Aula 3 Séries Estatísticas P2

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2.6. Distribuição de Freqüências - Variável Discreta 
 
Depois de colocarmos os dados na forma de uma distribuição de freqüência, 
poderemos facilmente obter algumas informações adicionais e úteis para a 
compreensão da série, se considerarmos os seguintes conceitos: 
 
FREQÜÊNCIA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - fr 
 
É a divisão da freqüência simples deste elemento pelo número total de elementos 
da série. 
 
fr= fi / n 
 
 
Exemplo: Considere a variável discreta: 
 
xi fi 
2 3 
3 7 
4 8 
6 6 
7 1 
 
O total de elementos desta série é 25. Portanto, a freqüência relativa do primeiro 
elemento distinto da série, que é 2, vale: 
 
 fr1 = f1 / n = 3 / 25 = 0,12 ou 12%. 
 
A freqüência relativa do segundo elemento distinto, que é 3, vale: 
 
 fr2 = f2 / n = 7 / 25 = 0,28 ou 28%. 
 
Da mesma forma determinamos a freqüência relativa dos elementos seguintes da 
série: 
 
 fr3 = f3 / n = 8 / 25 = 0,32 ou 32%. 
 fr4 = f4 / n = 6 / 25 = 0,24 ou 24%. 
 fr5 = f5 / n = 1 / 25 = 0,04 ou 4%. 
 
Note que estes valores representam a participação percentual de cada elemento 
distinto na série. 
 
 
 
 
Assim, podemos fazer a interpretação: 
 
- 12% dos valores da série são iguais a 2 
- 28% dos valores da série são iguais a 3 
- 32% dos valores da série são iguais a 4 
- 24% dos valores da série são iguais a 6 
- 4% dos valores da série são iguais a 7 
 
 
 FREQÜÊNCIA ACUMULADA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - Fi: 
 
É a soma da freqüência simples deste elemento com as freqüências simples dos 
elementos que o antecedem. 
 
 
 Fi = f1 + f2 + ... + fi, 
 
 
Desta forma, a freqüência acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6 e 7 valem 
respectivamente: 
 
 F1 = f1 = 3 
 F2 = f1 + f2 = 3 + 7 = 10 
 F3 = f1 + f2 + f3 = 3 + 7 + 8 = 18 
 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 3 + 7 + 8 + 6 = 24 
 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 3 + 7 + 8 + 6 + 1 = 25 
 
Obs: Note que neste exemplo i varia de 1 até 5, isto é, i = 1, 2, ... , 5 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 
- 3 elementos da série são valores menores ou iguais a 2. 
- 10 elementos da série são valores menores ou iguais a 3. 
- 18 elementos da série são valores menores ou iguais a 4. 
- 24 elementos da série são valores menores ou iguais a 6. 
- 25 elementos da série são valores menores ou iguais a 7. 
 
 
FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - Fri 
 
É a divisão da freqüência acumulada deste elemento, pelo número total de 
elementos da série: 
 
 
 Fri = Fi / n 
 
 
 
 
Assim, a freqüência acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e 7 valem 
respectivamente: 
 
Fr1 = F1 / n = 3 / 25 = 0,12 ou 12% 
Fr2 = F2 / n = 10 / 25 = 0,40 ou 40% 
Fr3 = F3 / n = 18 / 25 = 0,72 ou 72% 
Fr4 = F4 / n = 24 / 25 = 0,96 ou 96% 
Fr5 = F5 / n = 25 / 25 = 1 ou 100% 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 
- 12% dos valores da série são menores ou iguais a 2. 
- 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3. 
- 72% dos valores da série são menores ou iguais a 4. 
- 96% dos valores da série são menores au iguais a 6. 
- 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7. 
 
Quando acrescentamos estes valores à tabela original, esta passa a se chamar 
distribuição de freqüéncias. Para o exemplo estabelecido, a distribuição de 
freqüências é: 
 
xi fi fri (%) Fi Fri (%) 
2 3 12 3 12 
3 7 28 10 40 
4 8 32 18 72 
6 6 24 24 96 
7 1 4 25 100 
 
 
2.7. Distribuição de Freqüências - Variável Contínua 
 
No caso da variável contínua, pelo fato de termos utilizado intervalo de classe, 
semi-aberto à direita, as interpretações são diferentes. Portanto redefiniremos 
estes tipos de freqüência. 
 
