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382271_aula03_Estimação

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AULA 03 
Estimação de Parâmetros 
usando Intervalo de confiança 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 3 
2 - INTERVALO DE CONFIANÇA .................................................................................................................... 5 
2.1 Intervalo de confiança a para proporção populacional ................................................................... 5 
2.2 Intervalo de confiança a para média populacional ........................................................................ 10 
5 - ANEXOS .................................................................................................................................................... 17 
6 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..................................................................................................................... 21 
6 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..................................................................................................................... 28 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 3 − 
1 - Introdução 
Na estatística é muito comum utilizar os resultados de amostras visando tirar conclusões sobre as 
características da população. Para garantir que estas conclusões sejam válidas é necessário trabalhar com 
uma amostra que seja representativa, ou seja, que apresente um alto grau de similaridade com a população 
em estudo. Esta representatividade é obtida utilizando-se métodos de seleção aleatória que garantem 
imparcialidade na hora de escolher os elementos que irão compor a amostra. 
Tendo em mãos uma amostra representativa, o pesquisador irá usar alguns procedimentos estatísticos para 
fazer inferências a respeito de parâmetros da população. Por exemplo, suponha que um pesquisador esteja 
interessado em traçar o perfil das pessoas que moram em uma região. Como população alvo, ele definiu 
que seriam todas as pessoas entre 14 e 75 anos que residem nesta região. Uma das características de 
interesse para o pesquisador é o tempo médio que as pessoas ficam navegando na Internet por semana e a 
proporção de pessoas que consideram a Internet como o meio de entretenimento mais importante que a TV. 
Esta média e esta proporção seriam os parâmetros da população que são de interesse do pesquisador. 
 
Parâmetro – É a medida numérica que descreve uma característica da população. Tal medida poderia ser 
uma média, mediana, variância ou proporção que seriam calculados usando todos os elementos da 
população. 
 
Estatística – É a medida numérica que descreve uma característica da amostra. A diferença em relação ao 
parâmetro, é que na estatística usamos apenas os elementos que estão na amostra. 
Para obter as respostas desejadas, o pesquisador poderia realizar um censo, ou seja, poderia fazer um 
estudo com todas as pessoas que fazem parte desta população-alvo. Assim, ele obteria o valor “real” do 
tempo médio navegando na Internet e o valor “real” da proporção de pessoas que preferem a Internet. Esta 
solução seria a ideal, mas é demorada e cara. 
Outra solução mais barata e rápida seria trabalhar com uma pequena parcela da população-alvo. A média e 
a proporção desejadas seriam calculadas para esta amostra e, por fim, os resultados seriam projetados 
para o todo. É evidente que os resultados da amostra são apenas estimativas aproximadas dos parâmetros 
de interesse e se alguém achar que estas estimativas seriam exatamente iguais aos parâmetros, vai me 
desculpar, mas é querer demais, né! 
Na Figura 1 abaixo, ilustramos os conceitos vistos até o momento. Na figura, vemos que a população tem 
N = 200 mil pessoas e que uma amostra de n = 1200 pessoas foi selecionada. Os parâmetros de interesses 
são Tempo médio que as pessoas na população ficam navegando na Internet (µ) e a proporção de pessoas 
na população que preferem a Internet do que TV (p). Com base na amostra foram obtidas as estatísticas 
x = 21 horas (média da amostra) e pˆ = 80% (proporção de pessoas na amostra que preferem a Internet). 
Figura 1 – Ilustração dos conceitos básicos 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 4 − 
Estimativa Pontual e Intervalar 
As estatísticas mostradas na Figura 1 são consideradas “boas” estimativas dos parâmetros de interesse. 
Estas estimativas são chamadas de estimativas pontuais, pois são apresentadas através de um ponto ou 
valor único. Outra forma é usar um intervalo de valores para estimar o parâmetro. No caso da média do 
tempo navegando na Internet, poderíamos estimá-lo usando o intervalo de 18 a 22 horas, por exemplo. 
O quadro abaixo mostra a diferença entre a estimativa pontual e intervalar. 
Parâmetro populacional Estimativa pontual* Estimativa Intervalar* 
Média 
populacional (µ) 
µ = “Renda média per capita 
dos habitantes de uma 
cidade” 
µ é estimado em 
$ 2.500,00 
µ está no intervalo de 
[$ 3.000 ; $ 3.500] 
Proporção 
populacional (p) 
p = “Proporção de peças com 
defeito em uma linha de 
produção” 
p é estimado em 8% p está no intervalo [6% ; 10%] 
Desvio-padrão 
populacional (σ) 
σ = “Desvio-padrão do tempo 
útil de vida da lâmpada 
de marca X” 
σ é estimado em 
500 horas 
σ está no intervalo 
[300 ; 800] horas 
* Os valores aqui apresentados são hipotéticos 
Levando em consideração a distribuição de probabilidade da estatística, podemos associar à estimativa 
intervalar um nível de confiança que descreve o quanto acreditamos que o intervalo irá cobrir o verdadeiro 
valor do parâmetro da população. Este intervalo associado com um nível de confiança é denominado de 
Intervalo de Confiança para o parâmetro. Por exemplo, se o intervalo [19; 23] horas é um intervalo de 95% 
de confiança para a média da população, então podemos dizer que estamos 95% confiantes de que a 
média da população está entre 19 horas e 23 horas. 
Nas seções seguintes serão mostradas as formas de construir intervalos de confianças e como devemos 
calcular o tamanho da amostra necessário para estimação dos parâmetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 5 − 
 
2 - Intervalo de confiança 
2.1 Intervalo de confiança para a proporção populacional 
A proporção populacional p é o nosso parâmetro de interesse e gostaríamos de estimá-lo com base em 
uma amostra de n elementos x1, x2, ..., xn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A proporção populacional é a o número de elementos com a característica de interesse na população 
dividida pelo tamanho da população (N). O número de elementos com a característica de interesse é 
normalmente denominado de número de sucessos, portanto podemos expressar a proporção populacional p 
como 
N
 população na SUCESSOSde número
=p 
A proporção amostral, denotado de pˆ , é a proporção de sucesso na amostra selecionada. 
n
amostra na SUCESSOSde número
=pˆ 
O intervalo de confiança para a proporção populacional é obtido como 
proporção populacional = [estimativa pontual ± margem de erro] 
 
Ou seja, 
pˆ - E ≤ proporção populacional ≤ pˆ + E 
 
O intervalo de confiança é obtido usando a fórmula abaixo. 
 
Intervalo de 100(1- α)% de confiança para a proporção populacional p 
 
 ( )
n
qpp
ˆˆ
z pˆIC 2α±= ou 
 
 
n
qp
n
qp ˆˆ
zpˆ p
ˆˆ
zpˆ 22 αα +≤≤− ............ (1) 
 
O intervalo só será válido se as condições para aproximação normal forem válidas: 
 
# Sucessos na amostra= 5pˆn ≥ e 
# Fracassos na amostra = 5qˆn ≥ 
 
 
 
Amostra de n elementos 
Média amostral: 
n
Sucessos#pˆ = 
População de N elementos 
p = proporção 
populacional 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 6 − 
Onde, 
 
• N e n são o tamanho da população e da amostra, respectivamente. 
• zα/2 é o valor crítico que depende do nível de confiança desejado para o intervalo. Ele é um o valor 
que deixa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padrão. 
• Nível de confiança 100(1 - α)% reflete o quanto nós acreditamos no intervalo de confiança obtido. 
Por exemplo, se o nível de confiança for de 95%, podemos dizer que estamos 95% confiantes de 
que o valor real do parâmetro está dentro do intervalo obtido. 
• O valor 
n
qp ˆˆ
z E 2α= é o maior erro cometido ao estimar a verdadeira proporção p e é denominada 
de margem de erro. 
 
 
Observação 
 
(1) Obter o valor crítico zαααα/2 
Por definição, zα/2 é o valor que deixa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padrão. 
Como exemplo, suponha que queremos o valor de zα/2 para um nível de confiança de 96% (ou seja, 0,96). 
Na tabela normal padrão, o valor de zα/2 para uma área de 0,02 na cauda superior (e, consequentemente, 
0,98 abaixo dele) é +2,05. 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns valores comuns de zα/2 
 
Nível de confiança 
(1- α) α/2 
Valor crítico 
zα/2 
90% 0,10 1,65 
95% 0,05 1,96 
99% 0,01 2,58 
 
(2) Usar o fator de correção para população finita 
Caso a amostra seja feita sem reposição e seu valor seja maior que 5% da população (ou seja, n > 0,05N) 
devemos usar o fator de correção para população finita no cálculo da margem de erro. 
nN
N
n
qp
−
−
=
1ˆˆ
z E 2α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
z 0,00 0,01 ... 0,04 0,05 0,06 
... ... ... ... ... ... ... 
1,9 0,971284 0,971933 ... 0,973810 0,974412 0,975002 
2,0 0,977250 0,977784 ... 0,979325 0,979818 0,980301 
2,1 0,982136 0,982571 ... 0,983823 0,984222 0,984614 
2,2 0,986097 0,986447 ... 0,987455 0,987776 0,988089 
Fator de correção 
 -zα/2 0 +zα/2 0
0,02 0,02 
α/2 α/2 
0.96
1 - α 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 7 − 
Estimativa pontual x Intervalo de confiança 
 
Qual é o problema em usar somente a estimativa pontual? 
 
A estimativa pontual é uma boa aproximação do parâmetro de interesse (desde, é claro, que a amostra seja 
bem selecionada), mas apresenta um pequeno “problema”. Ela não nos dá ideia da precisão na nossa 
estimativa, ou seja, não tem como saber o quanto estamos errados na nossa estimativa. 
 
Na figura 1, a estimativa pontual da proporção de pessoas que preferem a Internet é 80%. Ao dizer que a 
estimativa de p é 80%, alguém pode estar interessado em saber se o erro nesta estimativa é grande ou não, 
e somente com a estimativa pontual não temos condições de saber o tamanho desse erro. 
 
