Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

Prévia do material em texto

Processamento Digital de Sinal 
SINAIS E SISTEMAS DISCRETOS
 Exercícios Resolvidos 
11 
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: 
Sinais Discretos 
 (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes Problema 1.1.
sinais discretos. 
Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições 
respectivas dos sinais pares e ímpares 
   x n x n 
, (1.1) 
   x n x n  
. (1.2) 
a)
 
1
; 0
0 ; 0
n
x n n
n


 
 
Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2)
, ou seja, é necessário calcular 
 x n
 e verificar se este se relaciona com 
 x n
, através
de uma relação de paridade. Directamente da definição de 
 x n
 e (1.2) obtém-se
   
1
; 0
0 ; 0
n
x n x nn
n

 
   
 
. (1.3) 
O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 
1.1a. 
b)  
2
1
; 02
3
; 0
0
n
n
x n
n
         

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
12 
 
 
 
2 2
11 ; 0 ; 022
33
; 0 ; 0
00
nn
n n
x n x n
n n
                    

. (1.4) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b. 
c)
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
  
  

. (1.5) 
O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, 
como pode ser observado pela Figura 1.1c. 
d)
 
  ; 04 1
; 00
n
n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
 
 
 
 
 
1
4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1
1
; 0 ; 0 ; 00 0
0
n n
nn n n
x n x n
n n n
       
      
    

. (1.6) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d. 
13 
 
 
 
Figura 1.1. Representação de 
 x n
. 
 a  b
 c  d
14 
 
 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos Problema 1.2.
seguintes sinais. 
 
Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário 
considerar as seguintes definições 
 
     
1
2
px n x n x n    
, (1.7) 
 
     
1
2
ix n x n x n    
, (1.8) 
que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas 
relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos 
           
1 1
2 2
p px n x n x n x n x n x n             
, (1.9) 
               
1 1 1
2 2 2
i ix n x n x n x n x n x n x n x n                       
. (1.10) 
 
 
c) 
   0 2j nx n e  
 
 
O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em 
 
   0 2 0 0cos sin
2 2
j n
x n e n j n
       
         
   
. (1.11) 
Através do círculo trigonométrico é possível identificar 
 
 cos sin
2
x x
 
   
 
, 
 sin cos
2
x x
 
  
 
, (1.12) 
que aplicado em (A.67) permite obter 
 
     0 0sin cosx n n j n    
. (1.13) 
A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas: 
 
i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é 
possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma 
15 
 
 
     i px n x n x n 
, (1.14) 
onde 
 
   0sinix n n  
, (1.15) 
 
   0cospx n j n 
, (1.16) 
são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal. 
 
ii) Pela definição (1.7) podemos então obter 
 
       0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
px n j n n j n            
. (1.17) 
Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno 
 
   cos cosx x 
, 
   sin sinx x  
, (1.18) 
facilmente se chega a 
 
         0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos cos
2
px n j n n j n j n            
. (1.19) 
Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-
se a 
 
       
         
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
1
sin cos sin cos sin
2
ix n j n n j n
n j n n j n n
             
             
. (1.20) 
A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2 
 
16 
Figura 1.2. Representação de 
 x n
. 
17 
 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, 
 x n
 e 
 y n
,Problema 1.3.
tais que 
   2 3y n x n 
. (1.21) 
Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 
0N 
, tal que respeita a 
condição 
   x n x n N 
, 
n 
. (1.22) 
O período fundamental 
0N
define-se como o menor inteiro positivo que verifica (1.22). 
Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 
0N
é também um período de 
 x n
. 
Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo 
 0sin n
, 
 0cos n
ou  0j ne  , onde 
0
é a frequência fundamental, e 
2M 
, seja periódico, é
necessário que se verifique 
0
M


, (1.23) 
onde é o conjunto dos números racionais. 
a) Se 
 x n
 é par logo 
 y n
 é par?
Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma 
vez que 
     2 3y n x n y n    
, (1.24) 
e sendo que 
 x n
é par vem ainda
       2 3 2 3 2 3x n x n y n x n      
, (1.25) 
pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do 
sinal. No entanto, se 
 x n
 for periódico, de período
0 1,2,3,6N 
, tem-se que 
18 
     2 3 2 3x n x n y n   
, ou seja, a paridade do sinal seria mantida e 
 y n
seria 
par. 
b) Se 
 x n
 é periódico logo 
 y n
 também o é? Se sim calcule o período de 
 y n
.
(i) Resolução intuitiva
Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma 
mudança de escala temporal, correspondente ao termo 
2n
; (b) Um deslocamento 
temporal, correspondente ao termo 
3
. Note-se que, uma mudança de escala altera o 
período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal 
periódico 
 x n
, de período
0N
, na forma
  0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2
... ...k k
n N N N N N
x n
x x x x x x x x
   

. (1.26) 
Torna-se então necessário separar os casos em que 
0N
 é par ou ímpar. Quando 
0N
é 
par tem-se que 
         