 
FREQÜÊNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE - fri 
 
É a divisão da freqüência simples desta classe pelo número total de elementos da 
série. 
 
 fri = fi / n 
 
 
 
 Exemplo: Considere a distribuiçao de frequencia: 
 
Classe 
Intervalo 
de classe 
fi 
1 2 4 6 
2 4 6 18 
3 6 8 10 
4 8 10 6 
 
O total de elementos desta série é 40. 
 
Portanto, a freqüência relativa da primeira classe é: 
 
fr1 = f1 / n = 6 / 40 = 0,15 ou 15% 
 
A freqüência relativa da segunda classe é: 
 
fr2 = f2 / n = 18 / 40 = 0,45 ou 45% 
 
A freqüência relativa da terceira classe é: 
 
fr3 = f3 / n = 10 / 40 = 0,25 ou 25% 
 
A freqüência relativa da quarta classe é: 
 
fr4 = f4 / n = 6 / 40 = 0,15 ou 15% 
 
Observe que estes valores representam a participação percentual dos elementos 
por classe. A interpretação para estes valores é: 
- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 2 e menores que 4. 
- 45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que 6. 
- 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que 8. 
- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que 10. 
 
 
 
FREQÜÊNCIA ACUMULADA DE UMA CLASSE - Fi : 
 
É a soma da freqüência simples desta classe com as freqüências simples das 
classes anteriores. 
 
 
 Fi = f1 + f2+ f3 + ... + fi 
 
 
Desta forma, as freqüências acumuladas para estas classes são: 
 
 F1 = f1 = 6 
 F2 = f1 + f2 = 6 + 18 = 24 
 F3 = f1 + f2 + f3 = 6 + 18 + 10 = 34 
 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 6 + 18 + 10 + 6 = 40 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrano que são todos 
maiores ou iguais a 2. 
- 6 elementos da série são valores menores que 4. 
- 24 elementos da série são valores menores que 6. 
- 34 elementos da série são valores menores que 8. 
- 40 elementos da série são valores menores que 10. 
 
 
FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UMA CLASSE - Fri: 
 
É a divisão da freqüência acumulada desta classe pelo número total de elementos 
da série: 
 
 
 Fri = Fi / n 
 
 
Deste modo, a freqüência acumulada relativa para cada classe é: 
 
Fr1= f1 / n = 6/ 40 = 0,15 ou 15% 
Fr2= f2 / n = 24/ 40 = 0,60 ou 60% 
Fr3= f3 / n = 34/ 40 = 0,85 ou 85% 
Fr4= f4 / n = 40/ 40 = 01 ou 100% 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrand que são todos 
maiores ou iguais a 2: 
-15% dos valores da série são menores que 4. 
- 60% dos valores da série são menores que 6. 
- 85% dos valores da série são menores que 8. 
- 100% dos valores da série são menores que 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando acrescentamos estes valores à tabela original, esta passa a se chamar 
distribuição de freqüências. Para o exemplo estabelecido, a distribuição de 
freqüências é: 
 
Classe 
Intervalo de 
Classe 
fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 2 4 6 15 6 15 
2 4 6 18 45 24 60 
3 6 8 10 25 34 85 
4 8 10 6 15 40 100 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Construa a distribuição de freqüências para a série representativa da idade de 
50 alunos do primeiro ano de uma Faculdade. 
 
idade (anos) Número de alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
2.. Interprete os valores colocados na 3ª linha da distribuição de freqüências do 
problema anterior. 
 
3. Complete o quadro. 
 
xi fi fri Fi Fri (%) 
2 16 
5 24% 
8 57 
10 76 
13 
 200 
 
 
 
 
 
4. Construa a distribuição de freqüências para a série abaixo que representa o 
número de acidentes em determinado cruzamento observados por dia, durante 40 
dias. 
Número de 
acidentes por 
dia 
Número de 
dias 
fi 
0 30 
1 5 
2 3 
3 1 
4 1 
5. Interprete todos os valores da segunda linha da distribuição de freqüências 
do problema anterior. 
 
6. Construa a distribuição de freqüências para a série abaixo que representa 
uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. 
 
Classe Salários US$ 
Número de 
funcionários - fi 
1 1.000,00 1.200,00 2 
2 1.200,00 1.400,00 6 
3 1.400,00 1.600,00 104 1.600,00 1.800,00 5 
5 1.800,00 2000,00 2 
 
7. Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuição de freqüências 
do problema anterior. 
 
