Apostila Média

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14Aprendendo 
a calcular 
mediana e moda 
 
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META
OBJETIVOS
PRÉ-REQUISITOS
Apresentar os conceitos de mediana 
e moda.
Após esta aula, você deverá ser capaz de:
1. identificar a mediana de dados não agrupados;
2. calcular a mediana de dados agrupados sem 
intervalo de classes;
3. estabelecer a mediana de dados agrupados em 
intervalo de classes;
4. calcular a moda de dados agrupados sem 
intervalo de classes;
5. calcular a moda de dados agrupados em in-
tervalo de classes.
Para esta aula é importante que você reveja o 
conceito e os tipos de freqüência, bem como 
todos os conceitos que envolvem o tema 
intervalo de classes, assuntos apresentados 
na Aula 7. Também é importante ter uma 
calculadora à mão, para fazer as atividades 
propostas.
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NOVAS TENDÊNCIAS
Na aula anterior, você foi apresentado ao conceito de medidas de 
posição. Aprendeu que a média aritmética simples e a média aritmética 
simples ponderada são medidas de posição de tendência central. Mas 
você lembra que elas não são as únicas?
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.1: As medidas de tendência central resumem, em um único número, 
o valor em torno do qual se concentram os outros dados do conjunto.
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Além da média aritmética simples e ponderada, existem mais duas 
medidas de tendência central que são bastante importantes: a mediana e 
a moda. É delas que vamos falar nesta aula.
A média é a medida mais comum, mas nem sempre ela é capaz 
de representar de forma adequada os valores de um grupo de dados. 
Quando isso acontece, optamos pelo cálculo de outras medidas, que são 
a mediana e a moda. Nesta aula, você vai aprender não só a encontrá-las, 
mas também em que situações usá-las.
MEDIANA: BEM NO MEIO!
Sou brasileiro de estatura mediana
Gosto muito de fulana mas sicrana é quem me quer
Diz um ditado natural da minha terra
Bom cabrito é o que mais berra onde canta o sabiá
(Música: "Lero-lero"
Autor: Edu Lobo)
A mediana é o valor central de um conjunto de dados que devem 
estar ordenados de forma crescente ou decrescente. Ela é o valor que 
divide esse conjunto em duas partes de mesmo tamanho.
Quando temos um conjunto de valores e nesse conjunto há 
valores extremos (muito distantes da maioria dos valores), optamos pela 
mediana em vez da média. Isso acontece porque esses valores extremos 
interferem no cálculo da média e ela passa a não ser mais representativa 
do conjunto. 
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Aurélio é Diretor-financeiro de uma microempresa que realiza ser-
viços de entrega para outras empresas. Ele está fazendo um levantamento 
dos gastos da empresa e queria ter uma idéia de quanto a empresa gasta, 
em média, com salários. Para isso, ele começou montando uma tabela. 
Veja como ela ficou:
Cargos e salários da empresa Rapidex
Cargo Nº Funcionários Salário (R$)
Serviços Gerais 2 350,00
Entregador 20 600,00
Técnico Administrativo 4 800,00
Diretor 3 7.000,00
TOTAL 28 36.900,00
Tabela 14.1: Tabela de cargos e salários da empresa do Aurélio
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.2: A empresa do Aurélio é contratada por 
outras empresas para fazer serviços de entregas de ma-
teriais diversos.
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Com base nos dados da tabela, Aurélio calculou a média dos 
salários. Veja a conta que ele fez:
Veja que Aurélio calculou a média aritmética ponderada dos 
salários, porque cada salário é recebido por uma quantidade diferente 
de funcionários.
O resultado da média foi R$ 1.272,41. Observe novamente a tabela 
e responda, no espaço a seguir, às seguintes perguntas:
a. Este valor está próximo de algum dos salários pagos pela 
empresa?
b. A maioria dos funcionários recebe um salário próximo desse 
valor?
c. Você acha que esse valor é representativo dos salários pagos 
pela empresa?
X = × + × + × + ×
+ + +
= + + +350 2 600 20 800 4 7 000 3
2 20 4 3
700 12 000 3 200 21 0. . . . 000
29
36 900
29
1 272 41= ≅. . ,
Ao responder às perguntas, você deve ter chegado à conclusão 
de que esse valor (R$1.272,41) não é representativo daqueles valo-
res de salários apresentados na tabela. Isso acontece porque o salário 
dos diretores é muito maior do que os outros salários e, como vimos na 
Aula 13, isso interfere no cálculo da média.
Quando isso acontece, temos de optar por outro tipo de medida. 
Neste caso, podemos usar a mediana.
Fonte: www.sxc.hu
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Mas como calculamos a mediana? É isso que você vai aprender 
a seguir.