0
0
0 2 4 0
0 1 2 ... 2
2 0 2 4 ...
...
n N
x n x x x x N
x x x x


, (1.27) 
logo o período de 
 2x n
 é dado por
0 2N N
. Uma vez que a próxima operação, o 
deslocamento, não altera a periodicidade, o período de 
 y n
 é
0 2yN N
. Para o caso 
em que 
0N
 é ímpar, 
0 2N N
não é inteiro, pelo que não pode ser um período de 
 y n
. Para este caso, tem-se que 
               
0 0 0
0
0 0 0 0
0 2 4 1 3 0
1 1 3
0 1 2 ... ...
2 2 2
2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2
... ...k
N N N
n N
x n x x x x N x N x N x N
x x x x x x x
  

   ,(1.28) 
19 
logo o período de 
 2x n
 é dado por
0N N
. Novamente, o deslocamento não altera a 
periodicidade,e o período de 
 y n
 é
0yN N
. Ambas as componentes e a sua 
periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4. 
(ii) Resolução pela definição
Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que 
n 
, 
   yy n N y n 
. (1.29) 
Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como 
n 
, 
      2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n      
. (1.30) 
Para que esta tenha solução, é necessário que 
0
02
2
y y
N
N mN N m  
, 
m 
, (1.31) 
onde 
0N
 é o período fundamental de 
 x n
. O período fundamental de 
 y n
 é então o
menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a 
0
0
0 0
1 , par
2
2 , ímpar
y
N
m N
N
m N N

 
 
  
. (1.32) 
Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em 
que 
0N
 é par é que 
0 2yN N
 é inteiro. Para o caso em que 
0N
é ímpar apenas se
poderá ter 
0yN N
. 
20 
 
 
Figura 1.3. Representação do caso 
0N
 par. 
 
 
Figura 1.4. Representação do caso 
0N
 ímpar. 
 
21 
 
 (HSU 1.23) O sinal discreto 
 x n
 está desenhado na Problema 1.4.
Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais. 
A representação de 
 x n
 e 
 u n
 pode ser observada na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5. Representação de 
 x n
. 
a) 
   1x n u n
 
 
Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se 
aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da 
definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações 
referidas, é possível chegar a 
     
( ) ( )
1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii
n n n
u n u n u n
n n n
    
        
    
. (1.33) 
Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto 
por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6. Representação de 
   1x n u n
. 
22 
 
b) 
     2x n u n u n   
 
 
Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de 
deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 2
2
0 ; 0 0 ; 2
n n
u n u n
n n
   
    
   
. (1.34) 
Efectuando a operação de subtracção vem que 
 
   
1 ; 2 1
2
0 ; outros
n
u n u n
   
   

. (1.35) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7. 
 
Figura 1.7. Representação de 
   1x n u n
. 
 
c) 
   1x n n 
 
 
Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se 
obtém a partir da definição de impulso unitário que 
 
   
1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 1
n n
n n
n n
       
  
. (1.36) 
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8. 
23 
 
 
Figura 1.8. Representação de 
   1x n u n
. 
 
24 
 
 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não Problema 1.5.
periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
   4j nx n e 
 
 
Para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo 
substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
  4 4j n N j ne e
    
   
    . (1.37) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a 
 4 4 4j n N j ne e
     
   
    . (1.38) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 8
4
N m N m
   
, 
m 
. (1.39) 
Atribuindo valores a 
m
, obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39), 
 
01 8m N  
. (1.40) 
onde 
0 8N 
 é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e 
 x n
 é uma 
função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada 
 0 14
2 8 8
1
M


 

   . (1.41) 
 
25 
 
 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou Problema 1.6.
não periódicos. Caso sejam calcule o período. 
 
a) 
  4
n
j
x n e
  
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo substituir 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 4 4n N nj je e 
   
    
    (1.42) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 4 4 4n N nj je e             (1.43) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
condição: 
 
2 8
4
N
m N m   
, 
m 
. (1.44) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossível obter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e 
 x n
 é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
14
2 8
1
M  

  . (1.45) 
 
26 
 
 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são Problema 1.7.
periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. 
 
b) 
  sin 5 2
4
x n n
 
  
 
 
 
Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma 
mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 
2M 
, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para 
calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em b), e aplique-se (1.22) à 
definição do sinal obtendo a equação 
 
 sin 5 2 sin 5 2
4 4
n N n
    
      
   
. (1.46) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a 
 
sin 5 2 5 sin 5 2
4 4 4
n N n
     
      
   
. (1.47) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental 
da função seno (
2M 
): 
 
8
5 5 2
4 4 5
N mM N m N m
      
, 
m 
. (1.48) 
O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
5m 
 que resulta em 
0 8N 
. Novamente, uma vez que (1.39) tem 
solução, e 
 x n
 é uma função seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 54
2 8 8
1
M


 

   . (1.49) 
 
 
c) 
 
1
cos
2
x n n
 
  
 