8. Construa a distribuição de freqüências para a série abaixo que representa o 
saldo de 25 contas de pessoas físicas em uma agência em determinado dia. 
 
Classe Saldo US$ 
Número de 
pessoas - fi 
1 0 10.000,00 5 
2 10.000,00 20.000,00 10 
3 20.000,00 30.000,00 8 
4 40.000,00 40.000,00 2 
9. Interprete os valores da terceira linha da distribuição de freqüências do 
problema anterior. 
 
 
 
 
10. Complete o quadro de distribuição de freqüências. 
 
Classe Intervalo de classe fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 6 10 1 
2 10 14 25 
3 14 18 14 
4 18 22 90 
5 22 26 2 
 
 
2.8. Representação gráfica de Séries Estatísticas 
 
Exitem muitas formas de se representar graficamente uma série estatística 
 
Por exemplo: 
 
Gráficos em linhas 
colunas 
barras 
setores 
percentagens 
 
Gráficos polares 
pictóricos 
cartogramas etc 
 
O objetivo destes gráficos, em geral, são de apresentação, que o leitor com pouco 
esforço compreenderá e saberá tirar conclusões. 
 
Nosso interesse estará voltado para os gráficos de análise da série estatística que 
são: 
Histograma; 
Polígono de Frequência; 
Curva polida de Frequência 
 
Histograma para a Variável Discreta 
 
É um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordenadas 
cartesianas em que as base são os valores de (xi ) e a altura representam os 
valores correspondentes de fi . 
 
Exemplo: Considere a série abaixo 
 
xi fi 
2 1 
3 4 
5 8 
6 6 
7 2 
 
 
 
 
 
 
O histograma correspondente será: 
 
 
 
Histograma - Váriavel Contínua 
 
É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um sistema de 
coordenadas cartersiana, onde as bases são os intervalos de classes e as alturas 
são as freqüências simples correspondentes. 
 
Exemplo: Considere a série abaixo: 
 
Classe 
Int. 
classe 
fi 
1 0 2 3 
2 2 4 6 
3 4 6 8 
4 6 8 5 
5 8 10 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O histograma correspondente será: 
 
 
 
Note que o eixo horizontal foi deslocado para a esquerda do sistema apenas por 
uma questão de clareza da representação gráfica. 
 
Um espaço igual a um intervalo de classe é deixado, intencionalmente, no início e 
no final da representação gráfica. 
 
 
Polígono de freqüência 
 
Se consideramos o espaço inicial e final como sendo classes com freqüência zero 
e unirmos os pontos médios das bases superiores destes retângulos, obtemos 
uma nova figura chamada polígono de freqüência. 
 
 
Observações: 
 
- A área do polígono de freqüência é a mesma área do histograma. 
- Quando estamos lidando com um censo, o histograma representa diretamente a 
distribuição de freqüência da população, enquanto que a amostra representa 
apenas a distribuição de freqüência da amostra. 
 
 
Curva polida de freqüência 
 
Se imaginarmos o número n de elementos da amostra aumentando 
progressivamente, o número de classes iria aumentado progressivamente e a 
amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que transformaria o polígono de 
freqüência praticamente em uma figura polida, chamada curva polida de 
freqüência. 
Esta figura nos dará uma noção da distribuição de freqüência da população. 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Construa um histograma para a distribuição de freqüência: 
 
xi fi 
1 2 
2 3 
3 5 
4 4 
5 3 
6 1 
2. Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos do 
primeiro ano de uma Faculdade: 
 
xi fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
3. Construa um histograma para a série representativa do número de acidentes 
por dia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias: 
 
Número de acidentes por dia - xi Número de dias - fi 
0 30 
1 5 
2 3 
3 1 
4 1 
 
4. Construa um histograma para a série representativa de uma amostra dos 
salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa: 
 
Classe Salários US$ 
Nº de 
funcionários - fi 
1 1.000,00 1.200,00 2 
2 1.200,00 1.400,00 6 
3 1.400,00 1.600,00 10 
4 1.600,00 1.800,00 5 
5 1.800,00 2.000,00 2 
 
5. Construa o polígono de freqüência para a distribuição do problema anterior. 
 
6. Construa um histograma para a série representativa do saldo de 25 contas de 
pessoas físicas em uma agência em determinado dia. 
 
Classe Saldos US$ Nº de contas - fi 
1 0,000000 10.000,00 5 
2 10.000,00 20.000,00 10 
3 20.000,00 30.000,00 8 
4 30.000,00 40.000,00 2