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Semelhança de triângulos

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Semelhança de triângulos 
As três proposições a seguir estabelecem as condições 
suficientes usuais para que dois triângulos sejam 
semelhantes. Por tal razão, as mesmas são conhecidas 
como os casos de semelhança de triângulos usuais. 
O item (c) da proposição acima é o famoso teorema de Pitágoras. 
O exemplo a seguir utiliza o item (d) da proposição para resolver 
geometricamente uma equação do segundo grau de raízes positivas. 
Para terminar esta seção, estabelecemos a recíproca do teorema 
de Pitágoras. 
Relações métricas em um 
triângulo qualquer 
Dado um ângulo agudo XOY =  toma-se um ponto P qualquer do 
lado OY e traça-se a perpendicular PA ao lado OX. 
A Lei dos Cossenos 
A Lei dos Cossenos é uma relação muito útil que envolve os três lados 
do 
triângulo e o cosseno de um dos ângulos. A demonstração é bastante 
simples. Escolhemos inicialmente um dos ângulos do triângulo ABC. Seja 
A o ângulo escolhido. 
 
Caso A < 90o 
 
Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Imaginando que o 
triângulo ABC não seja retângulo em C, a figura pode ser uma das 
seguintes: 
Sejam AB = c, AC = b e BC = a. 
Como A < 90o então D está na semirreta AC. Seja AD = x. Assim 
DC = |b- x|. 
No triângulo BDC o teorema de Pitágoras nos dá: 
a2 = h2 + |b-x|2 = h2 + b2 + x2 - 2bx . 
No triângulo BDA temos, pelo mesmo teorema, h2 =x2-b2. 
Substituindo ficamos com 
a2 = c2 - x2 + b2 + x2 - 2bx 
a2 = b2 +c2 - 2bx 
 
Entretanto, em qualquer uma das figuras tem-se x/c = cosA, ou seja, 
x = c cosA. Substituindo esse valor de x na última relação 
encontramos 
a2 = b2 +c2 - 2bc cosA 
 
Caso A > 90o 
 
Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Neste caso, D está 
na semirreta oposta à semirreta AC como na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como no caso anterior seja AD = x e seja = 1800-A o ângulo externo 
de vértice A do triângulo. A aplicação do teorema de Pitágoras nos 
triângulos BDC e BDA fornecem as relações: 
 
a2 = h2 + |b+x|2 = h2 + b2 + x2 + 2bx , 
h2 = c2 -x2 
 
A substituição de h2 na primeira relação dá a2 = b2 + c2 + 2bx. 
 
Porém, neste caso, cos = x/c e, consequentemente, cosA =-x/c, ou 
seja, 
x =-c cosA. 
Substituindo na relação anterior ficamos com a2 = b2 + c2 + 2b(-c 
cosA), ou seja, 
a2 = b2 +c2 - 2bc cosA 
 
que coincide exatamente com a relação do caso anterior. 
Esta é a Lei do Cosseno para o ângulo A (ou para o lado a). 
 
E o que ocorre se o ângulo A for reto? 
 
A relação a2 = b2 +c2 - 2bc cosA continua válida porque, neste caso, 
cosA = 0 e o que resta é a2 = b2 +c2 , o teorema de Pitágoras. 
 
As outras versões desta relação são obtidas simplesmente trocando 
convenientemente os nomes das letras que representam os lados e os 
ângulos do triângulo. Elas são: 
 
b2 = a2 +c2 - 2ac cosB 
c2 = a2 +b2 - 2ab cosC 
 
Determine o maior ângulo do triângulo cujos lados medem 5, 
6 e 7. 
O maior ângulo do triângulo é oposto ao maior lado. Temos 
então a situação da figura a seguir: 
 
 
 
 
 
O ângulo que queremos calcular é oposto ao lado que mede 
7. Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo  temos: 
72 = 52 + 62 -2.5.6cos 
As contas fornecem cos = 1/5 e portanto  = 78,5o. 
 
 
Determinação da natureza de um triângulo 
 
Um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo se seu maior 
ângulo for, respectivamente, agudo, reto ou obtuso. 
 
Decorre imediatamente da Lei dos Cossenos no triângulo ABC as 
seguintes e úteis relações: 
A < 90o  a2 < b2 + c2 
A = 90o  a2 = b2 + c2 
A > 90o  a2 > b2 + c2 
 
 
Em um triângulo de lados a, b e c, se a é o maior lado, a comparação de 
a2 com b2 + c2 fornece a natureza desse triângulo. 
A Lei dos Senos 
A Lei dos Senos resolverá, principalmente, o caso de obter 
outros elementos de um triângulo onde os ângulos são 
conhecidos e apenas um lado é conhecido. 
A Lei dos Senos possui também forte relacionamento com a 
circunferência circunscrita ao triângulo, como veremos a 
seguir. 
A figura a seguir mostra o triângulo ABC, com lados a, b e c, 
inscrito em uma circunferência de raio R. 
Como de hábito, o ângulo BAC do triângulo será representado 
simplesmente por A. Traçamos o diâmetro BD. Assim, o ângulo BCD é 
reto e os ângulos BAC e BDC são iguais, pois subtendem o mesmo arco 
BC. 
O seno do ângulo BDC é igual a 
 
 
 
Então, 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
 
 
 
Esta relação mostra que a razão entre um lado do triângulo e 
o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro da 
circunferência circunscrita e, naturalmente, essa relação vale 
qualquer que seja o lado escolhido. 
A Lei dos Senos no triângulo ABC é escrita assim: 
 
 
 
 
 
onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo 
ABC. 
 
 
O teorema de Menelaus 
 
O teorema de Menelaus é uma relação bem diferente das 
anteriores. Ele não envolve ângulo algum, mas é uma 
especialista em calcular razões. O enunciado do teorema é o 
seguinte: 
Dado um triângulo ABC uma reta transversal corta as retas 
AB, BC, e CA nos pontos L, M e N, respectivamente. Então,