Para “melhorar” as estimativas, podemos calcular o maior erro que estamos cometendo, com certa 
probabilidade, em nossas estimativas. Esse maior erro de estimação é denominado de margem de erro. 
 
maior margem de erro → menor precisão nas estimativas 
menor margem de erro → maior precisão nas estimativas 
 
Com a estimativa pontual e a margem de erro construímos um intervalo denominado de intervalo de 
confiança. O intervalo nos dá ideia de precisão nas estimativas. Quanto maior for a amplitude do intervalo, 
menor será a precisão das estimativas e quando menor for o intervalo, maior será a precisão das 
estimativas. 
 
maior margem de erro → maior IC → menor precisão nas estimativas 
menor margem de erro → menor IC → maior precisão nas estimativas 
 
Qual dos dois intervalos é mais preciso? 
 
IC(p): 20% ≤ p ≤ 90% onde p = proporção de eleitores que votarão em XY 
IC(p): 53% ≤ p ≤ 57% 
 
O que é desejável em um intervalo de confiança? 
 
→ Uma amplitude menor, pois teríamos maior precisão nas estimativas; 
 
→ Um grande nível de confiança. 
 
EXEMPLO 01 - Um pesquisador está interessado em estimar a “verdadeira” proporção de famílias que 
assistem ao programa XY em um bairro com N famílias. De pesquisa feita com uma amostra de 200 
famílias, 155 delas disseram que assistem ao programa. Com base nestas informações, responda: 
a) Qual a estimativa pontual da “verdadeira” proporção (p) das famílias no bairro que assistem ao 
programa XY? Considerando um nível de 95% de confiança, qual o maior erro cometido (ou seja, a 
margem de erro) nesta estimação? 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a “verdadeira” proporção p. Há 
evidências de que ¾ da população assistem ao programa? Justifique sua resposta. 
c) Construa e interprete um intervalo de 98% de confiança para a “verdadeira” proporção p. Compare a 
amplitude dos intervalos. Qual dos dois intervalos tem maior amplitude? 
d) Supondo que o bairro tem um total de 3000 famílias, construa um intervalo de 95% de confiança 
para a “verdadeira” proporção p. 
 
Resp: a) p ≈ 0,775 b) E = 0,058 zα/2 = 1,96 c) 0,717 ≤ p ≤ 0,833 Estamos 95% confiantes de que a proporção de famílias que 
assistem ao programa XY no bairro está dentro do intervalo de 71,7% a 83,3% com uma margem de erro de 5,8% para mais ou para 
menos. d) zz’ = 2,33 IC(p): 70,6% ≤ p ≤ 84,4% e) 70,9% ≤ p ≤ 84,1% 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 8 − 
EXEMPLO 02 - Para estimar a proporção de faturas emitidas com endereço incorreto, uma empresa 
retirou de seus arquivos uma amostra de 100 faturas e constatou que oito delas estavam com endereço 
incorreto. Com base nestas informações, responda: 
a) Qual a estimativa pontual da “verdadeira” proporção de faturas emitidas com endereço incorreto? 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a “verdadeira” proporção. 
c) Responda ‘b’ supondo que a empresa tinha somente 100 faturas (N = 100 faturas). 
EXEMPLO 03 - Um pesquisador está interessado na proporção de pessoas em uma cidade do país UK 
que preferem a Internet do que TV como fonte de entretenimento. De uma amostra de 60 pessoas retirada 
desta cidade, 48 pessoas indicaram a Internet. Com base nestas informações, responda: 
a) Construa (e interprete) um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de pessoas 
que preferem a Internet do que a TV. Qual foi a margem de erro na pesquisa? 
b) Segundo uma notícia veiculada em um jornal, ¾ das pessoas no país UK preferem a Internet. Com 
base no intervalo que você obteve em “a”, há evidências para acreditar na afirmação do jornal? 
Justifique sua resposta. 
 
Resp: IC(p): 69,9% ≤ p ≤ 90,1% E=10,1% 
 
Usando o Minitab 
 
Vamos considerar o exemplo 2b. 
 
•••• No menu, escolha Stat > Basic Statistics > 1 Proportion. 
•••• Selecione “Summarized data”, depois digite 8 em “Number of events” e 100 em “Number of trials”. 
•••• Clique em “Options”, digite o nível de confiança de 95% em “Confidence level”. O restante deve sempre 
estar em “not equal” em “Alternative” e “Use teste and interval based on normal distribution” 
 
 
 
Saída do Minitab 
 
Sample X N Sample p 95% CI 
1 8 100 0,080000 (0,026828; 0,133172) 
Using the normal approximation. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de 95% de confiança 
2,68% ≤ p ≤ 13,3% 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 9 − 
Cálculo do tamanho da amostra para estimar a proporção da população com uma margem 
de erro fixada em E0� qp
E
ˆˆ
z
 n
2
0
2
⋅⋅





=
α
 se N desconhecido ou infinito 
 
� 2
2
2
0
2
2
)(ˆˆ )1(
)(ˆˆN
 n
α
α
zqpEN
zqp
⋅⋅+⋅−
⋅⋅⋅
= se N é conhecido 
 
Observação 
Nas fórmulas acima precisamos de uma estimativa preliminar razoável para a proporção p. Esta estimativa 
poderá ser obtida de uma pesquisa anterior ou através de um estudo piloto. Na falta de uma estimativa 
preliminar, use o valor p = 0,50, valor que maximiza o produto p⋅⋅⋅⋅q. 
 
EXEMPLO 04 - Se o pesquisador do EXEMPLO 1 deseja estimar a proporção p das famílias no bairro 
que assistem ao programa XY, qual deveria ser o tamanho da amostra necessário para garantir um erro 
máximo de estimação igual a 4% para mais ou para menos. Use um nível de 95% de confiança. 
a) Como estimativa de p use a proporção amostral obtida no EXEMPLO 1. 
b) Suponha que você não tenha nenhuma estimativa a respeito da proporção p. famílias. 
Resp: a) n = 391 famílias deveriam ser selecionadas para assegurar, com 95% de certeza, que as estimativas obtidas, não se afastem 
mais de 4% dos seus verdadeiros valores b) n = 547 famílias 
 
EXEMPLO 05 - Um repórter deseja fazer uma pesquisa para estimar a “verdadeira” proporção dos 
universitários que têm computador em casa e quer ter 95% de confiança de que sua estimativa tenha uma 
margem de erro de 5% para mais ou para menos. Qual o tamanho da amostra (n), ou seja, quantos 
universitários deveriam ser pesquisados? 
a) Supondo que, de um estudo anterior, 27% dos estudantes têm computador em casa. 
b) Supondo que você não tem nenhuma informação sobre a proporção p. 
c) Repetir a letra ‘a’, supondo que na região de interesse do repórter haja um total de N = 25.000 
universitários. 
Resp: a) n = 303 b) n = 385 c) n = 300 estudantes. 
 
 
Comparando o tamanho da amostra (n) em função do N e E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
200
400
600
800
1000
50 2550 5050 7550 10050 12550
População (N)
A
m
o
st
ra
 
(n
) 3%
4%
5%
6%
E 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 10 − 
2.2 Intervalo de confiança a para média populacional 
A média populacional µµµµ é agora o nosso parâmetro de interesse e gostaríamos de estimá-la com base nos 
valores de uma amostra de n elementos x1, x2, ..., xn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O intervalo de confiança para a média populacional é obtido como 
média populacional = [estimativa pontual ± margem de erro] 
 
Ou seja, 
x - E ≤ média populacional ≤ x + E 
A margem de erro (E) é de duas maneiras diferentes, dependo do que você sabe sobre o valor do σ (desvio-
padrão na população). 
Situação I: Supõe-se que o desvio-padrão populacional (σ) é conhecido 
Situação II: Supõe-se que o desvio-padrão populacional (σ) é desconhecido 
 
Situação I: Desvio-padrão populacional (σσσσ) é conhecido 
( )
n
σ
z xIC 2αµ ±= ou 
n
σ
zxµ 
n
σ
zx 22 αα +≤≤− .......... (2) 
 
Situação II: Desvio-padrão populacional (σσσσ) é desconhecido 
( )
n
s
 t xIC 2αµ ±= ou 
n
s
txµ 
n
s
tx 22 αα +≤≤− ............ (3) 
 
 
Onde, 
 
• N e n é o tamanho da população e da amostra, respectivamente. 
• zα/2 é o valor crítico obtido da tabela normal padrão e que depende do nível de confiança desejado. 
• tα/2 é o valor crítico obtido da tabela t de student e que depende do nível de confiança desejado 
(veremos esta tabela mais adiante) 
 
 
Amostra de n elementos 
Média amostral: 
n
x i∑
=x 
Desvio-padrão amostral: 
( )
1-n
x
2
i∑ −
=
x
s 
 
População de N elementos 
µµµµ = média 
σσσσ = desvio-padrão 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 11 − 
Algumas observações 
(1) Se o tamanho da população (N) for finita e conhecida e a amostra for maior que 5% da população (n ≥ 
0,05·N) é aconselhável incluir um fator de correção para população finita. Neste caso, a margem de 
erro seria calculada (dependendo da situação) como: 
12 −
−
=
N
nN
n
zE σα ou 12 −
−
=
N
nN
n
s
tE α 
(2) No caso de grandes amostras (n ≥ 30), se o desvio-padrão populacional σσσσ for desconhecido é comum 
substituí-lo pelo desvio-padrão amostral s e ainda continuar usando a fórmula (2). Isto é possível, pois 
esperamos que ambos (s e σ) sejam próximos a medida que aumentamos o tamanho da amostra. 
EXEMPLO 06 - Um pesquisador está interessado em estimar o “verdadeiro” tempo médio µµµµ que as 
famílias do bairro gastam vendo TV. Com base em dados históricos, o pesquisador sabe que o desvio-
padrão populacional do tempo vendo TV é igual a 1,5 hora. De um estudo feito com uma amostra de 200 
famílias foi obtido uma média amostral de 5,4 horas. Use os resultados desta pesquisa para responder as 
questões abaixo: 
a) Qual é a estimativa pontual da média populacional µ? Considerando um nível de 95% de confiança, 
qual é o maior erro cometido (ou seja, a margem de erro) nesta estimação? 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a média da população. 
c) Alguns pesquisadores acreditam que as famílias no bairro gastam em média 6 horas vendo TV. Os 
dados mostram evidências para acreditar nestes pesquisadores? Justifique sua resposta. 
a) µ ≈ 5,4 horas b) E = 0,21 horas c) 5,19 ≤ µ ≤ 5,61 horas Estamos 95% confiantes de que o tempo médio vendo TV pelas 
famílias do bairro está no intervalo de 5,19 hs e 5,61 hs . 
 
