Lista 1 Limites e continuidade

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ESCOLA DE ADMINISTRAC¸A˜O DE EMPRESA DE SA˜O PAULO
DEPT. INFORMA´TICA E ME´TODOS QUANTITATIVOS
MATEMA´TICA 1
LISTA 1 - Limites e Continuidade
A. Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→0
tanx
x
17) lim
x→0
x
sinx
2) lim
x→0
sin ax
sin bx
, b 6= 0 18) lim
x→0
tan ax
x
3) lim
x→−1
tan3
(
x+1
4
)
(x+ 1)3
19) lim
x→0
1− 2 cosx+ cos 2x
x2
4) lim
x→3+
( 1
x− 3 −
2x2 − 9
x2 − 9
)
20) lim
x→0−
−x− 1
1−√x2 − x+ 1
5) lim
x→−∞
2x3 − 2x+ 8
4x2 + 1
21) lim
x→−∞
√
x2 + 2− x
6) lim
x→−∞(
3
√
x3 + x− 3
√
x3 + 2) 22) lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 2
7) lim
x→0
sin 5x
sin 7x
23) lim
x→0
1− cosx
x
8) lim
x→0
sin2 x
1− cosx 24) limx→0
sin2 4x
cos(3x)− 1
9) lim
x→0
csc 3x
cot 2x
25) lim
x→0
cos 2x− cos 3x
x2
10) lim
x→0
sec(x)− 1
x cscx
26) lim
x→0
1− 2 cosx
pi − 3x
11) lim
x→0
1− sin3 x
cos2 x
27) lim
x→−∞
( x
1 + x
)x
12) lim
x→−∞
(2x− 1
1 + 2x
)3x
28) lim
x→0+
ln(1 + 5x)
2x
13) lim
x→0+
32x − 1
x
29) lim
x→0
6x− sin(2x)
2x+ 3 sin(4x)
14) lim
n→+∞
(2n+ 3
2n+ 1
)n+1
30) lim
x→pi
2
(
1 +
1
tanx
)tanx
15) lim
x→ 3pi
2
(1 + cosx)
1
cos x 31) lim
x→2
5x − 25
x− 2
16) lim
x→1
3
x−1
4 − 1
sin[5(x− 1)] 32) limx→−3
4
x+3
5 − 1
x+ 3
1
B. Seja f : R→ R e p, L ∈ R. Suponha que lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p = L. Calcule:
a) lim
h→0
f(p+ h)− f(p)
h
b) lim
h→0
f(p+ 3h)− f(p)
h
C. Determine os valores das constantes a e b para os quais lim
x→x0
f(x) existe.
a) f(x) =

2x− a, x < −1
ax+ 2b, −1 ≤ x ≤ 1
b− 5x, x > 1
em x0 = −1, x0 = 1
b) f(x) =

2x2 − 3x− 2
x− 2 , x < 2
x2 − ax+ 1, x ≥ 2
em x0 = 2
D. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua
f(x) =

√
x, x ≥ 1
2(x3 − x)
x2 − 4x+ 3 , x < 1
E. Seja f : R→ R tal que f(1) = 7 e
x3 − 7x2 + 15x− 9
x2 − 4x+ 3 ≤ f(x)− 3 ≤ x
2 − 3, para todo x 6= 1, x ∈ (0, 3).
Prove que f(x) e´ descont´ınua em x = 1.
F. Determine os valores das constantes a e b para que f(x) seja cont´ınua para todo x ∈ R.
a) f(x) =

3x+ 6a, x < −3
3ax− 7b, −3 ≤ x ≤ 3
x− 12b, x > 3
c) f(x) =

x2, x < −2
ax+ b, −2 ≤ x ≤ 2
2x− 6, x > 2
b) f(x) =

sinx, x < pi/2
ax+ b, pi/2 ≤ x ≤ pi
x+ 3b, x > pi
2
G. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais do gra´fico das seguintes func¸o˜es e esboce o
gra´fico.
1) f(x) =
4
x− 4 5) f(x) =
−3
x+ 2
9) f(x) = e
1
x
2) f(x) =
4
x2 − 3x+ 2 6) f(x) =
−1
(x− 3)(x+ 4) 10) f(x) = ln(x)
3) f(x) =
1√
x+ 4
7) f(x) = − 2√
x− 3 11) f(x) = e
x − 1
4) f(x) =
2x2√
x2 − 16 8) f(x) =
x√
x2 + x− 12 12) f(x) = tan(x)
Respostas
A 1) 1; 2) a/b; 3) 1/64; 4) −∞; 5) −∞; 6) 0; 7) 5/7; 8) 2; 9) 2/3; 10) 0; 11) 3/2; 12) 1/e3; 13)
ln 9; 14) e; 15) e; 16) (ln 3)/20; 17) 1; 18) a; 19) -1; 20) +∞; 21) 0; 22) 1; 23) 0; 24) −32/9; 25)
5/2; 26) −√3/3; 27) 1/e; 28) 5/2; 29) 2/7; 30) e; 31) 25 ln 5; 32) 2/5 ln 2
B a) L; b) L/3
C a) a = −4, b = −1; b) a = 5/4
D R− {1}
F a) a = 2, b = −3; b) a = 1/2 + 1/pi, b = 1/2− pi/4; c) a = −3/2, b = 1
G 1) x = 4, y = 0; 2) x = 1, x = 2, y = 0; 3) y = 0, x = −4; 4) x = ±4; 5) x = −2, y = 0; 6)
x = 3, x = −4, y = 0; 7) y = 0, x = 3; 8) x = 3, x = −4, y = 1; 9) x = 0, y = 1; 10) x = 0; 11)
y = −1; 12) x = 2n+ pi/2, n = 0,±1,±2,±3, . . .
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