 
27 
 
Para calcular o período fundamental, substitua-se 
n
 por 
n N
 em c), e aplique-se 
(1.22) à definição do sinal, obtendo a equação 
 
 
1 1
cos cos
2 2
n N n
   
    
   
. (1.50) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a 
 
1 1 1
cos cos
2 2 2
n N n
   
    
   
. (1.51) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das 
funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período 
fundamental da função co-seno (
2M 
): 
 
1
2 4
2
N m N m   
, 
m 
. (1.52) 
Uma vez que 

 é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo 
impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e 
 x n
 é uma 
função co-seno, a condição (1.23) não é verificada 
 0
1
12
2 4
1
M  

 . (1.53) 
 
 
d) 
   2cos 5x n n
 
 
Novamente, substituindo 
n
 por 
n N
 em d) e aplicando (1.22), chega-se a 
 
   2 2cos 5 cos 5n N n    
. (1.54) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter 
 
   2 2 2cos 5 10 5 cos 5n nN N n     . (1.55) 
Novamente, de (1.55) obtém-se a condição 
28 
 
 
2 2510 5 2 5
2
nN N m m nN N      
, 
m 
. (1.56) 
Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser 
inteiro. Desta forma, uma vez que 
5nN
 já é um inteiro (
n
 e 
N
 são inteiros) é 
necessário que 
 
2
0
5
2
2
N N  
. (1.57) 
Tendo (1.57) solução, e sendo 
 x n
 uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada 
 0
5
5 51
2 2 2
1
M


 

   . (1.58) 
 
29 
 
 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser Problema 1.8.
classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) 
Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 
6) Invertibilidade. 
 
Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais 
dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma: 
 
1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída 
apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e., 
 
   1 1 1n y n f x n      
. (1.59) 
e.g., 
   3y n x n
 não tem memória, enquanto que 
   3 1y n x n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos 
até ao instante 
0n
, as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e., 
 
       1 2 0 1 2 0x n x n n n y n y n n n      
. (1.60) 
Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g., 
   3y n x n
 e 
   3 1y n x n 
 são causais, enquanto que 
   3 1y n x n 
 não. 
 
3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma 
deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e., 
 
       0 0x n y n x n n y n n    
, 
0n
. (1.61) 
 
4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à 
entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para 
cada sinal de entrada, i.e., 
    
   
       
1 1
1 2 1 2
2 2
x n y n
ax n bx n ay n by n
x n y n

   

. (1.62) 
30 
 
5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., 
 
   0 : 0 :x x y yA x n A n A y n A n          
. (1.63) 
 
6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e., 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
. (1.64) 
 
 
 
a) 
   ny n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 0
n ny n x n x n n  
. (1.65) 
No entanto, uma vez que, 
 
   00 0
n n
y n n x n n
  
, (1.66) 
é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1
ny n x n
, 
   2 2
ny n x n
 pelo que 
 
           1 2 1 2 1 2
n
ax n bx n ax n bx n ay n by n      
, (1.67) 
logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo 
1a b 
 no ponto 
2n 
, vem 
para quaisquer dois sinais de entrada 
 1x n
 e 
 2x n
 
 
           
2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2x x x x y y      
. (1.68) 
31 
 
Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo. 
Considere-se o sinal de entrada limitado 
  2x n 
, 
n
, pelo que vem 
 
   2 limn
n
y n y n

   
, (1.69) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo. 
Definam-se dois sinais diferentes tais que 
 
   
   
1 1
2 2
1, 1 1,
1, 0 1 , 0
1,
2, 0 2 , 0
n
n
n
x n n y n n
n n
x n y n n
n n
     
  
     
  
. (1.70) 
A partir de (1.70) verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.71) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde 
a informação do sinal de entrada no instante 
0n 
). 
 
 
b) Esta alínea corresponde à resolução em paralelo dos problemas IML 1.23h, i, 
representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os 
dois sistemas semelhantes, 
  
 
 
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n
y n n
x n n


 
   
,  
 
 
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n
y n n
x n n


 
  
. (1.72) 
Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que 
 hy n
 tem 
memória enquanto que 
 iy n
 não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode 
observar-se que 
 hy n
 é não causal enquanto que 
 iy n
 é causal. Quanto à 
invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas 
 0y n n
 são dadas por 
 
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
1 , 1
h
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
    
,  
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
, 1
i
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
   
. (1.73) 
32 
 
Considerando novamente sinais auxiliares do tipo 
   0x n x n n  
 resulta que, 
  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n n
y n n
x n n n
 

  
    
,  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n n
y n n
x n n n
 

  
   
. (1.74) 
Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os 
sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas 
lineares verifica-se que, o sistema 
 hy n
, 
     
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
1 1 , 1
h h h
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
     
, (1.75) 
bem como o sistema 
 iy n
 
      
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
, 1
i i i
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
   
, (1.76) 
são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é 
sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que 
estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema 
 iy n
 perde a 
informação da entrada no instante 
0n 
 enquanto que o sistema 
 hy n
 não. Desta 
forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais 
      