EXEMPLO 07 - O fabricante Light deseja estimar o valor do tempo médio de vida útil das lâmpadas que 
ele fabrica. Por questão de tempo, ele amostrou apenas 25 lâmpadas e registrou o tempo de vida de cada 
uma, obtendo uma média amostra foi de 1200 horas e um desvio-padrão amostral de 80 horas. Assumindo 
que o tempo de vida das lâmpadas tem aproximadamente distribuição normal, construa (e interprete) um 
intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro tempo médio de vida das lâmpadas. Qual foi a margem de 
erro na pesquisa? 
Resp: tα/2 = 2,064 E = 33,02 horas c) 1166,98 ≤ µ ≤ 1233,02 horas 
 
EXEMPLO 08 - Um pesquisador está interessado no tempo que as pessoas em uma cidade do país UK 
gastam navegando na Internet. Com base em dados históricos, o tempo segue a distribuição normal com 
desvio-padrão populacional igual a 6 horas. Uma amostra de 60 pessoas retirada desta cidade apresentou 
uma média amostral igual a 19,5 horas por semana. Com base nestas informações, responda: 
a) Construa (e interprete) um intervalo de confiança de 98% para o verdadeiro tempo médio de 
navegação na Internet. Qual foi a margem de erro na pesquisa? 
b) Segundo uma notícia veiculada na Internet, o tempo médio no pais UK é de 20 horas. Com base no 
intervalo que você obteve em “a”, há evidências o tempo médio na cidade é igual ao do país? 
Justifique sua resposta. 
Resp: 17,70 ≤ µ ≤ 21,30 horas/semana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 12 − 
EXEMPLO 09 - O responsável pelo laboratório de informática de uma escola deseja estimar o tempo 
médio µ que os alunos gastam usando o laboratório. Inicialmente ele selecionou aleatoriamente uma 
amostra de 12 alunos e registrou o tempo gasto por cada um deles. Os dados estão logo abaixo. Assuma 
que o tempo de uso do laboratório segue uma distribuição aproximadamente normal. 
 
37 36 31 25 29 32 24 30 21 42 30 41 
Construa e interprete um intervalo de confiança de 95% para o “verdadeiro” tempo médio de uso do 
laboratório. Qual foi a margem de erro? 
Resp; x =31,5 s = 6,54 tα/2 = 2,201 E = 4,155 min27,3 ≤ µ ≤ 35,7 min. 
 
EXEMPLO 10 - A empresa Consolidated Package Delivery Service (CPDS) está estudando a proposta 
de transferir o seu pátio de armazenagem. Para ajudá-la a tomar uma decisão, 12 caminhões de entrega 
foram selecionados e registrado o percurso diário de cada um, obtendo uma média amostral de 320 
quilômetros e um desvio-padrão amostral de 65 quilômetros. Supondo que o percurso tenha distribuição 
aproximadamente normal, construa um intervalo de 95% de confiança para o percurso médio dos 
caminhões na população. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 13 − 
 
Distribuição t de Student 
 
A distribuição t de Student foi criada por W. S. Gosset, funcionário de uma cervejaria irlandesa no início do 
século XX. A distribuição de Student recebeu este nome em função do pseudônimo que Gosset empregava 
para assinar seus trabalhos acadêmicos. Segundo se sabe a empresa não permitia que os funcionários 
publicassem trabalhos em seu próprio nome. 
 
A distribuição t-student tem a forma parecida com a distribuição normal padrão. Ela é simétrica em torno da 
média zero, mas é um pouco mais dispersa que a normal (a sua cauda demora um pouco mais para cair). 
Essa dispersão é maior para pequenas amostras (n < 30), sendo que para grandes amostras (n ≥ 30) a 
distribuição t de student é bem próxima da normal. A tabela t de student mostra as áreas na cauda superior 
para um determinado1 grau de liberdade (gl = n - 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela t de Student mostra as áreas na cauda superior (ou seja, à direita do valor crítico) para um 
determinado grau de liberdade, que é o tamanho da amostra menos 1, ou seja, n-1. 
 
Como olhar a tabela da distribuição t de Student? 
 
Considerando um nível de confiança de 95% e n = 15, determine o valor crítico tα/2? 
 
Se NC = 100(1-α)% = 95%, então α = 0,05 e α/2 = 0,025. Na linha 14 e coluna 0,025 temos tαααα/2= 2,145. 
 
Se o nível de confiança é 99% e n = 20, qual o valor crítico tα/2? 
 
 
 
 
 
 
1
 Como vocês notaram a tabela t de Student não é completa. Ela só trabalha com as probabilidades mais usuais em inferência 
estatística. 
x
f(
x
)
43210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Variable
Normal
t-Student n = 2
x
f(
x
)
43210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Variable
Normal
t-Student n = 15
Comparação entre a curva normal padrão e a 
distribuição t de Student para n = 2 e n = 15 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 14 − 
 
Cálculo do tamanho da amostra para estimar a média da população com uma margem de 
erro fixada em E0 
 
2
0
2z
 n 






 ⋅
=
E
σα
 se N desconhecido ou infinito 
 
2
2
22
0
2
2
2
)( )1(
)(N
 n
α
α
σ
σ
zEN
z
⋅+⋅−
⋅⋅
= se N for finita e conhecido 
 
 
Observação 
 
Uma estimativa preliminar do desvio-padrão σ poderá ser baseada no desvio-padrão amostral (s) de uma 
pesquisa feita anteriormente e similar à sua pesquisa ou no desvio-padrão amostral (s) de um estudo piloto. 
O valor crítico zα/2 é obtido da tabela normal padrão 
 
 
EXEMPLO 11 - Suponha que o responsável pelo laboratório de informática no exemplo 9 julgou a 
estimativa pouco precisa. Qual deveria ser o tamanho da amostra para estimar a média populacional de 
forma a garantir uma margem de erro de 2 minutos para mais ou para menos com uma confiança de 95% 
nos resultados? Como estimativa de σ use o desvio-padrão da amostra usada no exemplo 9. 
Resp: n = 42 alunos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 15 − 
 
Usando o Minitab - σσσσ conhecido 
 
Voltando ao exemplo 6b 
•••• No menu, escolha Stat > Basic Statistics > 1-Sample z. 
•••• Em “Summarized data”, digite o tamanho da amostra (n) em “Sample size” e a média amostral em 
“Mean”. Ou entre com uma variável com os dados em “Samples in columns”. 
•••• Clique em “Options”, digite o nível de confiança de 95% em “Confidence level” selecione (sempre) “not 
equal” em “Alternative”. 
 
 
 
Saída do Minitab 
 
The assumed standard deviation = 1,5 
 
 N Mean SE Mean 95% CI 
200 5,400 0,106 (5,192; 5,608) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de 95% de confiança 
5,192 ≤ µµµµ ≤ 5,608 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 16 − 
 
Usando o Minitab - σσσσ desconhecido 
 
Voltando ao exemplo 9 
•••• Digite os dados na coluna C1 
•••• No menu, escolha Stat > Basic Statistics > 1-Sample t. 
•••• Selecione a variável teste em “Samples in columns”, ou entre com os dados sumarizados em 
“Summarized data”, caso você já tenha a média amostral, o desvio-padrão amostral (s) e o tamanho da 
amostra (n) 
•••• Clique em “Options”, digite o nível de confiança de 95% em “Confidence level” selecione (sempre) “not 
equal” em “Alternative”. 
 
 
 
Saída do Minitab 
 
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI 
tempo 12 31,50 6,54 1,89 (27,34; 35,66) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de 95% de confiança 
27,34 ≤ µµµµ ≤ 35,66 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 17 − 
5 - Anexos 
ANEXO 1 – Um pouco sobre os estimadores 
As estatísticas usadas para estimar os parâmetros são denominadas de estimadores, então: 
O melhor estimador da média populacional µµµµ é a média amostral nxx i∑= 
O melhor estimador da proporção populacional p é a proporção amostral nxp =ˆ 
O melhor estimador da variância populacional σσσσ2 é a variância amostral 
1
)( 22
−
−
=
∑
n
xx
s
i
 
Para cada parâmetro podemos ter vários estimadores. Por exemplo, para estimar a média populacional µµµµ, 
poderíamos pensar em usar a média simples, a mediana, a moda ou qualquer outra medida de posição 
central. 
Como sabemos que x , pˆ e s2 são os melhores estimadores de µ, p e σ2, respectivamente? 
Porque estes estimadores satisfazem algumas características importantes dentro da estatística. Eles são 
estimadores não-tendenciosos (ou seja, em média o estimador é igual ao valor do parâmetro) e mais 
precisos (ou seja, apresentam menor variabilidade em torno dos parâmetros). 
Analogia dos estimadores com os rifles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIFLE A 
Os tiros tendem a ficar em torno do centro alvo; 
Grande dispersão em torno do centro 
 
** O rifle não é viciado e tem pouca precisão. 
Analogia com os estimadores 
• Estimador é não-tendencioso e com grande 
variabilidade em suas estimativas 
RIFLE B 
Os tiros tendem a ficar em torno de um centro, mas 
não é do alvo. Pequena dispersão em torno do centro 
dos tiros. 
 
** O rifle é viciadoe tem grande precisão. 
Analogia com os estimadores 
• Estimador é tendencioso e com pequena 
variabilidade em suas estimativas 
RIFLE C 
Os tiros tendem a ficar em torno de um centro, mas 
não é do alvo. Grande dispersão em torno do centro 
dos tiros. 
 
