Axioma das Paralelas - aula

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Axioma das Paralelas
Os ângulos a e g e d e f são chamados de alternos internos.
Os ângulos b e h e c e e são chamados de alternos externos. 
Os ângulos c e g, b e f, a e e e d e h são chamados de correspondentes. 
Teorema. (Teorema dos ângulos alternos internos) Se duas retas m e n são cortadas por uma reta transversal t formando um par de ângulos alternos internos congruentes, então as duas retas são paralelas.
Prova: Consequência direta do teorema do ângulo externo.
Axioma das Paralelas: Por um ponto fora de uma reta dada pode-se traçar uma única reta paralela a esta reta.
O Teorema dos Ângulos Alternos Internos afirma quando duas retas que são cortadas por uma terceira são paralelas. O próximo teorema é a recíproca deste resultado.
Teorema. Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos internos alternados são congruentes.
Demonstração: Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t nos pontos A e B, respectivamente. Sabemos que existe somente uma reta r´ passando por A formando ângulos alternos internos com a reta s congruentes. Pelo último teorema, segue que r´ e s são paralelas. Pelo Axioma das Paralelas, temos que r coincide com r´.
Proposição: Se uma reta m é paralela às r e s então ou r=s ou r e s são paralelas.
Corolário. Se uma reta corta uma de duas paralelas, então corta também a outra.
Demonstração. Se uma reta cortasse somente uma de duas paralelas, então teríamos uma reta paralela a duas retas não paralelas.