     
1 ,1
2 ,2
0
2 0
i
i
x n n y n
x n n y n


  
  
, (1.77) 
ou seja, 
 
       1 2 ,1 ,2i ix n x n y n y n  
, (1.78)logo o sistema 
 iy n
 é não invertível. Pelo contrário, 
 hy n
 é invertível, e o seu 
sistema inverso é dado por 
 
   
 
 
1
, 0
1 , 0
h
h h
h
y n n
y n z n
y n n


  
 
. (1.79) 
33 
 
d) 
   y n n x n
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda 
(1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal. 
 Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61), 
considerando 
   1 0x n x n n 
, pelo que se tem 
 
     1 1 0y n n x n n x n n  
. (1.80) 
No entanto, uma vez que 
 
     0 0 0y n n n n x n n   
, (1.81) 
tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo. 
 Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 
   1 1y n n x n
 e 
   2 2y n n x n
, pelo que 
                1 2 1 2 1 2 1 2ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n      
, (1.82) 
logo o sistema é linear. 
 A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  3x n 
, 
n
, verifica-se que, 
 
   3 lim
n
y n n y n

   
, (1.83) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. 
Considerando os dois sinais seguintes, 
          
         
1 1
2 2
2 2 2 0 0 0
3 3 3 0 0 0
x n n y n n n
x n n y n n n
  
  
      
      
. (1.84) 
A partir de (1.84), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.85) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
34 
 
 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.9.
Caso sejam calcule o seu período. 
 
a) 
 
2
tan
3
x n n   
 
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
Substituindo 
n
 por 
n N
 em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 
 
 
2 2
tan tan
3 3
n N n           
, (1.86) 
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 
 
2 2 2
tan tan
3 3 3
n N n         
   
, (1.87) 
Para que 
 x n
 seja periódico, (1.87) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a 
seguinte condição: 
 
2 2 3
3 3 2
N Mm N m N m      
, 
m 
. (1.88) 
O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste 
caso, corresponde a 
2m 
 que resulta em 
0 3N 
. Note-se que, o período fundamental 
da função tangente é 
M 
. 
 
b) 
 
3 2
sin tan
2 3
x n n n        
   
 
 
Novamente, para que 
 x n
 seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). 
No entanto, uma vez que 
 x n
 é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário 
primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo 
n
 por 
n N
 em b), e aplicando (1.22) obtêm-se as equações 
35 
 
 
 
 
1
2
3 3
sin sin
2 2
2 2
tan tan
3 3
n N n
n N n
 
 
   
       
   
       
. (1.89) 
Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições: 
 
1 1
1
2
2 2
3 4
2
42 3
2 33
3 2
N m N m
N
N
N m N m
 
 
 
    
   
  
  
, 
m 
. (1.90) 
O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos 
fundamentais 
1N
 e 
2N
 das duas componentes, i.e., 
0 12N 
. 
36 
 
 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado Problema 1.10.
segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) 
Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) 
Invertibilidade. 
 
b) 
   x ny n ne
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade 
(1.60) verifica-se que o sistema é causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 01
x n x n n
y n ne ne

 
. (1.91) 
No entanto, uma vez que, 
 
     00 0
x n n
y n n n n e

  
, (1.92) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   11
x n
y n ne
 e 
   22
x n
y n ne
 tem-se que 
 
               1 2 1 21 2 1 2
ax n bx n ax n bx n
ax n bx n ne ne e a y n b y n

    
, (1.93) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se 
  2x n 
, 
n
, 
verifica-se que, 
 
   2 lim
n
y n ne y n

   
, (1.94) 
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. 
Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 
0n 
. Considerando 
os dois sinais seguintes, 
37 
 
 
     
 
     
 
1
2
1 1
2
3
2 2
, 01
0, 02
, 02
0, 03
n
n
n n
x n n y n n e
n
n n
x n n y n n e
n





    


    

, (1.95) 
a partir de (1.95), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.96) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
k) 
   5 4y n x n 
 
 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60) 
verifica-se que o sistema é não causal. 
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). 
Considerando um sinal auxiliar 
   1 0x n x n n 
 resulta que 
 
     1 1 05 4 5 4y n x n x n n    
. (1.97) 
No entanto, uma vez que, 
 
   0 05 4y n n x n n     
, (1.98) 
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. 
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas 
elementares 
   1 1 5 4y n x n 
 e 
   2 2 5 4y n x n 
 tem-se que 
 
           1 2 1 2 1 25 5 4ax n bx n ax n bx n a y n b y n     
, (1.99) 
logo o sistema é não linear. 
 A estabilidade, pode ser comprovada considerando que 
  xx n A
, 
n
, é 
possível obter 
 
     5 4 5 4 4x yy n x n x n A A      
, (1.100) 
38 
 
ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para 
provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes: 
 
     
     