** O rifle é viciado e tem pouca precisão. 
Analogia com os estimadores 
• Estimador é tendencioso e com grande 
variabilidade em suas estimativas 
RIFLE D 
Os tiros tendem a ficar em torno do centro do 
alvo. Pequena dispersão em torno do centro do 
alvo. 
 
** O rifle não é viciado e tem grande precisão. 
Analogia com os estimadores 
• Estimador é não-tendencioso e com pequena 
variabilidade em suas estimativas 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 18 − 
ANEXO 2 - Esquema para demonstrar as idéias envolvidas no intervalo de confiança (usando 
um nível de confiança de 95%) 
 
 
 
Gráfico dos intervalos de confiança construídos com 50 amostras simuladas. Dos 50 intervalos, três deles 
não contém a “verdadeira” média populacional (µ = 18), o que corresponde a 94%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 95
%
 
In
te
rv
a
lo
 
de
 
Co
n
fia
n
ça
21
20
19
18
17
16
15
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 19 − 
ANEXO 3 - Usando a distribuição da média amostral x e da proporção amostral pˆ para 
obter o intervalo de confiança. 
 
Intervalo de confiança para a média µµµµ 
erro de estimação = µ−= Xe E = maior erro de estimação 
 
� Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que )n ;( σµNormalX ≈ 
P(“erro de estimação ser menor que o valor E”) = 95,0)( =≤− EXP µ 
95,0)( =≤− EXP µ 
= 95,0)( =+≤≤− EXEP µµ 
= 95,0=








−+
≤≤
−−
n
EZ
n
EP
σ
µµ
σ
µµ
 
= 95,0=








≤≤−
σσ
nEZnEP 
 = 95,0)( =+≤≤− cc zZzP onde σ
nE
zc = 
 
Pela tabela normal padrão, obtemos 96,1zc = 
96,1==
σ
nE
zc → ... (após algumas manipulações algébricas) ... → 
n
E σ⋅= 96,1 
 
Intervalo de 95% de confiança para a média µµµµ: ExEx +≤µ≤− onde 
n
96,1E σ⋅= 
De uma forma geral 
Intervalo de 100(1 - α)% de confiança para a média µµµµ: ExEx +≤≤− µ onde 
n
zE σα ⋅= 2 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 20 − 
Intervalo de confiança para a média µµµµ 
erro de estimação = µ−= pe ˆ E = maior erro de estimação 
 
� Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que )npq ;(ˆ pNormalp ≈ 
P(“erro de estimação ser menor que o valor E”) = 95,0)ˆ( =≤− EppP 
95,0)ˆ( =≤− EppP 
= 95,0)ˆ( =+≤≤− EppEpP 
= 95,0=








−+
≤≤
−−
npq
pEp
Z
npq
pEp
P 
= 95,0=








−+
≤≤
−−
npq
pEp
Z
npq
pEp
P 
 = 95,0)( =+≤≤− cc zZzP onde 
npq
E
zc = 
 
Pela tabela normal padrão, obtemos 96,1zc = 
npq
E
zc = → ... (após algumas manipulações algébricas) ... → 
n
qpE
ˆˆ
96,1 ⋅= 
 
 
Intervalo de 95% de confiança para a média µµµµ: ExEx +≤≤− µ onde 
n
pqE ⋅= 96,1 
 
De uma forma geral 
Intervalo de 100(1 - α)% de confiança para a proporção p: EpEp +≤≤− ˆ ˆ µ onde 
n
pq
zE ⋅= 2α 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 21 − 
ANEXO 4 - Obtendo o valor crítico zαααα/2 
 
O valor crítico zαααα/2 é o escore z que separa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal 
padronizada. Ou seja, é o valor zαααα/2 tal que 2)( 2 αα => zZP . 
α = denota a probabilidade do erro de estimação ser maior que a Margem de erro. 
α−1 = denota a probabilidade do erro de estimação ser menor ou igual a Margem de erro. 
100(1 - α)% = forma geral de nos referirmos ao Nível de Confiança (NC) do intervalo de confiança. 
 
Determine o valor crítico zαααα/2 para um nível de confianças igual a 97%. 
100(1 - α)% = 97% →→→→ 1 - α = 0,97 →→→→ α = 0,03 →→→→ α/2 = 0,015 
015,0)( 2 => czZP α →→→→ zαααα/2 = ?? →→→→ Pela tabela Normal padronizada zαααα/2 = 2,17 
 0,07 
 ↑ 
2,1 ← ≈ 0,985 
 
Tabela normal padrão (Z) 
20
 0 zαααα/2 = ? 
 0,015 
 0,985 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 22 − 
6 - Exercícios resolvidos 
EXERCÍCIO 1 - Uma empresa deseja saber qual o tempo médio (em dias) de vida útil das lâmpadas que 
fabrica. De estudos anteriores, a empresa assumiu que o desvio-padrão do tempo de vida das lâmpadas 
seja σ = 100 horas. Foi selecionada uma amostra aleatória de n = 400 lâmpadas e registrado o tempo de 
vida de cada lâmpada. O tempo médio de vida da amostra foi de x = 1200 horas. 
a) Qual a estimativa pontual do “verdadeiro” tempo médio de vida (µµµµ) das lâmpadas? 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para µµµµ? 
 
Solução 
a) 
µµµµ = “verdadeiro” tempo médio de vida das [todas] lâmpadas. 
µµµµ ≈ x =1200 horas (a estimativa pontual de µµµµ é 1200 horas) 
b) 
O que queremos: Intervalo de 95% de confiança para µ: IC(µ) = ? 
O que temos: n = 400 lâmpadas; x =1200 horas; s = ?; σ = 100 horas; N = ? 
 
Para um nível de confiança de 95% (NC = 95%), temos que 2zα = 1,96 (valor tabelado) 
IC(µ) = 8,91200
400
10096,112002 ±=⋅±=⋅±
n
zx
σ
α 
Resposta: 
IC(µ) = 8,91200 ± horas ou [1190,2; 1209,8] horas ou 1190,2 horas ≤ µ ≤ 1209,8 horas 
 
Interpretação 
Estamos 95% confiantes de que o “verdadeiro” tempo médio de vida das lâmpadas está dentro do 
intervalo de 1190,2 a 1209,8 horas. 
ou 
A estimativa do tempo médio de vidas das lâmpadas (µ) é de 1200 horas com uma margem de 
erro de ±9,8 horas e 95% de confiança nos resultados. 
ou 
O tempo médio de vidas das lâmpadas (µ) é de 1190,2 horas até 1209,8 horas com 95% de 
confiança. 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 23 − 
Intervalo de confiança para média populacional (µµµµ) – Para σσσσ desconhecido 
 
EXERCÍCIO 2 – Um fabricante deseja saber qual o tempo médio (em horas) de vida útil das lâmpadas que 
fabrica. Por questão de tempo, ele amostrou apenas n = 25 lâmpadas e registrou o tempo de vida de cada 
uma. O tempo médio amostral foi de x = 1200 horas e o desvio-padrão amostral foi de s = 80 horas. 
Assuma que o tempo de vida das lâmpadas tem distribuição Normal. 
a) Qual a estimativa pontual do “verdadeiro” tempo médio de vida (µ) das lâmpadas? 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para µ? 
 
Solução 
a) 
µµµµ = “verdadeiro” tempo médio de vida das [todas] lâmpadas. 
µµµµ ≈ x =1200 horas (a estimativa pontual de µµµµ é 1200 horas) 
b) 
O que queremos: Intervalo de 95% de confiança para µ: IC(µ) = ? 
O que temos: n = 25 lâmpadas; x =1200 horas; s = 80; σ = ?; N = ? 
 
Para NC = 95% e 24 graus de liberdade temos que 2t α = 2,064 (olhando a tabela t-Student) 
g.l 
(n-1) ... 0,025 ... 
... ↓ 
24 → 2,064 
... 
IC(µ) = 0,331200
25
80064,212002 ±=⋅±=⋅±
n
s
tx α 
 
Resposta: 
IC(µ) = 0,331200 ± horas 
 ou IC(µ) = [1167,0; 1233,0] horas ou 1167,0 horas ≤ µ ≤ 1233,0 horas 
 
Interpretação 
Estamos 95% confiantes de que o “verdadeiro” tempo médio de vida das lâmpadas µ está dentro 
do intervalo de 1167,0 a 1233,0 horas. 
ou 
A estimativa do tempo médio de vidas das lâmpadas (µ) é de 1200 horas com uma margem de 
erro de ±33,0 horas e 95% de confiança nos resultados. 
ou 
O tempo médio de vidas das lâmpadas (µ)é de 1167,0 horas até 1233,0 horas com 95% de 
confiança. 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 24 − 
EXERCÍCIO 3 – Em um estudo do tempo necessário para o serviço de entrega no apartamento de um hotel 
recentemente aberto, uma amostra de 20 entregas acusou uma média de 24,2 minutos, com desvio-padrão 
de 8,7 minutos. Os dados amostrais parecem ter distribuição normal. Construa e interprete um intervalo de 
99% de confiança para o “verdadeiro” tempo médio (µ) de todas as entregas. 
Solução 
O que queremos: Intervalo de 99% de confiança para µ: IC(µ) = ? 
O que temos: n = 20 entregas; x =24,2 min; s = 8,7 min; σ = ?; N = ? 
 
Para NC = 99% e 19 graus de liberdade temos que 2t α = 2,861 (olhando a tabela t-Student) 
g.l 
(n-1) ... 0,005 ... 
... ↓ 
19 → 2,861 
... 
 