CALCULANDO A MEDIANA DE DADOS NÃO AGRUPADOS
Na seção anterior, concluímos que o cálculo da média não resultou 
em um valor que fosse representativo para os salários da empresa 
RAPIDEX. Neste caso, o melhor a fazer é calcular a mediana, mas 
como fazemos isso?
ATENÇÃOATENÇÃO
 A mediana descreve bem os grandes conjuntos de dados. 
No caso dos conjuntos com dados discrepantes, isto é, dos 
conjuntos com um ou alguns valores, muito maiores ou muito 
menores que os demais, a mediana descreve melhor os dados 
que a média. 
Figura 14.3: O primeiro passo para calcularmos a mediana é colocarmos os números em ordem. 
A ordem pode ser crescente ou decrescente, o importante é estarem em ordem.
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A primeira coisa a fazer é colocarmos os valores em ordem 
crescente. Veja como ficam:
350 350 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 
600 600 600 600 600 600 600 600 800 800 800 800 7.000 
7.000 7.000
Agora você tem de identificar o valor central, ou seja, o valor que 
fica bem no meio deste conjunto. No caso dos valores deste exemplo, é 
o número 600, que está ressaltado no conjunto a seguir.
350 350 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600
600 600 600 600 600 600 600 600 800 800 800 800 7.000 
7.000 7.000
Para ter certeza de que o valor que você encontrou é o valor central 
basta contar quantos números existem antes de 600 e quantos números 
existem depois do 600. No caso do nosso exemplo, existem quatorze 
números antes do 600 e quatorze números depois do 600. Confira.
Portanto, a mediana (o símbolo de mediana é Md) dos salários da 
empresa do Aurélio é R$ 600,00. Note que a empresa tem vinte e nove 
empregados e vinte deles recebem R$ 600,00. Você não concorda que esse 
valor é muito mais representativo do aquele encontrado pela média?
Um detalhe importanteque deve ser observado é que só foi possível 
encontrar um valor central porque o conjunto de dados tinha um número 
ímpar de valores. Quer dizer, a empresa possuía vinte e nove empregados. 
Vinte e nove é um número ímpar, o que possibilita encontrarmos um 
número central.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.4: A mediana é o valor que divide um grupo, com quantidade 
ímpar de valores, em duas metades de tamanhos iguais.
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Quando o conjunto tem uma quantidade par de valores, achamos 
os dois valores mais centrais e calculamos a média aritmética simples 
entre eles. Veja o seguinte exemplo:
Letícia é professora de Biologia em uma turma de dezoito alunos. 
Ela percebeu que alguns alunos tiveram uma nota muito baixa (abaixo 
de três) na última prova, mas a grande maioria tirou nota acima de cinco. 
Como a maioria tirou nota acima de cinco, encontrar a média não seria 
o ideal, pois as notas muito baixas interferem no cálculo. Assim, ela 
concluiu que encontrar a mediana seria uma boa forma de encontrar 
uma nota representativa do conjunto de notas que os alunos tiraram 
nesta prova.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.5: Para determinar um valor representativo das notas que 
a turma tirou na prova de Biologia, Letícia optou pelo cálculo da 
mediana.
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A primeira coisa que ela fez foi colocar as notas em ordem crescente. 
Veja, a seguir, como as notas ficaram organizadas:
0 - 1,5 - 1,5 - 2,0 - 2,0 - 2,5 - 5,0 - 5,5 - 6,0 - 6,5 - 6,5 - 6,5 - 7,0 - 7,0 
- 7,0 - 7,0 - 7,5 - 8,0 
Quando temos uma quantidade par de valores, não conseguimos 
encontrar um valor central apenas. Neste caso, temos de escolher dois 
valores que dividam o conjunto em duas metades de tamanhos iguais.
No caso do exemplo anterior, as notas centrais são 6,0 e 6,5. 
Confira:
0 - 1,5 - 1,5 - 2,0 - 2,0 - 2,5 - 5,0 - 5,5 - 6,0 - 6,5 - 6,5 - 6,5 - 7,0 - 7,0 
- 7,0 - 7,0 - 7,5 - 8,0 
Agora é só tirar a média aritmética simples destes dois valores:
Portanto, a mediana das notas dos alunos de Letícia é 6,25, que é 
um valor dentro do conjunto de notas que estão em maior quantidade, 
pois a maior parte dos alunos tirou notas entre cinco e sete.
Agora use o espaço a seguir para responder às seguintes perguntas:
a. Qual seria o valor encontrado se Letícia tivesse calculado a 
média aritmética?
b. Olhe para a maioria das notas dos alunos. Você considera o 
valor encontrado como sendo representativo das notas da maioria dos 
alunos?
