Introdução Funções de Várias Variáveis - CFVV UNIP - ENGENHARIA

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Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de
números Reais 𝑥, 𝑦 , pertencente a um Domínio D  ℝ2 , um único número Real
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Denomina-se Imagem da função 𝑓 o conjunto dos valores possíveis da
função, ou seja, 𝐼𝑓 = {𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷} .
𝑥
𝑦
D
•(𝑥, 𝑦)
ℝ
ℝ2
𝑰𝒇
(
(
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦)
Se a função é dada por uma fórmula, seu Domínio é o conjunto de todos os pares
ordenados (𝑥, 𝑦), para os quais o valor de 𝑓(𝑥, 𝑦) fica bem definido.
Exemplo: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥+𝑦−1
𝑥−1
A função estará bem definida, quando 
o denominador for diferente de zero e 
o argumento da raiz no numerador for 
não negativo.
𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑥 ≠ 1; 𝑥 + 𝑦 + 1 ≥ 0}
𝑥 = 1
𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
𝑥
𝑦
-1
-1
Exemplo : g 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2
A função estará bem definida, quando
o argumento do radical for não
negativo.
𝐷 = 𝑥, 𝑦 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0}
Mas 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 ou
𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3}
Que equivale ao conjunto dos pontos cuja
distância a origem é menor ou igual a três,
como mostrado na figura ao lado.
𝑥
𝑦
3
3
-3
-3
𝑥2 + 𝑦2 = 9
Exemplo : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑦2 − 𝑥)
A função estará bem definida, quando 
o argumento da função logaritmo for 
positivo.
𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑦2 > 𝑥}
𝑥 = 𝑦2
𝑥
𝑦
Estes são os pontos á esquerda da parábola
𝑥 = 𝑦2
Como mostrado na figura a lado.
Definição : Se 𝑓 é uma função de duas
variáveis com domínio D, então o
Gráfico da 𝑓 é o conjunto S  ℝ3 dos
pontos (𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) onde (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.
É interessante notar que, assim como o
gráfico de uma função de uma variável é
uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), no caso de funções
de duas variáveis o gráfico é uma
superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Notemos também que o gráfico S da
𝑓(𝑥, 𝑦) está diretamente acima (ou
abaixo) do seu domínio D .
𝑥
𝑦
𝑧
D
•
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦))
(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))
•
(𝑥, 𝑦, 0)
𝑺 ∶ 𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒇(𝒙, 𝒚)
Exemplo : 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚
Fazendo 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 , vemos que o
conjunto dos pontos que satisfazem à
equação é um plano. Logo, o gráfico da
função é um plano.
Para esboçar este plano graficamente,
vamos primeiramente traçar suas
interseções com os três planos cartesianos
principais.
• Fazendo 𝑧 = 0, temos a interseção com
o plano x-y, que é a reta : 2𝑦 = −3𝑥 + 6
• Fazendo y = 0, temos a interseção com
o plano x-z, que é a reta : z = −3𝑥 + 6
• Fazendo 𝑥 = 0, temos a interseção com
o plano y-z, que é a reta : 𝑧 = −2𝑦 + 6
𝑥
𝑧
𝑦
(0,3,0)
(0,0,6)
(2,0,0)
•
•
•
Antes de tudo, devemos notar que o
domínio é todo o ℝ2, já que não há
restrições para os valores de 𝑥 e 𝑦 .
Exemplo : g(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥2 − 𝑦2
𝑧
𝑦
𝑥
(0,3,0)
(0,0,3)
(3,0,0)
Fazendo 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 , se
elevarmos ao quadrado ambos os lados
da igualdade, teremos :
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 9
O conjunto dos pontos que satisfazem
essa equação é a semiesfera de raio 3 e
centro na origem.
Convém notar que implicitamente foi
imposta a restrição 𝑧 > 0 , para que o valor
da função fique bem definido.
Definição : Uma curva de nível k de uma função de duas variáveis, é, como o nome o
diz, um curva contida no domínio da função, formada pelos pontos (𝑥, 𝑦), que
satisfazem a equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘. Em outras palavras, a curva de nível k contém
todos os pontos do domínio, para os quais o valor da função é 𝑘 .
𝑦
𝑥
𝑧
𝑘 = 10
𝑘 = 20
𝑘 = 30
𝑘 = 40
Convém notar que cada
curva de nível k é a
projeção no plano x-y, da
interseção entre a
superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e o
plano horizontal 𝑧 = 𝑘 .
Exemplo : Esboce as curvas de nível da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 para os valores
k = -6, 0, 6 e 12
Neste caso as curvas de nível serão retas no plano x-y . Vejamos:
6 − 3𝑥 − 2𝑦 = 𝑘 ⇒ 2𝑦 = −3𝑥 + (6 − 𝑘)
𝑦 = −
3
2
𝑥 + 3 −
𝑘
2
𝑥
𝑦
Exemplo : Esboce as curvas de nível da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 para os valores
k = 0, 1, 2, 3
𝑘 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ⇒
𝑘2 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ⇒
𝑥2 + 𝑦2 = 9 − 𝑘2
Equação de um círculo de centro na 
origem e raio 9 − 𝑘2 .
𝑘 = 0 ⇒ 𝑅 = 3
𝑘 = 1 ⇒ 𝑅 = 8 = 2,82
𝑘 = 2 ⇒ 𝑅 = 5 = 2,24
𝑘 = 3 ⇒ 𝑅 = 0
•
𝑘 = 0
𝑘 = 1
𝑘 = 2
𝑘 = 3
𝑥
𝑦
Exemplo : Esboce as curvas de nível da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 + 𝑦2 para k=0, 4, 9 e 16 e, 
com ajuda das curvas de nível, esboce o gráfico da função.
Expressões do tipo 4𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘 representam elipses, cujas interseções com os eixos
𝑥 e 𝑦 podem ser determinadas facilmente como segue:
Fazendo-se 𝑥 = 0 na expressão acima teremos 𝑦2 = 𝑘. Logo, a interseção com o eixo
𝑦 está em 𝑦 = ± 𝑘 ;
Fazendo-se y = 0 na expressão acima teremos 4𝑥2 = 𝑘. Logo, a interseção com o eixo
𝑥 está em 𝑥 = ±
𝑘
2
.
•
𝑥
𝑦
𝑘 = 9
𝑘 = 0
𝑘 = 4
𝑘 = 16
𝑥
𝑦
𝑧
Uma função de três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada de
números Reais 𝑥, 𝑦, 𝑧 , pertencente a um Domínio D  ℝ3 , um único número Real,
denotado por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Denomina-se Imagem da função 𝑓 o conjunto dos valores
possíveis da função, ou seja, 𝐼𝑓 = {𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)|(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷} .
Exemplos:
a. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑧 − 𝑦) + 𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑧 com 𝐷 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∊ ℝ3 𝑧 > 𝑦}
b. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2 + 𝑧2 com 𝐷 = ℝ3
Generalizando, podemos definir uma função de n variáveis como uma regra que
associa a cada n-upla ordenada de números Reais 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 , pertencente a um
Domínio D  ℝn , um único número Real 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 . Denomina-se Imagem da
função 𝑓 o conjunto dos valores possíveis da função, ou seja,
𝐼𝑓 = {𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 | 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 ∈ 𝐷} .
A dificuldade com relação as funções de mais de duas variáveis está na visualização do
seu gráfico, que é impossível, pois exigiria mais de 3 dimensões. Porém todos os
conceitos que vamos estudar para funções de duas variáveis são válidos para n
variáveis.