IC(µ) = 57,52,24
20
7,8861,22,242 ±=⋅±=⋅±
n
s
tx α 
Resposta: 
IC(µ) = 57,52,24 ± minutos 
 ou IC(µ) = [18,63; 29,77] horas ou 18,63 horas ≤ µ ≤ 29,77 horas 
Interpretação 
Estamos 99% confiantes de que o “verdadeiro” tempo médio de entrega das encomendas µ está 
dentro do intervalo de 18,63 a 29,77 minutos. 
ou 
A estimativa do tempo médio de entrega das encomendas (µ) é de 24,2 minutos com uma margem 
de erro de ±5,57 minutos e 99% de confiança nos resultados. 
ou 
O tempo médio de entrega das encomendas (µ) é de 18,63 minutos até 29,77 minutos com 99% 
de confiança. 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 25 − 
Cálculo do tamanho da amostra (n) para estimar a média populacional (µµµµ) 
 
EXERCÍCIO 4 - A Nielsen Media Research deseja estimar o tempo médio (em horas) que os estudantes de 
tempo integral de uma universidade passam vendo televisão em cada dia da semana. Determine o tamanho 
da amostra (n) necessário para estimar essa média com uma margem de erro de 0,25 hora, com 90% de 
confiança. Suponha que um estudo piloto tenha indicado que o desvio-padrão é estimado em 1,87 horas. 
Solução: 
µ = Tempo médio vendo TV por dia 
O que queremos: Tamanho da amostra (n = ?) para estimar µ 
O que temos: σ = 1,87 horas; E = 0,25 hora; N = ? 
σ = desvio-padrão populacional; E = Margem de erro; N = tamanho da população 
Para NC = 90% temos que 2zα = 1,65 (valor tabelado) 
22
2
25,0
87,165,1z
 n 




 ⋅
=






 ⋅
=
E
σα
 = 151,4 → 152 universitários 
Resposta: 
Seriam necessários amostrar 152 universitários (n = 152) para estimar o tempo médio que eles gastam 
vendo TV por dia (µ) com um margem de erro de ±0,25 hora e 90% de confiança nos resultados. 
 
EXERCÍCIO 5 – Continuando com o exemplo 4. Assuma que exista um total de 2000 estudantes na 
universidade (N = 2000). Determine o tamanho da amostra (n) necessário para estimar essa média com 
uma margem de erro de 0,25 hora e 90% de confiança nos resultados. Suponha que um estudo piloto tenha 
indicado que o desvio-padrão é estimado em 1,87 horas. 
Solução: 
µ = Tempo médio vendo TV por dia 
O que queremos: Tamanho da amostra (n = ?) para estimar µ 
O que temos: σ = 1,87 horas; E = 0,25 hora; N = 2000 
σ = desvio-padrão populacional; E = Margem de erro; N = tamanho da população 
Para NC = 90% temos que 2zα = 1,645 (valor tabelado) 
 
Temos dois caminhos: 
 
� 2
2
22
2
2
2
z )1(
zN
 n
α
α
σ
σ
⋅+⋅−
⋅⋅
=
EN
= 222
22
1,65,871 25,0)12000(
1,6587,10002
 
⋅+⋅−
⋅⋅
=140,8 → n = 141 
 
Resposta: 
Seriam necessários amostrar 142 universitários (n = 142) para estimar o tempo médio que eles gastam 
vendo TV por dia (µ) com um margem de erro de ±0,25 hora e 90% de confiança nos resultados. 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 26 − 
Intervalo de confiança para proporção populacional (p) 
 
EXERCÍCIO 6 - Para conhecer o valor da proporção de faturas emitidas com endereço incorreto, uma 
empresa retirou de seus arquivos uma amostra de 100 faturas (n = 100). Desta amostra, 8 faturas 
apresentaram endereço incorreto. 
a) Qual a estimativa pontual da “verdadeira” proporção de faturas emitidas com endereço incorreto 
(p)? 
b) Construa e interprete um intervalo de 90% de confiança para p? 
Solução 
a) 
p = “verdadeira” proporção de faturas com endereço incorreto (proporção populacional) 
pˆ = proporção de faturas amostradas com endereço incorreto (proporção amostral) 
08,0
100
8
ˆ ==p (8%) p ≈ pˆ = 8% (a estimativa pontual de p é de 8%) 
b) 
O que queremos: Intervalo de 90% de confiança para p: IC(95%; p) = ? 
O que temos: n = 100 faturas; pˆ = 8%; N = ? 
 
Para um nível de confiança de 90% (NC = 90%), temos que 2zα = 1,65 (valor tabelado) 
Verificando as condições: 5 808,0100ˆ ≥=⋅=⋅ pn ok 
5 92)08,01(100ˆ ≥=−⋅=⋅ pn ok 
IC(p) = 
n
pp
zp )ˆ1(ˆˆ 2
−⋅
⋅± α = 100
)08,01(08,065,108,0 −⋅⋅± = 0,08 ± 0,0446 
 
Resposta: IC(p) = %46,4%8 ± minutos 
 ou ICp) = [3,54%; 12,46%] ou 3,54% ≤ p ≤ 12,46% 
 
Interpretação 
Estamos 90% confiantes de que a “verdadeira” proporção de faturas com endereço incorreto p 
está dentro do intervalo de 3,54% a 12,46%. 
ou 
A estimativa da proporção de faturas com endereço incorreto (p) é de 8% com uma margem de 
erro de ±4,46% e 90% de confiança nos resultados. 
ou 
A proporção de faturas com endereço incorreto (p) é de 3,54% até 12,46% com 90% de confiança. 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 27 − 
Cálculo do tamanho da amostra (n) para estimar a proporção populacional (p) 
 
EXERCÍCIO 7 – Um repórter deseja fazer uma pesquisa para estimar a “verdadeira” proporção dos 
universitários que têm computador em casa e quer ter 95% de confiança de que sua estimativa tenha uma 
margem de erro de 4%. Qual o tamanho da amostra (n), ou seja, quantos universitários deveriam ser 
pesquisados? 
a) Suponha que, de um estudo anterior, sabemos que 27% dos estudantes têm computador em casa. 
Desta forma, você pode assumir que 27,0ˆ =p . 
b) Assuma que você não tem nenhuma informação sobre pˆ . 
c) Repetir ‘a’ sabendo que na região de interesse do repórter haja um total de 25.000 universitários. 
 
Solução 
a) 
p = “verdadeira” proporção dos universitários que têm computador em casa 
O que queremos: Tamanho da amostra (n = ?) para estimar a proporção p 
O que temos: %)27( 27,0ˆ =p ; E = 0,04 (4%); N = ? 
E = Margem de erro; N = tamanho da população. 
Para NC = 95% temos que 2zα = 1,96 (valor tabelado) 
2
2
2 )ˆ1(ˆz
 
E
pp
n
−⋅⋅
=
α
= 2
2
04,0
)27,01(27,096,1
 
−⋅⋅
 = 473,2 → 474 universitários 
Resposta: 
Seria necessário amostrar 474 universitários (n = 474) para estimar “verdadeira” proporção dos 
universitários que têm computador em casa (p) com uma margem de erro de ±4% e 95% de confiança 
nos resultados. 
b) 
p = “verdadeira” proporção dos universitários que têm computador em casa 
O que queremos: Tamanho da amostra (n) para estimar p → n = ? 
O que temos: ?pˆ = ; E = 0,04 (4%); N = ? (obs: Usar pˆ = 0,5, já que não temos o valor de pˆ ) 
E = Margem de erro; N = tamanho da população 
Para NC = 95% temos que 2zα = 1,96 (valor tabelado) 
2
2
2 )ˆ1(ˆz
 
E
pp
n
−⋅⋅
=
α
= 2
2
04,0
)5,01(5,096,1
 
−⋅⋅
 = 600,25 → 601 universitários 
Resposta: 
Seria necessário amostrar 601 universitários (n = 601) para estimar “verdadeira” proporção dos 
universitários que têm computador em casa (p) com uma margem de erro de ±4% e 95% de confiança 
nos resultados. 
c) 
2
2
2
2
2
ˆˆ1
ˆˆ
α
α
zqp E)(NzqpN
 n
⋅⋅+⋅−
⋅⋅⋅
= = 22
2
96,10,27)-(127,0 04,0)125000(
96,10,27)-(127,050002
 
⋅⋅+⋅−
⋅⋅⋅
≈ 465 universitários 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 28 − 
6 - Exercícios Propostos 
[Inferência estatística – Estimação de parâmetros] 
 
1) Defina os termos abaixo: 
a) Inferência estatística b) População e Amostra c) Parâmetro e Estatística 
d) Estimador e) Estimativa pontual f) Erro de estimação 
g) Margem de erro h) Nível de confiança i) Intervalo de Confiança 
2) Qual o problema de usar somente a estimativa pontual ao estimar um parâmetro populacional? 
3) Caso você tenha feito um recenseamento, ou seja, você tem os dados de toda a população de seu 
interesse, há sentido falar em estimação de parâmetros, margem de erro e intervalo de confiança? 
Justifique. 
4) Se uma pessoa leiga em estatística lhe perguntar o que vem a ser intervalo de confiança e margem de 
erro, qual a explicação que você daria a esta pessoa (lembre-se, ela é leiga e sua explicação em termos 
técnicos de nada adiantaria)? 
5) “Sempre teremos boas estimativas (menor erro de estimação) quando trabalhamos com grande 
amostra”. Concorda? Justifique. 
 
[Estimação da proporção populacional (p)] 
 
6) Considere: 
a) p = Proporção de residências que não atingiram a meta 
 Amostra de n = 80 residências: x = 10 não atingiram a meta e pˆ = ?. 
b) p = Proporção de funcionários que recebem menos de 2 SM N = 200 funcionários 
 Amostra de n = 200 funcionários: x = 25 funcionários recebem menos de 2 SM e pˆ = ?. 
 
Para cada uma das questões acima, responda: 
• Qual a estimativa pontual da proporção populacional (p)? 
• Qual é a margem de erro (erro máximo de estimação) com 95% de confiança? 
• Calcule e interprete o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional (p)? 
 