1 1
2 2
1, 5 4 5
1, múltiplode5
5 4 5
0, c.c.
x n n y n x n
n
x n y n x n
n
     

    

. (1.101) 
Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 
5
 resulta necessariamente num múltiplo 
de 
5
. A partir de (1.101), verifica-se que, 
 
       1 2 1 2x n x n y n y n  
, (1.102) 
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 
 
 
39 
Capítulo 2.Representação no Domínio 
do Tempo para Sistemas LIT Discretos 
 (HSU 2.30) Avalie 
     y n h n x n 
, onde 
 x n
 e 
 h n
Problema 2.1.
estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de 
impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. 
Figura 2.1. Representação de 
 x n
 e de 
 h n
.
Para um dadosistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta 
impulsional 
 h n
, designe-se por 
 x n
 o sinal de entrada e por 
 y n
 o sinal de saída
(Figura 2.2). 
Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional 
 h n
, entrada 
 x n
 e saída 
 y n
.
Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser 
obtida através da soma de convolução da seguinte forma 
         
k
y n x k h n k x n h n


   
. (2.1) 
Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada 
instante 
n
: 
 h n
 y n x n
40 
 
1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
 h k
 do 
SLIT, obtendo: 
   z k h k 
. 
2. Atrasar o sinal 
 z k
 de 
n
 unidades (correspondentes ao instante 
n
) obtendo 
a sequência: 
     w k z k n h n k   
 
3. Multiplicar ponto a ponto a sequência 
 w k
 pela entrada: 
   x k h n k
. 
4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de 
convolução correspondente ao instante 
n
. 
Este processo é então repetido para todos os instantes 
n
. A soma de convolução goza 
ainda das seguintes propriedades: 
1) Comutatividade: 
 
       x n h n h n x n  
. (2.2) 
 
2) Associatividade: 
 
           1 2 1 2x n h n h n x n h n h n          
. (2.3) 
 
3) Distributividade: 
 
             1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n       
. (2.4) 
Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em 
série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da 
mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma 
das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na 
Figura 2.3. 
 
Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo. 
   1 2h n h n
 1h n  2h n

 a
   1 2h n h n
 1h n
 2h n

 b
 a  b
41 
 
Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á 
convolução, 
 
     0 0x n n n x n n   
. (2.5) 
 
 
a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é 
necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma 
 
         1 2 3x n n n n n         , (2.6) 
 
       1 2h n n n n      
. (2.7) 
Torna-se então possível obter a convolução 
   x n h n
 através da aplicação das 
propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução 
 
           1 2x n h n x n n n n          , (2.8) 
e aplicando (2.4) é possível escrever 
 
               1 2x n h n x n n x n n x n n          . (2.9) 
Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter 
 
         1 2x n h n x n x n x n     
. (2.10) 
Substituindo 
 x n
 em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se 
 
             2 1 3 2 3 3 2 4 5y n n n n n n n               . (2.11) 
A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7. 
 
 
b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos 
os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular 
explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à 
origem da resposta impulsional 
   z k h k 
 do sistema. Em seguida, é necessário 
atrasar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicá-lo por 
 x k
. Através da Figura 2.4 e Figura 2.5 
42 
 
verifica-se que 
 h n k
 não se sobrepõe com 
 x k
 para 
0n 
 e 
5n 
. Assim, 
   x k h n k
 e consequentemente a resposta 
 y n
 são nulos neste intervalo. 
 
 
 
Figura 2.4. Representação de 
 x k
, 
 h k
, 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
2n  
. 
 
 
Figura 2.5. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
6n 
. 
 
Para o intervalo 
0 5n 
, onde 
   x k h n k
 não é nulo, o seu valor é representado 
na Figura 2.6. 
43 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Figura 2.6. Representação de 
   x k h n k
 e 
 h n k
 para 
0 5n 
. 
 
Finalmente, para obter a resposta 
 y n
, é necessário, para cada instante 
n
, somar as 
contribuições de
   x k h n k
, o que resulta na resposta representada na Figura 2.7. 
 
 
Figura 2.7. Representação da saída 
 y n
. 
 
45 
 
 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2.
   nh n u n
 para 
0 1 
 e o sinal de entrada 
   x n u n
. Determine a 
resposta do sistema através de: (a) 
     y n x n h n 
; (b) 
     y n h n x n 
. 
 
a) 
     y n x n h n 
 
 
Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a 
reflexão em relação à origem da resposta impulsional 
   z k h k 
. Em seguida, é 
necessário deslocar 
 z k
 de 
n
 unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada 
 x k
. 
Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém 
 h n k
 ocorrem 
duas situações possíveis para a multiplicação 
   x k h n k
: (i) Para 
0n 
 não existe 
sobreposição entre 
 x k
 e 
 h n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 x k
 e 
 h n k
 encontram-se 
sobrepostos entre 
0 k n 
. 
 
