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Exercicios resolvidos sinais e sistem discreto (1)

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Processamento Digital de Sinal 
SINAIS E SISTEMAS DISCRETOS
 Exercícios Resolvidos 
11 
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: 
Sinais Discretos 
 (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes Problema 1.1.
sinais discretos. 
Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições 
respectivas dos sinais pares e ímpares 
   x n x n 
, (1.1) 
   x n x n  
. (1.2) 
a)
 
1
; 0
0 ; 0
n
x n n
n


 
 
Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2)
, ou seja, é necessário calcular 
 x n
 e verificar se este se relaciona com 
 x n
, através
de uma relação de paridade. Directamente da definição de 
 x n
 e (1.2) obtém-se
   
1
; 0
0 ; 0
n
x n x nn
n

 
   
 
. (1.3) 
O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 
1.1a. 
b)  
2
1
; 02
3
; 0
0
n
n
x n
n
         

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
12 
 
 
 
2 2
11 ; 0 ; 022
33
; 0 ; 0
00
nn
n n
x n x n
n n
                    

. (1.4) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b. 
c)
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
  
  

. (1.5) 
O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, 
como pode ser observado pela Figura 1.1c. 
d)
 
  ; 04 1
; 00
n
n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 
 
 
 
 
 
1
4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1
1
; 0 ; 0 ; 00 0
0
n n
nn n n
x n x n
n n n
       
      
    

. (1.6) 
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d. 
13 
 
 
 
Figura 1.1. Representação de 
 x n
. 
 a  b
 c  d
14 
 
 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos Problema 1.2.
seguintes sinais. 
 
Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário 
considerar as seguintes definições 
 
     
1
2
px n x n x n    
, (1.7) 
 
     
1
2
ix n x n x n    
, (1.8) 
que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas 
relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos 
           
1 1
2 2
p px n x n x n x n x n x n             
, (1.9) 
               
1 1 1
2 2 2
i ix n x n x n x n x n x n x n x n                       
. (1.10) 
 
 
c) 
   0 2j nx n e  
 
 
O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em 
 
   0 2 0 0cos sin
2 2
j n
x n e n j n
       
         
   
. (1.11) 
Através do círculo trigonométrico é possível identificar 
 
 cos sin
2
x x
 
   
 
, 
 sin cos
2
x x
 
  
 
, (1.12) 
que aplicado em (A.67) permite obter 
 
     0 0sin cosx n n j n    
. (1.13) 
A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas: 
 
i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é 
possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma 
15 
 
 
     i px n x n x n 
, (1.14) 
onde 
 
   0sinix n n  
, (1.15) 
 
   0cospx n j n 
, (1.16) 
são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal. 
 
ii) Pela definição (1.7) podemos então obter 
 
       0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
px n j n n j n            
. (1.17) 
Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno 
 
   cos cosx x 
, 
   sin sinx x  
, (1.18) 
facilmente se chega a 
 
         0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos cos
2
px n j n n j n j n            
. (1.19) 
Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-
se a 
 
       
         
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
1
sin cos sin cos sin
2
ix n j n n j n
n j n n j n n
             
             
. (1.20) 
A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2 
 
16 
Figura 1.2. Representação de 
 x n
. 
17 
 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, 
 x n
 e 
 y n
,Problema 1.3.
tais que 
   2 3y n x n 
. (1.21) 
Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 
0N 
, tal que respeita a 
condição 
   x n x n N 
, 
n 
. (1.22) 
O período fundamental 
0N
define-se como o menor inteiro positivo que verifica (1.22). 
Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 
0N
é também um período de 
 x n
. 
Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo 
 0sin n
, 
 0cos n
ou  0j ne  , onde 
0
é a frequência fundamental, e 
2M 
, seja periódico, é
necessário que se verifique 
0
M


, (1.23) 
onde é o conjunto dos números racionais. 
a) Se 
 x n
 é par logo 
 y n
 é par?
Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma 
vez que 
     2 3y n x n y n    
, (1.24) 
e sendo que 
 x n
é par vem ainda
       2 3 2 3 2 3x n x n y n x n      
, (1.25) 
pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do 
sinal. No entanto, se 
 x n
 for periódico, de período
0 1,2,3,6N 
, tem-se que 
18 
     2 3 2 3x n x n y n   
, ou seja, a paridade do sinal seria mantida e 
 y n
seria 
par. 
b) Se 
 x n
 é periódico logo 
 y n
 também o é? Se sim calcule o período de 
 y n
.
(i) Resolução intuitiva
Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma 
mudança de escala temporal, correspondente ao termo 
2n
; (b) Um deslocamento 
temporal, correspondente ao termo 
3
. Note-se que, uma mudança de escala altera o 
período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal 
periódico 
 x n
, de período
0N
, na forma
  0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2
... ...k k
n N N N N N
x n
x x x x x x x x
   

. (1.26) 
Torna-se então necessário separar os casos em que 
0N
 é par ou ímpar. Quando 
0N
é 
par tem-se que 
         
0
0
0 2 4 0
0 1 2 ... 2
2 0 2 4 ...
...
n N
x n x x x x N
x x x x


, (1.27) 
logo o período de 
 2x n
 é dado por
0 2N N
. Uma vez que a próxima operação, o 
deslocamento, não altera a periodicidade, o período de 
 y n
 é
0 2yN N
. Para o caso 
em que 
0N
 é ímpar, 
0 2N N
não é inteiro, pelo que não pode ser um período de 
 y n
. Para este caso, tem-se que 
               
0 0 0
0
0 0 0 0
0 2 4 1 3 0
1 1 3
0 1 2 ... ...
2 2 2
2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2
... ...k
N N N
n N
x n x x x x N x N x N x N
x x x x x x x
  

   ,(1.28) 
19 
logo o período de 
 2x n
 é dado por
0N N
. Novamente, o deslocamento não altera a 
periodicidade,

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