Resp: a) E = 0,07247 (7,25%) 5,25% ≤ p ≤ 19,75% b) E = 0 p = 12,5% 
 
7) Um instituto de pesquisa de mercado realiza levantamentos telefônicos e deseja estimar a taxa de 
resposta, ou seja, a proporção p pessoas que aceitam participar da pesquisa por telefone. Em uma 
amostra de 200 pessoas, apenas 90 pessoas aceitaram participar da pesquisa por telefone. 
a) Calcule o valor de pˆ = proporção de pessoas amostradas que aceitaram participar da pesquisa por 
telefone? 
b) Qual a estimativa pontual para p e qual seria o erro máximo (margem de erro) cometido nesta 
estimativa com 95% de confiança? 
c) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para p. 
Resp: a) p ≈ 45% E = 6,89% b) 38,11% ≤ p ≤ 51,89% 
 
8) A empresa GOL, um dos fabricantes de bolas, selecionou uma amostra de 81 bolas e verificou que 8 
delas pesam mais de 455 gramas. Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para p = 
“verdadeira” proporção de bolas que pesam mais de 455 gramas. A empresa afirma que 10% das bolas 
fabricadas por ela pesam mais de 455 gramas, você acredita na afirmação da empresa? Justifique. 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 29 − 
9) As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato do número crescente de telefones 
celulares resulte em maior número de colisões de carros e, por isso, estão pensando em cobrar prêmios 
mais elevados para os motoristas que utilizam celulares. Uma pesquisa preliminar feita com uma 
amostra de 50 motoristas revelou que 9 motoristas falam ao celular enquanto estão dirigindo. Construa 
um intervalo de 99% de confiança para a porcentagem dos [todos] motoristas que falam ao celular 
enquanto estão dirigindo. Interprete o intervalo de confiança obtido. 
Resp: 4,0% < p < 32,0% 
 
10) Se Li e Ls são, respectivamente, os limites inferior e superior do Intervalo de Confiança (IC). Mostre 
que: 
 pˆ 
2
Ls Li
 =
+ (proporção amostral) e erro) de (margem E 
2
Li Ls
=
−
 
]ˆˆ[);( EpE; ppNCIC +−= -- IC para proporção populacional (p) 
 
11) Um médico coletou uma amostra de seus pacientes para questioná-los sobre a satisfação com o 
atendimento. Calculando a porcentagem de clientes amostrados satisfeitos com o atendimento, o 
médico pôde construir o intervalo de confiança para a porcentagem dos [todos] clientes satisfeitos com 
seu atendimento (p). O intervalo de 95% de confiança obtido foi igual a (76% ; 84%). Responda as 
questões abaixo. 
a) Interprete o intervalo de confiança obtido. 
b) Calcule pˆ = proporção amostral de clientes satisfeitos. (calcule o ponto médio do IC) 
c) Calcule o erro máximo de estimação associado ao IC. 
d) O médico acreditava que 90% dos seus clientes estavam satisfeitos com seu atendimento. Com 
base no intervalo de confiança obtido com a pesquisa realizada, o médico tinha razão? 
Resp: c) E = 4% 
 
12) Um repórter da revista Byte fez uma pesquisa com 120 universitários e descobriu que 29% dos 
universitários amostrados têm computador em casa. 
a) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para p = “verdadeira” porcentagem dos 
universitários que têm computador em casa. 
b) Com base no intervalo de confiança construído em ‘a’ e supondo que exista um total de 60.000 
universitários (valor hipotético) na região, construa o intervalo de 95% de confiança para o número 
de universitários que têm computador em casa. 
Resp: E = 8,12% 20,88% ≤ p ≤ 37,12%) b) (20,88% de 60000) ≤ Nº ≤ (37,12% de 60000) 
 
13) O funcionário José da empresa FOX selecionou uma amostra de 50 encomendas e anotou o tempo (em 
minutos) que foi gasto para embalar cada uma delas e despachá-la. Os dados estão na tabela abaixo: 
Tempo de preparo de encomendas 
Tempo de 
preparo 
 
Quantidade 
de encomendas 
 (fi) 
 5 |-- 10 14 
10 |-- 15 20 
15 |-- 20 11 
20 |-- 25 5 
Total n = 50 
 
 
 
 
 
a) Calcule a proporção de encomendas amostradas ( pˆ ) que 
gastaram menos de 15 minutos para ser preparadas. 
 
b) Construa e interprete um intervalo de 99% de confiança para 
o valor de p = “verdadeira” proporção de encomendas que 
gastam menos de 15 minutos para ser preparadas. 
 
c) Supondo que a empresa FOX determinou que 75% 
encomendas deveriam ser embaladas e despachadas em 
menos de 15 minutos. Você acredita que há motivos de 
preocupação para o funcionário. 
Resp: a) pˆ = 68% b) E = 17% 51,0% ≤ p ≤ 85% 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 30 − 
14) Pegue uma moeda e jogue-a para cima 100 vezes e anote o número de vezes que saiu cara. Calcule 
pˆ = proporção de lançamentos que saiu cara, depois construa e interprete um intervalo de 95% de 
confiança para o valor de p = proporção de sair cara ao lançar a moeda. Você acredita que a sua 
moeda seja “viciada”, ou seja, você acredita que p ≠ 50%%? 
 
15) Uma pesquisa encomendada pela Confederação Nacional do Transporte tratou (em Agosto/2001) da 
posição dos presidenciáveis na corrida de 2002. O instituto responsável pela pesquisa foi a KYZ que 
pesquisou 2000 eleitores com uma margem de erro igual a 3 pontos percentuais para mais ou para 
menos (com 95% de confiança). Os resultados estão mostrados no gráfico abaixo. Com os resultados 
desta pesquisa, um repórter da revista OLHO informou a seguinte classificação: 
 
Ranking Presidenciáveis 
1º Lula 
2º Itamar 
3º Garotinho 
4º Ciro Gomes 
5º José Serra 
 
a) Para cada candidato, construa o IC de 95% para a “verdadeira” porcentagem de eleitores a seu favor. 
b) Desenhe estes intervalos no gráfico acima (semelhante ao exercício seguinte). 
c) Qual é o erro grosseiro na classificação informada por alguns repórteres. 
d) Se necessário, refaça a classificação dos presidenciáveis.16) Supõe que o médico do exercício 11, após algumas medidas visando melhorar ainda mais o nível de 
atendimento, desejasse repetir a pesquisa novamente. Quantos pacientes ele deveria amostrar para 
estimar a proporção p de clientes satisfeitos com o atendimento com um erro máximo de estimação 
igual a 6% e 95% de confiança nos resultados. Você irá precisar de uma estimativa da proporção p para 
calcular o tamanho da amostra, nesse caso use a proporção amostral pˆ obtida na pesquisa que esse 
médico fez no exercício 11. 
Resp: n = 171 pacientes 
 
17) Suponha que as companhias de seguro desejam realizar uma pesquisa com os motoristas com a 
intenção de estimar o valor de p = “porcentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estão 
dirigindo” com uma margem de erro de 3%. Suponha que o desejo é ter um nível de confiança de 95% 
nos resultados, qual o tamanho da amostra necessário nas duas situações abaixo: 
a) Suponha que, de pesquisas anteriores, podemos estimar p em 18%. 
b) Suponha que não temos nenhuma informação a respeito de p. 
Resp: a) 631 motoristas b) 1068 motoristas 
7.1%
11.8%
13.4%
13.8%
34.2%
0.0%
4.0%
8.0%
12.0%
16.0%
20.0%
24.0%
28.0%
32.0%
36.0%
40.0%
José Serra Ciro Gomes Garotinho Itamar Lula
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 31 − 
 
18) Um Instituto de pesquisa de mercado realiza levantamentos telefônicos e deseja estimar a p = “taxa de 
respostas, ou seja, o percentual de pessoas que aceitam participar da pesquisa por telefone”. Quantas 
pessoas o Instituto deveria amostrar para estimar p com uma margem de erro de 5% e uma confiança 
de 95% nos resultados. (assuma que você não nenhuma informação a respeito de p). 
Resp: n = 385 
 
19) LEIA a seguinte notícia: 
Pesquisa Ibope confirma Serra em 2º lugar 
"A pesquisa Ibope divulgada hoje mostrou que ... O pré-candidato do PT, Luiz Inácio Lula da Silva, 
continua na liderança com 35%, seguido por José Serra (PSDB-SP) com 18%, Anthony Garotinho 
(PSB) que tem 16% da preferência do eleitorado e Ciro Gomes (PPS), com 11%. ... O instituto ouviu 2 
mil pessoas. A margem de erro é de 2.2 pontos percentuais para mais ou para menos." 
 
OBS: EMPATE TÉCNICO ocorre quando a diferença as porcentagens é menor que duas vezes 
a margem de erro ( E.2 ) do levantamento 
 
Onde está o erro nesta notícia? Houve algum empate técnico? 
 
 
[Estimação da média populacional µ com σ conhecido] 
 
 
20) Considere: 
a) µ = Consumo médio de água em residências de certo bairro. Suponha que σ = 2,2 m3 
 De uma amostra de n = 60 residências, temos que a média de consumo foi x = 15,5 m3 
 
b) µ = Salário médio (em salários-mínimos) dos empregados de uma empresa N = 200 funcionários. 
Suponha que σ = 1,2 SM. De uma amostra de 200 funcionários, temos uma média amostral dos 
salários foi 6,7 SM 
 
Para cada uma das questões acima, responda: 
• Qual a estimativa pontual da média populacional (µ)? 
• Qual é a margem de erro (erro máximo de estimação) com 95% de confiança? 
• Calcule e interprete o intervalo de 95% de confiança para a média populacional (µ)? 
Resp: a) µ ≈ 15,5 E = 0,5567 14,943 ≤ µ ≤ 16.057 b) µ = 6.7 SM E = 0 
 
21) A empresa GOL, um dos fabricantes de bolas, selecionou uma amostra de 70 bolas e pesou cada uma 
delas obtendo um peso médio amostral de 449 gramas. De informações passadas, sabe-se que o 
desvio-padrão dos pesos das bolas é aproximadamente σ = 5 gramas. Construa e interprete um 
intervalo de 95% de confiança para o “verdadeiro” peso médio das bolas fabricadas pela GOL. Você 
acredita que a empresa esteja fabricando bolas com peso médio de 450 gramas? 
Resp: 447,83 ≤ µ ≤ 450,17 gramas 
 
22) Se Li e Ls são, respectivamente, os limites inferior e superior do Intervalo de Confiança (IC). Mostre 
que: 
a) 
 x
2
Ls Li
=
+ (média amostral) e erro) de (margem E
2
Li Ls
=
−
 