 
Figura 2.8. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
46 
 
Uma vez que, para 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 não se sobrepõem, temos 
que 
    0x k h n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n x k h n k n


   
. (2.12) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 x k
 e 
 h n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que 
  1x k 
 e 
  n kh n k   
, pelo que 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
n k
k k
y n x k h n k n 
 
    
. (2.13) 
Efectuando uma mudança de variável, 
 m k n k 
, segundo (A.100) vem que 
 
 
0
0
, 0
n
m m
m n m
y n n 
 
   
. (2.14) 
É então possível identificar (2.14) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.15) 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.16) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Para representar o gráfico de 
 y n
 é útil obter o 
valor de 
 
 
11 1
lim lim
1 1
n
n n
y n

 

 

 
 
. (2.17) 
A resposta final do sistema pode ser observada na Figura 2.9. 
 
47 
 
 
Figura 2.9. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 h n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
 
b) 
     y n h n x n 
 
 
Note-se que, uma vez que a convolução é comutativa, o resultado final será o mesmo do 
obtido na alínea anterior. Note-se que, 
 
         
k
y n h n x n h k x n k

   
. (2.18) 
Como representado na Figura 2.10, quando se obtém 
 x n k
 ocorrem duas situações 
possíveis para a multiplicação de 
   h k x n k
: (i) Para 
0n 
 não existe sobreposição 
entre 
 h k
 e 
 x n k
; (ii) Para 
0n 
, 
 h k
 e 
 x n k
 encontram-se sobrepostos 
entre 
0 k n 
. 
 
 
 
48 
 
 
 
Figura 2.10. Representação de 
 x k
, 
 h k
 e 
 x n k
 para 
0n 
 e 
0n 
. 
 
Novamente, para 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 não se sobrepõem, então 
    0h k x n k 
, e por conseguinte 
 
      0, 0
k
y n h k x n k n


   
. (2.19) 
Para o caso em que 
0n 
, as componentes 
 h k
 e 
 x n k
 estão sobrepostas no 
intervalo 
0 k n 
. Neste intervalo tem-se que, 
  1x n k 
 e 
  kh k 
, pelo que, 
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 
 
     
0
, 0
n
k
k k
y n h k x n k n

 
    
. (2.20) 
É então possível identificar (2.20) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde 
 
, 
1N n 
 e 
0k 
. Uma vez que 
0 1 
 a soma de (2.14) é dada por 
 
 
1 1
0 1 1 , 0
1 1
n n
y n n
   
  
  
 
. (2.21) 
49 
 
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de 
n
 é possível escrever 
 
   
1
11 , 0 1
1
1
0, 0
n
nn
y n u n
n
 
 

   
 
 
, (2.22) 
uma vez que 
  0u n 
 para 
0n 
. Como esperado, a resposta final do sistema é a 
mesma que a obtida em (2.16). 
 
 
50 
 
 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um Problema 2.3.
determinado sistema LIT é dada por: 
   nuy n u n
 para 
0 1 
. 
Determine a resposta impulsional do sistema. 
 
Note-se que, como é descrito nos apontamentos teóricos (Capítulo 2), é possível 
calcular a resposta ao escalão unitário, de um sistema LIT, a partir da resposta ao 
impulso 
 
       
1,
n
u
k k
k n
y n u n k h k h k

 
  
   
. (2.23) 
Consequentemente, a resposta ao impulso, pode ser obtida em função da resposta ao 
escalão através de 
 
         
1
1
n n
u u
k k
h n y n y n h k h k

 
     
. (2.24) 
 
 
a) Considerando a definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema 
 
         11 1n nu uh n y n y n u n u n       . (2.25) 
Após alguma álgebra, obtém-se o resultado final 
 
            
     
     
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
n n n n
n n
n
h n u n u n n u n u n
n u n
n u n
    
  
  
 


        
    
   
. (2.26) 
 
 
51 
 
 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.4.
resposta impulsional: 
   nh n u n
. Classifique este sistema quanto à: 
a) causalidade; b) Estabilidade. 
 
A classificação de um sistema LIT, face às suas propriedades pode ser efectuada 
através do estudo da resposta impulsional: 
 
1) Memória: Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de 
tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. A resposta impulsional de 
um sistema discreto sem memória é dada por um impulso na origem de amplitude 
K
 
 
   h n K n
, (2.27) 
e.g., 
   2h n n
 não tem memória, enquanto que 
   2 1h n n 
 tem. 
 
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída 
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de 
um sistema causal é dada por 
 
  0 0h n n  
, (2.28) 
e.g., 
   h n u n
 é causal, enquanto que 
   1h n u n 
 não. 
 
3) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando 
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de 
um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e., 
 
 
k
h k


 
. (2.29) 
 
4) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam 
sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva). A convolução 
entre a resposta impulsional de um sistema invertível e do seu inverso é um impulso 
unitário, i.e., 
 
     Ih n h n n 
. (2.30) 
52 
 
Note-se que, esta condição é necessária, mas não suficiente. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável obtendo 
 
   
0
k k
k k k
h k u k 
  
  
   
. (2.31) 
Note-se que, (2.31) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 
 
0
1
, 1
1
k
k
 


 


. (2.32) 
Ou seja, (2.32) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável, quando 
1 
 e 
não verifica a condição (2.29), pelo que é instável, quando 
1 
. 
 
