000,00 30% a.a. 75 dias (R$ 28.235,29)
b. R$ 50.000,00 45,9% a.a. 300 dias (R$ 36.166,37)
c. R$ 85.240,00 25,8% a.a. 4 meses (R$ 78.489,87)
d. R$ 90.000,00 40,7% a.a. 1 ano e meio (R$ 55.883,27)
3. Quanto devo pagar por um título de valor nominal R$ 
100.000,00, com vencimento em 150 dias, se quero ganhar 
36% a.a.? (R$ 86.956,51)
4. O valor nominal de uma promissória com vencimento em 
25/10/89 é de R$ 30.000,00. Se o dinheiro valer 40% a.a. e 
a promissória for saldada no dia 20/03/89, de quanto será 
o desconto por dentro obtido? Qual o valor descontado? 
(VD = R$ 24.128,69; D = R$ 5.871,31)
5. Se o desconto racional concedido for de R$ 60,00, qual será 
a taxa considerada se o valor nominal for de R$ 600,00 e 
o período de antecipação, de três meses? (44,44% a.a.)
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6. Um título de valor nominal R$ 13.000,00 foi resgatado 
antes do seu vencimento, sendo bonificado com um 
desconto racional de R$ 350,00. Sendo a taxa de 30% 
a.a., qual foi a antecipação? (1 mês e 3 dias)
7. O valor descontado de uma promissória é de R$ 1.600,00, 
tendo sido adotada ataxa de 20% a.a. Qual será o prazo 
de antecipação se o desconto racional for de R$ 70,00? (2 
meses e 18 dias)
8. Um título cujo resgate foi efetuado a 150 dias do 
vencimento foi negociado à taxa de 25% a.a. Qual era o 
valor nominal do título, uma vez que o valor descontado 
racional recebido foi de R$ 2.000,00? (R$ 2.200,33)
4 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL
4.1 Desconto simples comercial ou por fora
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar 
as operações de desconto simples comercial e, conhecendo a 
nomenclatura das suas grandezas, fazer os cálculos por meio 
das fórmulas montadas a partir das definições.
Será capaz também de calcular a taxa efetiva envolvida na 
operação de desconto comercial.
Definição: segundo o critério comercial ou por fora, o 
desconto simples é calculado como o juro simples do valor 
nominal da dívida, pelo prazo de antecipação da data de 
pagamento.
Fórmulas:
1. Desconto simples comercial ou por fora
Se o desconto comercial é o juro simples do valor nominal 
pelo prazo de antecipação, sua fórmula será:
d = N.i.n
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2. Valor descontado ou líquido comercial ou por fora
De acordo com o conceito de valor descontado, temos: 
Vd = N – d.
Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Vd = N – N.i.n ou Vd = N.(1 – i.n)
Em síntese, vimos que o desconto comercial ou por fora tem 
sua base de cálculo no valor nominal da dívida, sendo o mais 
aplicado nas áreas de finanças das empresas.
Exercícios propostos
1. Calcule o desconto comercial dos títulos abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 100.000,00 40% a.a. 300 dias (R$ 33.333,33)
b. R$ 150.000,00 38% a.a. 4 meses (R$ 19.000,00)
c. R$ 245.000,00 50% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 37.430,56)
2. Calcule o valor descontado comercial dos títulos abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 100.000,00 40% a.a. 300 dias (R$ 66.666,67)
b. R$ 150.000,00 38% a.a. 4 meses (R$ 131.000,00)
c. R$ 245.000,00 50% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 207.569,44)
3. Uma nota promissória foi descontada quatro meses antes 
do seu vencimento, à taxa de 26% a.a. Sabendo que o 
seu valor atual comercial foi de R$ 20.000,00, calcule seu 
valor nominal. (R$ 21.897,81)
4. O valor nominal de um título é quinze vezes o seu desconto 
comercial a 30% a.a. Qual será o prazo de antecipação? 
(80 dias)
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5. O valor atual comercial recebido de um título é de R$ 
23.600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a. e o prazo 
de antecipação de 72 dias. Qual foi o desconto comercial 
desse título? (R$ 1.400,00)
6. Pelo valor nominal de R$ 10.000,00 uma pessoa recebeu 
R$ 9.556,94 como valor atual comercial. Qual seria a 
antecipação se a taxa de juros adotada tivesse sido de 
29% a.a.? (55 dias)
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