Prova 1 Econometria I 2013.01

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Prova 1 de Econometria I 
IE-UFRJ 2013.01 
 
NOME: _________________________________________________________________________ 
 
 
Questão 1 – Suponha que as variáveis Y e X estão relacionadas em uma determinada população de acordo 
com a relação linear 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝑢, onde u é um termo de erro estocástico com 𝐸[𝑢/𝑋] = 0 e 𝐸[𝑢] = 0. 
Para uma dada amostra aleatória ({Yi, Xi}, i=1, 2, ..., n), um pesquisador estima esse modelo por MQO e 
obtém �̂� e �̂�. Responda verdadeiro ou falso para cada item abaixo, e justifique a sua resposta. Respostas sem 
justificativa não serão consideradas. (3 pontos) 
 
a) Como são válidas as condições 𝐸[𝑢/𝑋] = 0 e 𝐸[𝑢] = 0, é possível afirmar que o estimador de MQO 
�̂� não apenas é não-viesado, como também é o mais eficiente dentre os estimadores lineares. 
b) Suponha que é válida a hipótese de que os erros são independente e identicamente distribuídos, com 
𝑢~𝑁(0, 𝜎2), onde 𝜎2 é um parâmetro populacional desconhecido. Nesse caso, podemos construir 
intervalos de confiança para �̂� com base na distribuição normal padrão para a variável aleatória (�̂� −
𝛽)/𝑒𝑝(�̂�). 
 
Questão 2 – Seja uma amostra aleatória ({Yi, Xi}, i=1, 2, ..., n). Mostre algebricamente que, no modelo 𝑌𝑖 =
𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , onde os erros são independente e identicamente distribuídos, com 𝑢~𝑁(0, 𝜎
2), os 
estimadores de MQO e de Máxima Verossimilhança para 𝛽 são idênticos. (2 pontos) 
Lembre-se que se 𝑢~𝑁(0, 𝜎2), então 𝑓(𝑌; 𝛼 + 𝛽𝑋, 𝜎2 ) =
1
𝜎(√2𝜋)
exp {−
1
2
(𝑌−𝛼−𝛽𝑋)2
𝜎2
} 
 
Questão 3 – A Tabela 1 abaixo apresenta o resultado de 6 modelos de regressão distintos, cada qual 
reportado separadamente em uma coluna. Em todos os modelos, utilizou-se uma amostra do Censo de 2000 
de mulheres entre 12-50 anos de idade, residentes no município do Rio de Janeiro. A variável dependente em 
cada modelo é o número de filhos da mulher, enquanto que os coeficientes estimados são apresentados ao 
longo de cada coluna, com seus respectivos erros-padrão entre colchetes. As colunas 1-5 reportam resultados 
de modelos estimados por MQO simples (onde Y = número de filhos, e X1 = anos de escolaridade da 
mulher). Na coluna 1 estimamos o modelo para todas as mulheres da amostra; nas colunas seguintes 
restringimos a amostra por idade: por exemplo, na coluna 2, rodamos o modelo apenas para mulheres com 12 
anos de idade. Na última coluna rodamos um MQO múltiplo, para toda a amostra, onde incluímos também 
no modelo X2 = idade da mulher. Responda as questões abaixo. 
 
a) Identifique, em cada uma das colunas de 1 a 5, se o coeficiente estimado para X1 é estatisticamente 
diferente de zero. Faça as suas contas usando um nível de confiança de 95% (pode usar a regras de 
bolso para o valor crítico do seu teste). (3 pontos) 
b) Compare os coeficientes de X1 reportados nas colunas 1 e 6. Dado que o número de filhos tende a 
aumentar com a idade da mulher, responda porque encontramos um coeficiente maior (em módulo) 
na coluna 6, quando este é estimado condicionalmente à inclusão da variável X2 = idade da mulher no 
modelo. (2 pontos) 
 
 
Tabela 1 – Modelos Estimados por MQO com Base nos Microdados do Censo 2000 
 
 
 
 
 
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(1) (2) (3) (4) (5) (6)
X1 = Anos de Escolaridade -0.0012 -0.0003 -0.0242 -0.0472 -0.1140 -0.0488
[0.001] [0.001] [0.004] [0.004] [0.010] [0.001]
X2 = Idade 0.0398
[0.001]
Coeficiente de Intercepto 0.2959 0.0107 0.2351 0.5489 18.863 -0.1714
[0.007] [0.008] [0.031] [0.039] [0.127] [0.006]
Amostra de Mulheres Todas Idade=12 Idade=14 Idade=18 Idade=30 Todas
Tamanho da Amostra 73.076 3.930 3.846 4.053 1.073 73.076
R2 0.000 0.000 0.037 0.076 0.173 0.218
Cada Coluna Apresenta o Resultado de uma Regressão por MQO. 
Em todas, a variável dependente é Y = número de filhos da mulher
Nota: O erro padrão de cada coeficiente está apresentado entre colchetes, logo abaixo do coeficiente 
estimado.
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