 
53 
 
 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é Problema 2.5.
dada por: 
     1 2
n
h n u n
. Calcule 
 1y
 e 
 4y
 para o sinal de entrada 
     2 3x n n n   
. 
 
Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT. 
 
Note-se que, o sinal de entrada já está escrito sob a forma de uma soma ponderada de 
impulsos unitários. Porque o sistema é LIT, a resposta ao sinal de entrada é uma soma 
ponderada de respostas impulsionais. Uma vez que, 
 
   3 3n h n   
, (2.33) 
o cálculo da saída é imediato 
               1 1 1 12 3 2 3 2 3x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.34) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A resposta do sistema pode ser obtida pela definição de convolução (2.1) 
            
       
2 3
2 3
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.35) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 3y n h n h n  
. (2.36) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.34) resulta que 
 
     
3
1 1
2 3
2 2
n n
y n u n u n

   
     
   
. (2.37) 
Por substituição directa de 
1n 
 e 
4n 
 em (2.37) vem finalmente 
 
     
1 1 3 2
1 1 1 1
1 2 1 1 3 2 0 1
2 2 2 2
y u u
 
       
             
       
. (2.38) 
 
     
4 4 3 4
1 1 1 1 1 1 5
4 2 4 4 3 2
2 2 2 2 8 2 8
y u u

       
              
       
. (2.39) 
54 
 
 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.6.
resposta impulsional: 
   2 4nh n u n 
. Classifique este sistema quanto 
à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o 
sinal de entrada 
     2 4 1x n n n   
. 
 
 
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
   
4
2 4 2k k
k k k
h k u k
  
  
    
. (2.40) 
Note-se que, (2.40) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 
 
4
2k
k



. (2.41) 
Ou seja, (2.41) não verifica a condição(2.29), pelo que o sistema é instável. 
 
 
c) Esta alínea pode ser resolvida pode dois métodos. Método 1. Resolução através das 
propriedades de um sistema LIT. 
 
Novamente, uma vez que o sistema em causa é LIT, e a entrada já está escrita como 
uma soma ponderada de impulsos unitários, é possível dizer que 
               1 1 1 12 4 1 2 4 1 2 4 1x n x n x n y n y n y n h n h n         
. (2.42) 
 
Método 2. Resolução através da definição de convolução. 
 
A saída para o sinal de entrada 
 x n
 pode ser obtida pela definição (2.1) 
55 
 
            
       
2 4 1
2 4 1
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.43) 
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 
 
     2 4 1y n h n h n  
. (2.44) 
Substituindo a definição de 
 h n
 em (2.42) resulta que 
 
         1 1
1
2 4 3 2 4 4
8
n ny n u n u n n n           
. (2.45) 
56 
 
 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao Problema 2.7.
escalão unitário é dada por: 
 
 
0 , 2, 2, 5
3 , 1
2 , 0
4 , 1
3 , 3
1 , 4
u
n n n
n
n
y n
n
n
n
   
  


 

 

 
. (2.46) 
Determine: a) A resposta impulsional do sistema; b) Se o sistema é causal; c) Se o 
sistema é estável; d) A saída do sistema para o sinal de entrada 
     2 1x n u n u n  
. 
 
a) Através da definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema, a 
partir da resposta ao escalão unitário 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1 2, 1 2, 1 5
3 , 1 3 , 1 1
2 , 0 2 , 1 0
1
4 , 1 4 , 1 1
3 , 3 3 , 1 3
1 , 4 1 , 1 4
u u
n n n n n n
n n
n n
h n y n y n
n n
n n
n n
          
     
 
   
     
   
     
 
     
. (2.47) 
Após alguns passos algébricos obtém-se 
 
 
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
n n n n n n
n n
n n
h n
n n
n n
n n
        
   
 
  
  
  
    
 
    
, (2.48) 
57 
 
 
 
0 , 2
3 , 1
1 , 0
2 , 1
4 , 2
3 , 3
2 , 4
1 , 5
0 , 6
n
n
n
n
h n n
n
n
n
n
 
  

 



  
 


 


. (2.49) 
 
 
b) Considerando a definição (2.28), uma vez que 
  0h n 
 para 
0n 
 verifica-se que o 
sistema é não causal. 
 
 
c) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 
 
  16
k
h k



. (2.50) 
Ou seja, (2.50) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável. 
 
 
d) Novamente, o sistema em questão é LIT. O sinal de entrada já está escrito como uma 
soma ponderada de escalões unitários. Mais ainda, a resposta a 
 1u n 
 já foi calculada 
na alínea a). Aplicando então os resultados obtidos em (2.48), tem-se que a resposta ao 
sinal 
 x n
 é dada por 
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
2 1 2
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
u u
n n n n n n
n n
n n
y n y n y n
n n
n n
n n
        
