Prova 2 Econometria I 2014.01

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Instituto de Economia- UFRJ Econometria- Prova 2- 2014.01 
Profs. Viviane Luporini e Rudi Rocha 
 
INSTRUÇÕES: A prova é individual, sem consulta e poderá ser respondida a lápis. Use 3 casas 
decimais para os cálculos e assuma o nível de significância de 5% quando apropriado. Algumas 
questões foram adaptadas de exames da Anpec. 
 
Questão 1) Responda se verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta. 
 
a) Seja o modelo clássico de regressão linear 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝑢. Caso sejam válidas as condições 
𝐸[𝑢|𝑋] = 0 e 𝐸[𝑢] = 0, é possível afirmar que o estimador de MQO �̂� não apenas é não-
viesado, como também é o mais eficiente dentre os estimadores lineares. 
b) Para que haja viés no estimador de MQO devido à omissão de uma variável, é necessário que 
ao menos um regressor incluído no modelo seja correlacionado com a variável omitida, e que 
esta seja uma variável importante para explicar a variável dependente. 
c) A obtenção de um �̅�2 elevado para um determinado modelo de regressão significa que os 
estimadores são eficientes. 
d) A hipótese nula 𝐻0: 𝛽1 = 1, 𝛽2 = 0 poderá ser apropriadamente testada utilizando-se a 
variável 𝑡 = 
𝛽1−𝛽2−1
√𝑉𝑎𝑟(𝛽1−𝛽2)
∼ 𝑡𝑛−𝑘. 
e) Se a 𝑐𝑜𝑣(𝑢𝑖, 𝑢𝑗) ≠ 0, 𝑖 ≠ 𝑗 e conhecida, o estimador de MQO não apresentará viés, mas o 
estimador de Mínimos Quadrados Generalizados será o estimador mais eficiente. 
 
Questão 2) Utilizando dados anuais para o mercado de gasolina norte-americano, estimou-se o 
seguinte modelo para demanda por gasolina: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gas = gastos reais per capita com gasolina 
Preco = índice do preço da gasolina 
Renda = renda per capita 
Pcarro_novo = índice de preço de carros novos 
Pcarro_usado = índice de preço de carros usados 
Variável dependente: Gas 
Method: MQO 
Date: 05/08/14 Time: 13:05 
Sample: 1953 - 2003 
Included observations: 51 
R2=0.994813 
 
 Variáveis Independentes Coefficient Erro Padrão t-Statistic P-Valor 
 
 Constante -4.332487 1.271050 -3.408589 0.0014 
PRECO -0.035126 0.027264 -1.288361 0.2044 
RENDA 0.277487 0.079422 3.493836 0.0011 
PCARRO_NOVO -0.139163 0.072807 -1.911403 0.0625 
PCARRO_USADO 0.084498 0.030913 2.733448 0.0090 
PTRANSPORTE -0.019876 0.043361 -0.458380 0.6489 
GAS(-1) 0.827006 0.050977 16.22302 0.0000 
 
 
 
 
 
R-squared 0.994813 
Adjusted R-squared 0.994106 
 
 
R-squared 0.994813 
Adjusted R-squared 0.994106 
 
 
 
 
Ptransporte = índice de preço do transporte público 
Gas(-1) = gastos reais per capita com gasolina do ano anterior 
 
Todas as variáveis foram log-transformadas para a estimação do modelo, o que faz com 
que os coeficientes estimados possam ser diretamente interpretados como elasticidades. 
Pergunta-se (use |tc|= 2, se necessário): 
 
a) A elasticidade-preço da gasolina é estatisticamente significativa? 
b) Dizemos que a demanda por gasolina é inelástica em relação à renda se a elasticidade-
renda é menor que 1. Teste essa hipótese, utilizando tcrítico = 1.6. 
c) Sabendo que a covariância (Pcarro_usado, Pcarro_novo) = -0.0005, podemos 
considerar iguais as elasticidades-preço de carros usados e carros novos? 
Questão 3) Suponha o seguinte modelo de desempenho no curso de Econometria: 
 
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜𝑖 + 𝛽2𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖 + 𝛽3𝐿𝑖𝑣𝑟𝑜𝑖 + 𝛽4𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖 + 𝑢𝑖 
 
Onde, 
Estudo = o número de horas dedicado ao estudo da matéria 
Frequência = número de presenças em aula 
Livro = variável dummy = 1, se o aluno tem acesso ao livro didático adotado 
Estat = nota obtida no curso de estatística 
i= 1, 2, ...., 300 observações. 
 
a) O modelo foi estimado e o teste de White foi implementado com p-valor = 0,0645. Ao 
nível de significância de 5%, há heterocedasticidade nos dados? 
b) Suponha que 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖/ 𝑋) = 𝜎
2𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜𝑖
2. Mostre a transformação nos dados necessária 
para tornar o modelo homocedástico. 
 
 
Questão Extra (apenas para os que faltaram pelo menos 1 teste) - Considere o modelo 
populacional 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝑢𝑡, e tome uma amostra para ({Yt, Xt}, t=1, 2, ..., T). Defina o 
transposto do vetor-coluna u como sendo o vetor-linha u’=[u1, u2, ...,uT]. Defina então a matriz de 
variância-covariância dos erros 𝑢𝑡 como sendo o valor esperado da matriz uu’ de dimensão TxT e 
elemento [𝑢𝑖𝑗] = 𝜆 > 0 𝑠𝑒 |𝑖 − 𝑗| = 1, [𝑢𝑖𝑗] = 100𝑖 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, e [𝑢𝑖𝑗] = 0 caso contrário. Derive 
um estimador linear para o modelo mais eficiente que o MQO.