 ][);( ExE; xNCIC +−=µ -- IC para média populacional (µ) 
 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 32 − 
23) Um médico coletou uma amostra de 50 pacientes e anotou o tempo em minutos que gastou para 
atender cada um deles, obtendo a média amostral x . Com essa média amostral e assumindo que o 
desvio-padrão do tempo de atendimento dos clientes seja σ, o médico construiu um intervalo de 
confiança de 95% para o “verdadeiro” tempo médio de atendimento µ. Responda as questões abaixo. 
Intervalo construído → 27,0 ≤ µ ≤ 32,0 minutos. 
a) Interprete o intervalo de confiança construído. 
b) Calcule média do tempo de atendimento da amostra coletada ( x ) (Dica: use o ponto médio do IC) 
c) Calcule o erro máximo de estimação associado ao intervalo.. 
d) Calcule o valor do σ = desvio-padrão do tempo de atendimento. 
Resp: d) σ = 9,02 min) 
 
24) Uma amostra de 100 baterias de certa marca foi testada quanto à sua vida útil. O teste simula a 
utilização da bateria, acelerando seu desgaste de modo a criar uma réplica da situação real. Os 
resultados da durabilidade (em meses) são apresentados a seguir: 
Durabilidade 
(em meses) 
Quantidade 
de baterias 
(fi) 
 0 |-- 3 2 
 3 |-- 6 5 
 6 |-- 9 15 
 9 |-- 12 25 
12 |-- 15 30 
15 |-- 18 23 
Total 100 
 
 
 
 
 
25) Durante algum tempo, foram anotados os tempos de espera para ser atendido em um conhecido 
restaurante fast food. É razoável assumir que o desvio-padrão do tempo de atendimento é σ = 50 
segundos. Abaixo está um histograma mostrando a distribuição desses tempos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule a média e o desvio-padrão da durabilidade das 
baterias amostradas. 
b) Considerando que µ é a “verdadeira” durabilidade média das 
baterias, qual a estimativa pontual para µ e qual a margem de 
erro nessa estimativa com 96% de confiança? 
c) Construa e interprete um intervalo de 96% de confiança para 
a “verdadeira” durabilidade média (µ) das baterias. 
d) Como o desvio-padrão σσσσ não era conhecido, você teve que 
utilizar em ‘b’ a distribuição t-Student. Um outro aluno usou a 
distribuição normal para resolver a letra ‘b’, ele estaria errado 
ou não? Justifique sua resposta. 
Resp: média = 11,85 meses s = 3,75 meses 
a) Podemos assumir que os tempos de espera têm uma 
distribuição aproximadamente normal? 
b) Em um dia típico, 90 clientes foram escolhidos 
aleatoriamente e registrado o tempos de espera para ser 
atendido. O tempo médio dessa amostra foi de x = 
65 segundos. Construa um intervalo de 99% de confiança 
para o “verdadeiro” tempo médio µ de espera. 
c) Com o que você aprendeu até o momento, construa um 
intervalo de 99% de confiança para µ = “verdadeiro” tempo 
médio de espera, se os tempos foram registrados para uma 
amostra de apenas 10 clientes. O tempo médio dessa 
amostra também foi de x = 65 segundos. 
Resp: 51,43 ≤ µ ≤ 78,56 seg b) Não há como, pois ... 
Tempo de espera (x) 240180120600
Histograma dos 
tempos 
Pe
rc
en
tu
al
 
(%
) 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 33 − 
26) Um economista deseja estimar a média do primeiro salário dos recém formados de uma faculdade (µ). 
Quantos ex-alunos recém ingressados no mercado de trabalho deveriam ser amostrados para que 
tenhamos um erro máximo de estimação de R$50,00 com 95% de confiança nos resultados. Para o 
cálculo do tamanho da amostra, necessitamos de um valor aproximado do desvio-padrão σ, suponha 
que de um estudo anterior sabemos que σ = R$150,00. 
Resp: n = 35 recém-formados 
 
27) A Nielsen Media Research deseja estimar o tempo médio (em horas) que os estudantesuniversitários 
de tempo integral passam vendo televisão em cada dia da semana. Determine o tamanho da amostra 
necessário para estimar essa média com uma margem de erro de 0,25h. Suponha também que se exija 
um grau de 90% de confiança. Um estudo piloto indicou que o desvio-padrão pode ser estimado em σ = 
112 minutos. 
Resp: n = 151 estudantes universitários 
 
28) Deseja-se estimar o preço médio de venda de um livro-texto para uma faculdade. Quantos exemplares 
devem ser selecionados de forma que o erro máximo de estimação seja R$5,00 com um certeza de 
95% nos resultados. Suponha que saibamos que os preços dos livros variam de R$25,00 a R$225,00. 
Obs: Tendo apenas o valor máximo e mínimo, podemos obter uma estimativa de σ é usando o desvio-
padrão amostral dado por: 
4
mínimomáximo
s
−
≈ 
Resp: n = 385 livros 
 
 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 34 − 
[Estimação da média populacional µµµµ com σσσσ desconhecido] 
 
29) A empresa GOL, um dos fabricantes de bolas, selecionou uma amostra de 9 bolas e pesou cada uma 
delas obtendo os pesos (em gramas) abaixo: 
450; 456; 444; 445; 454; 453; 455; 458; 454 
Sabendo que os pesos seguem uma distribuição normal, construa e interprete um intervalo de 
95% de confiança para µµµµ = “verdadeiro” peso médio das bolas fabricadas pela GOL, nas duas 
situações abaixo: 
 
a) Assuma que a empresa sabe que os pesos têm um desvio-padrão σσσσ = 5 gramas (valor obtido de 
experiências passadas). 
 
b) Assuma que a empresa não tem nenhuma informação a respeito de σ. Neste caso, vocês terão que 
usar o desvio-padrão s da amostra. 
Resp: 448,84 ≤ µ ≤ 455,38 gramas (usando zα/2 = 1,96) b) 448,40 ≤ µ ≤ 455,82 gramas (usando tα/2 = 2,306) 
 
30) O histograma abaixo mostra a distribuição do tempo semanal que os alunos de uma faculdade utilizam 
o laboratório de computação. Foram coletados os tempos de uso para uma amostra de 15 alunos 
obtendo um tempo médio amostral de 5,5 horas e um desvio-padrão amostral de 60 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Um pesquisador deseja estimar µ = tempo médio de permanência dos engenheiros recém-formados no 
primeiro emprego. Para uma amostra de 15 engenheiros, o tempo médio amostral foi x = 2,7 anos e o 
desvio-padrão amostral foi s = 1,4 ano. Construa e interprete o intervalo de 99% de confiança para a 
média µ. Com o intervalo de confiança construído, podemos acreditar que o tempo médio seja µ = 2 
anos? 
 
32) O funcionário José da empresa FOX selecionou uma amostra de 51 encomendas e anotou o tempo (em 
minutos) que foi gasto para embalar cada uma delas e despachá-la. Os dados estão na tabela abaixo. 
Tempo de preparo de encomendas 
Tempo de 
preparo 
 
Quantidade 
de 
encomendas 
 (fi) 
 5 |-- 10 14 
10 |-- 15 20 
15 |-- 20 12 
20 |-- 25 5 
Total n = 51 
 
Pe
rc
en
tu
al
 
de
 
al
u
n
o
s 
 
(%
) 
Tempo de uso do laboratório 98765432
a) Podemos assumir que os tempos de uso do 
laboratório têm uma distribuição aproximadamente 
normal? 
b) Construa e interprete um intervalo de 90% de 
confiança para µµµµ = “verdadeiro” tempo médio de 
uso dos alunos da faculdade. 
 
 Resp: 5,05 ≤ µ ≤ 5,95 horas (usando tα/2 = 1,761) 
 
a) Calcule a média e o desvio-padrão do tempo de preparo 
das encomendas amostradas. 
b) Considerando que µµµµ é o “verdadeiro” tempo médio de 
preparo das encomendas, qual a estimativa pontual para µµµµ 
e qual a margem de erro nessa estimativa com 95% de 
confiança? 
c) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança 
para µµµµ. 
 
Resp: 
a) média = 13,28 min e s = 4,73 min 
c) 11,95 ≤ µ ≤ 14,61 minutos tα/2 = 2,009 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 35 − 
33) Se IC(µ, 95%) = (430 ; 470) minutos é um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio de vidas 
das pilhas Kodak AA. Suponha que este resultado se baseie em uma amostra de tamanho 101 pilhas 
Kodak AA. 
a) Qual é o valor da média e o desvio-padrão do tempo de vida da amostra de pilhas? 
b) Construa um novo intervalo, só que agora com 99% de confiança. 
Resp: 423,53 ≤ µ ≤ 476,47 min 
 
34) (Triola, 9a edição pag 266) Abaixo temos a largura máxima de amostras de crânios de homens egípcios 
de 4000 a.C e 150 d.C (com base em dados de Ancient Races of the Thebaid de Thomson e Randall-
Maciver). 
 
4000 a.C 131 119 138 125 129 126 131 132 126 128 128 131 1n = 1x = 1s = 
150 a.C 136 130 126 126 139 141 137 138 133 131 134 129 2n = 2x = 2s = 
 
a) Mudanças nos tamanhos das cabeças ao longo do tempo sugerem o cruzamento com pessoas de 
outras regiões. Construa um intervalos de confiança para a largura média dos crânios dos homens 
egípcios de 4000 a.C e um outro intervalo para largura média dos crânios dos homens egípcios de 
150 d.C. Use esses intervalos para avaliar a princípio se houve mudanças nos tamanhos das 
cabeças de 4000 a.C para 150 a.C. 
 
b) Para uma conclusão mais definitiva, devemos nos basear em intervalos de confiança para duas 
populações. Analise os gráficos Boxplot abaixo e use a fórmula a seguir para construir um intervalo 
de confiança para a diferença entre as médias µ1 - µ2. 
Onde µµµµ1 = “largura média homens egípcios de 4000 a.C” 
 µµµµ2 = “largura média homens egípcios de 150 a.C” 
 
Regra: Caso o valor 0 (zero) esteja contido no intervalo construído, então é razoável admitir que 
NÃO há diferenças significativas entre as médias µ1 e µ2 (ou seja, podemos assumir que µ1 
= µ2). Caso contrário podemos assumir que µ1 ≠ µ2. 
 
