prova 2 - 2010

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Segunda Prova de Geometria I - 2010/01
1a Questa˜o: (1,5 pontos)
Sejam C1 e C2 dois c´ırculos que sa˜o tangentes exteriores com ponto de tangeˆncia A. Sejam
B ∈ C1 e D ∈ C2 tais que a reta lBD seja tangente comum a C1 e C2. Mostre que o angulo
^BAD e´ reto.
2a Questa˜o: (2,0 pontos)
1. Mostre que se dois triaˆngulos sa˜o semelhantes com raza˜o de semelhanc¸a λ, as a´reas
das regio˜es limitadas por eles esta˜o na raza˜o λ2.
2. Seja M ABC um triaˆngulo. Sejam M e N os pontos me´dios de AB e AC, respectiva-
mente. Sejam P e Q os pontos me´dios de AM e AN , respectivamente. Determine a
a´rea da regia˜o delimitada por �PQNM em func¸a˜o da a´rea delimitada por M ABC,
justificando sua resposta.
3a Questa˜o: (2,5 pontos)
1. Mostre que a bissetriz de um aˆngulo de um triaˆngulo divide o lado oposto a este
aˆngulo em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
Sugesta˜o: Se M ABC e´ o triaˆngulo e BD e´ bissetriz do aˆngulo ^ABC, construa uma
reta paralela a lBD passando por A. Mostre que SCB corta esta reta e fac¸a ana´lise
dos diversos triaˆngulos formados.
2. Enuncie a rec´ıproca do resultado do item acima.
3. Esta rec´ıproca e´ verdadeira? Justifique sua resposta.
4a Questa˜o: (1,5 pontos)
Sejam pi1, pi2 e pi3 planos tais que pi1 ∩ pi2 ∩ pi3 e´ um ponto. Mostre que na˜o existe uma
reta paralela aos treˆs planos.
5a Questa˜o: (2,5 pontos)
1. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e sejam C e D
pontos distintos de s. Mostre que lAC e lBD sa˜o retas reversas.
2. Seja C um conjunto formado por retas com a propriedade que duas a duas sa˜o con-
correntes. Mostre que C esta´ contido em um plano ou todas as retas de C passam por
um ponto.
Boa Prova!!!