   
 
  
     
  
    
 
    
, (2.51) 
 
que após alguma álgebra, permite obter 
58 
 
 
     
0 , 2
3 , 1
4 , 0
0 , 1
2 1 8 , 2
3 , 3
5 , 4
6 , 5
0 , 6
u u
n
n
n
n
y n y n y n n
n
n
n
n
 
  

 



     
 


 


. (2.52) 
 
 
	Prefácio
	Índice
	Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos
	Problema 1.1. (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.
	Problema 1.2. (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais.
	Problema 1.3. (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, e , tais que
	Problema 1.4. (HSU 1.23) O sinal discreto está desenhado na Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais.
	Problema 1.5. (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período.
	Problema 1.6. (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período.
	Problema 1.7. (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental.
	Problema 1.8. (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade.
	Problema 1.9. Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o seu período.
	Problema 1.10. (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade.
	Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos
	Problema 2.1. (HSU 2.30) Avalie , onde e estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução.
	Problema 2.2. (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional para e o sinal de entrada . Determine a resposta do sistema através de: (a) ; (b) .
	Problema 2.3. (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema LIT é dada por: para . Determine a resposta impulsional do sistema.
	Problema 2.4. (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade.
	Problema 2.5. (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: . Calcule e para o sinal de entrada .
	Problema 2.6. (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada .
	Problema 2.7. (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário é dada por:
	Capítulo 3. Transformada Z
	Problema 3.1. (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) ; b) .
	Problema 3.2. (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência
	Problema 3.3. (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte sinal .
	Problema 3.4. (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.5. (AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.6. (HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de
	Problema 3.7. (HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por
	Problema 3.8. (HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.9. (HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.10. (HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.11. (HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.12. (HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por
	Problema 3.13. (HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de para cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema:
	Problema 3.14. (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às diferenças
	Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos
	Problema 4.1. Seja
	Problema 4.2. Seja
	Problema 4.3. Seja
	Problema 4.4. Sejam
	Problema 4.5. Sabe-se que
	Problema 4.6. (IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5.
	Problema 4.7. (IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Escrevaa expressão que os relaciona.
	Problema 4.8. (IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinal representado na Figura 4.8.
	Problema 4.9. (IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por
	Problema 4.10. (IML 1.9) Seja um sinal contínuo considere-se
	Problema 4.11. (IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos. Para os sinais periódicos determine o período fundamental.
	Problema 4.12. (IML 1.12) Determine o período fundamental de
	Problema 4.13. (IML 1.13) Seja
	Problema 4.14. (IML 1.14) Considere os sinais contínuos:
	Problema 4.15. (IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos:
	Problema 4.16. (IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados
	Problema 4.17. (IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como:
	Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos
	Problema 5.1. (IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada por
	Problema 5.2. (AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC
	Problema 5.3. (HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada por
	Problema 5.4. (IML 2.13) Considere o seguinte sistema
	Problema 5.5. (IML 2.19) Seja
	Capítulo 6. Transformada de Laplace
	Problema 6.1. (AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal: .
	Problema 6.2. Determine a transformada de Laplace do sinal
	Problema 6.3. (AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal: .
	Problema 6.4. (HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal: .
	Problema 6.5. (IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo, , cuja transformada de Laplace é:
	Problema 6.6. (IML 3.3a,d) Seja
	Problema 6.7. (IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função de transferência de um SLIT.
	Problema 6.8. (IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros se representa na Figura 6.5 .
	Problema 6.9. (IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITs cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta.
	Problema 6.10. (HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordem
	Problema 6.11. (IML 3.10) Seja
	Problema 6.12. (IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equação diferencial de coeficientes constantes
	Capítulo 7. Transformada de Fourier
	Problema 7.1. (IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma das seguintes funções no tempo:
	Problema 7.2. Encontre , sabendo que
	Problema 7.3. Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintes sinais
	Problema 7.4. Calcular sabendo que
	Problema 7.5. (IML 3.31) Considere o sinal cujo espectro de frequência está representado na Figura 7.3
	Problema 7.6. (IML 3.32) Sejam e , respectivamente, os sinais de entrada e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equação:
	Problema 7.7. (IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é
	Problema 7.8. (IML 3.34) Seja
	Anexo A. Fundamentos Matemáticos
	A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria
	A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo.
	A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas
	A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas
	A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu módulo, inverso e conjugado.
	A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo.
	A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana.
	A.8. Determine as soluções das seguintes equações.
	A.9. Calcule as seguintes expressões.
	A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras.
	Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2
	B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras.
	B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais.
	Anexo C. Testes Resolvidos
	C.1. Processamento de Sinal: Teste 1.
	C.2. Processamento de Sinal: Teste 2.
	C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1.
	C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2.
	Anexo D. Formulários
	D.1. Formulário para processamento de sinal.
	D.2. Formulário para sinais e sistemas.