Com base no intervalo que você construiu, houve mudanças nos tamanhos das cabeças dos 
homens egípcios de 4000 a.C e 150 d.c? 
 
ExxExx +−≤−≤−− )()( 212121 µµ onde 
2
2
2
1
2
1
2
n
s
n
s
tE += α 
 
 
L
a
rg
u
ra
 d
o
s
 c
râ
n
io
s
150 a.C4000 a.C
140
135
130
125
120
Boxplot da largura dos crânios
homens egípicios de 4000 a.C e 150 a.C
 
Graus de liberdade (g.l.) da 
t-Student: g.l = mínimo(n1-1; n2-1) 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 36 − 
35) Em cada situação abaixo, calcule os intervalos de confiança e os desenhe na figura conforme os 
exemplos. Descreva quais os efeitos causados pela variação do NC, n, s e N em cada situação 
 
Situação 1 
Efeito do Nível de 
confiança (NC) 
Situação 2 
Efeito do tamanho 
da amostra (n) 
Situação 3 
Efeito do desvio-
padrão (s) 
Situação 4 
Efeito do tamanho da 
população (N) 
N = 3000 faturas 
n = 65 faturas 
s = 3,8 dias 
média = 17.8 dias 
N = 3000 faturas 
NC = 95% 
s = 3,8 dias 
média = 17.8 dias 
N = 3000 faturas 
n = 65 faturas 
NC = 95% 
média = 17.8 dias 
NC = 95% 
n = 65 faturas 
s = 3,8 dias 
média = 17.8 dias 
NC Intervalo 
de confiança 
n Intervalo 
de confiança 
s Intervalo 
de confiança 
N Intervalo 
de confiança 
68% (17,3; 18,3) 30 (16,4; 19,2) 2,0 (17,3; 18,3) 500 (16,9; 18,7) 
90% 60 4,0 2000 
95% 90 6,0 8000 
99% 120 8,0 15000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
In
te
rv
a
lo
 
de
 
Co
n
fia
n
ça
21.0
20.5
20.0
19.5
19.0
18.5
18.0
17.5
17.0
16.5
16.0
15.5
15.0
 situação 1 situação 2 situação 3 situação 4 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 37 − 
36) O Sr. João é dono de uma loja de artigos para animais e gostaria de estudaras características dos 
clientes de sua loja. Em particular, ele decidiu coletar algumas informações de uma amostra de 36 
clientes que entraram em sua loja durante uma semana. As informações coletadas foram: 
 
1. Sexo: ___Masculino ___Feminino 
2. Quantia gasta com artigos para o animal? _______ dólares 
3. Animais ? Na família tem: 1. Somente um cachorro 2. Somente um gato 
 3. Mais de um cachorro e/ou gato 4. Não quis responder 
 
 
Os dados obtidos estão logo abaixo. O Sr. João é seu grande amigo e, quando soube que você havia feito a 
disciplina de Estatística e tinha sido aprovado(a) com louvor, pediu a sua ajuda para resolver alguns 
“problemas” estatísticos. (OBS: Sugiro vocês digitarem os dados abaixo no Minitab e usá-lo para 
responder as questões a seguir) 
 
FONTE: Dados hipotéticos 
 
a) Calcule para o Sr. João a média ( x ) e o desvio-padrão (s) dos 
gastos com artigos para animais. 
 
b) Construa para o Sr. João a tabela de frequência para a variável 
“Animais”. 
 
Tabela – Na família tem: 
Animais Quantidade de clientes % 
Somente um cachorro 
Somente um gato 
Mais de um cachorro e/ou 
gato 
 
Não quis responder 
 
c) O Sr. João deseja estimar o gasto médio de seus clientes com 
artigos para animais. Construa e interprete um intervalo de 95% 
de confiança para µµµµ = gasto médio dos clientes da loja com 
artigos para animais. Na construção do intervalo, houve 
necessidades de assumir a distribuição normal para os gastos? 
Justifique sua resposta. 
 
d) O Sr. João deseja estimar a proporção de clientes que tem 
somente um cachorro. Construa e interprete um intervalo de 
95% de confiança para p = proporção de clientes com somente 
um cachorro em casa. 
OBS: Não se esqueça de verificar se as condições são satisfeitas, antes de sair 
construindo o intervalo de confiança. 
 
e) O Sr. João deseja refazer novamente a pesquisa e ele precisa 
saber qual o tamanho da amostra necessário para estimar a 
média µµµµ com uma margem de erro de E = US$ 2,00. Determine 
o tamanho da amostra para o Sr. João. OB 
OBS: Assuma que o desvio-padrão seja o mesmo que você achou na letra ‘a’. 
 
f) O Sr. João deseja refazer novamente a pesquisa e ele precisa 
saber qual o tamanho da amostra necessário para estimar a 
proporção p com uma margem de erro de E = 8%. Determine o 
tamanho da amostra para o Sr. João. 
OBS: Use a tabela que você construiu em ‘b’ para obter uma estimativa da proporção p. 
 
g) Com base em suas respostas em ‘e’ e ‘f’, que tamanho da 
amostra deveria ser adotado? 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 38 − 
Distribuição tt ddee SSttuuddeenntt 
 
 
 
 
 
Grau de 
liberdade Área á direita do valor crítico tc 
n - 1 0,250 0,100 0,050 0,030 0,025 0,020 0,010 0,005 0,003 0,001 
1 1,000 3,078 6,314 10,579 12,706 15,895 31,821 63,657 127,321 636,619 
2 0,816 1,886 2,920 3,896 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 31,599 
3 0,765 1,638 2,353 2,951 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 12,924 
4 0,741 1,533 2,132 2,601 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 8,610 
5 0,727 1,476 2,015 2,422 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 6,869 
6 0,718 1,440 1,943 2,313 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 5,959 
7 0,711 1,415 1,895 2,241 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 5,408 
8 0,706 1,397 1,860 2,189 2,306 2,449 2,896 3,355 3,833 5,041 
9 0,703 1,383 1,833 2,150 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 4,781 
10 0,700 1,372 1,812 2,120 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 4,587 
11 0,697 1,363 1,796 2,096 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 4,437 
12 0,695 1,356 1,782 2,076 2,179 2,303 2,681 3,055 3,428 4,318 
13 0,694 1,350 1,771 2,060 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 4,221 
14 0,692 1,345 1,761 2,046 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 4,140 
15 0,691 1,341 1,753 2,034 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 4,073 
16 0,690 1,337 1,746 2,024 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 4,015 
17 0,689 1,333 1,740 2,015 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3,965 
18 0,688 1,330 1,734 2,007 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3,922 
19 0,688 1,328 1,729 2,000 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3,883 
20 0,687 1,325 1,725 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3,850 
21 0,686 1,323 1,721 1,988 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3,819 
22 0,686 1,321 1,717 1,983 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3,792 
23 0,685 1,319 1,714 1,978 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3,768 
24 0,685 1,318 1,711 1,974 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3,745 
25 0,684 1,316 1,708 1,970 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3,725 
26 0,684 1,315 1,706 1,967 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3,707 
27 0,684 1,314 1,703 1,963 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3,690 
28 0,683 1,313 1,701 1,960 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 3,674 
29 0,683 1,311 1,699 1,957 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 3,659 
30 0,683 1,310 1,697 1,955 2,042 2,147 2,457 2,750 3,030 3,646 
31 0,682 1,309 1,696 1,952 2,040 2,144 2,453 2,744 3,022 3,633 
32 0,682 1,309 1,694 1,950 2,037 2,141 2,449 2,738 3,015 3,622 
33 0,682 1,308 1,692 1,948 2,035 2,138 2,445 2,733 3,008 3,611 
34 0,682 1,307 1,691 1,946 2,032 2,136 2,441 2,728 3,002 3,601 
35 0,682 1,306 1,690 1,944 2,030 2,133 2,438 2,724 2,996 3,591 
36 0,681 1,306 1,688 1,942 2,028 2,131 2,434 2,719 2,990 3,582 
37 0,681 1,305 1,687 1,940 2,026 2,129 2,431 2,715 2,985 3,574 
38 0,681 1,304 1,686 1,939 2,024 2,127 2,429 2,712 2,980 3,566 
39 0,681 1,304 1,685 1,937 2,023 2,125 2,426 2,708 2,976 3,558 
40 0,681 1,303 1,684 1,936 2,021 2,123 2,423 2,704 2,971 3,551 
50 0,679 1,299 1,676 1,924 2,009 2,109 2,403 2,678 2,937 3,496 
100 0,677 1,290 1,660 1,902 1,984 2,081 2,364 2,626 2,871 3,390 
500 0,675 1,283 1,648 1,885 1,965 2,059 2,334 2,586 2,820 3,310 
> 500 0,675 1,282 1,645 1,881 1,960 2,054 2,327 2,576 2,807 3,291 
 
 
 
g.l 0,025 
10 2,228 
 
Exemplo: Se n = 11 (g.l. = 10) e tc = 2,228 então P(T ≥ 2,228) = 0,025 
 0 tc 
P(T ≥≥≥≥ tc) 
Aula 3 – Estimação de Parâmetros 
 
PUC Minas prof. José Aguinaldo − 39 − 
Distribuição QQuuii--qquuaaddrraaddoo 
 
 
 
 
 
 
 
Graus de 
liberdade Área à direita do valor crítico χχχχc 
n-1 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,500 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 
1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,455 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 
2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 1,386 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 2,366 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 
4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 3,357 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 
5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 4,351 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 
6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 5,348 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 
7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 6,346 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 
8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 7,344 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 
9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 8,343 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 9,342 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 
11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 10,341 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 11,340 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 12,340 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 13,339 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 14,339 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 15,338 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 16,338 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 
18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 17,338 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 18,338 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 19,337 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 20,337 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 
22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 21,337 30,813 33,924 36,781

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