X = + = ≅6 0 6 5
2
12 5
2
6 25
, , ,
,
Fonte: www.sxc.hu
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Você já pensou em como seria difícil encontrar o valor central (ou 
valores) de um conjunto de dados que fosse muito grande? Aqui vai uma 
dica para achar os valores centrais nesses casos:
Se o seu conjunto de dados tiver uma quantidade ímpar de 
valores, você deve somar o número um a esse valor e dividir 
o resultado por dois. Vamos usar o exemplo do Aurélio. Ele 
tinha um total de vinte e nove salários, lembra? Então: 
No exemplo do Aurélio, o valor central é o décimo quinto valor, 
confira a seguir:
350 350 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 
600 600 600 600 600 600 600 600 600 800 800 800 800 7.000 
7.000 7.000
Se o conjunto de dados tiver uma quantidade par de valores, 
divida essa quantidade por dois e você encontrará o primeiro 
valor. O segundo é fácil, é o próximo valor! Veja no exemplo 
da Letícia. Ela tinha um total de dezoito notas. Então:
Quer dizer que, no exemplo da Letícia, um dos valores centrais (o 
primeiro) é o nono valor do conjunto, o outro é o décimo valor (que é 
o próximo). Confira:
0 - 1,5 - 1,5 - 2,0 - 2,0 - 2,5 - 5,0 - 5,5 - 6,0 - 6,5 - 6,5 - 6,5 - 7,0 - 7,0 
- 7,0 - 7,0 - 7,5 - 8,0 
29 1
2
15
+ =
18
2
9=
Fonte: www.sxc.hu
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Fonte: www.sxc.hu
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Então, achou fácil? Vamos ver agora como calcular a mediana 
quando os dados estão agrupados em uma tabela de freqüência ou em 
intervalos de classes. Mas, antes, vamos testar o que você aprendeu, 
fazendo uma atividade.
CURIOSIDADECURIOSIDADE
O outro lado da mediana
Você sabia que existe uma definição de mediana, em 
geometria, que é diferente do conceito estatístico? Para 
a GEOMETRIA, mediana é uma reta que liga o vértice 
de um triângulo ao ponto médio (ponto que divide 
exatamente ao meio) do lado oposto ao vértice de 
onde sai a reta.
A foto que você vê neste boxe é de uma linda mari-
posa. Veja que suas asas fechadas formam um perfeito 
triângulo e seu corpo representa uma das medianas 
deste triângulo. Sua cabeça está em um dos vértices 
do triângulo e seu corpo divide ao meio o lado oposto 
(base do triângulo). A natureza não é fantástica?
Fonte: www.sxc.hu
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Atende ao Objetivo 1
Uma professora de Matemática decidiu traçar um perfil, em relação às notas dos alunos 
de sua turma. Para isto, ele dividiu a turma em três grupos:
• o primeiro grupo era composto pelos 6 alunos que sentavam nas carteiras da frente;
• o segundo grupo era formado por 16 alunos que se sentavam no meio da sala de aula;
• e o terceiro grupo eram os 9 alunos que se sentavam no final da sala. 
Ela, então, aplicou uma prova que valia 10 pontos e anotou as notas dos alunos separados 
por grupos. Veja na tabela a seguir:
ATIVIDADE 1
 
GEOMETRIA
Ramo da matemática 
que estuda as medidas, 
propriedades e relações 
entre pontos, linhas, 
ângulos, superfícies e 
formas sólidas.
Base do triângulo
Vértice
Mediana
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Grupo Notas
1 8, 6, 5, 7, 10, 6
2 10, 6, 4, 7, 6, 6, 5, 8, 2, 4, 8, 5, 7, 8, 10, 5
3 8, 4, 2, 7, 9, 5, 6, 6, 4
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.6: Encontrar a mediana de dados agrupados dá um 
pouco mais de trabalho.
Usando o cálculo da mediana de valores não agrupados, ajude a professora a esclarecer a 
seguinte dúvida: Qual grupo de alunos obteve o melhor desempenho na prova? 
CALCULANDO A MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS
Até agora, você aprendeu a encontrar a mediana de dados não 
agrupados, ou seja, os dados são apresentados de forma separada uns 
dos outros.
Mas é possível que os dados estejam em uma tabela agrupados por 
freqüência. É possível também que encontremos os dados reunidos em 
intervalos de classes. Como devemos proceder para calcular a mediana 
nestes casos? É o que você verá agora. 
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MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS POR FREQÜÊNCIA 
No caso de termos dados agrupados, sem intervalos de classe, 
podemos calcular a mediana seguindo o exemplo a seguir.
Fabiana tirou uma nota baixa na última prova de Estatística. Para 
ajudá-la, o professor da disciplinapassou um trabalho, valendo nota. 
Para realizar o trabalho, ela deveria descobrir a mediana do número dos 
sapatos dos cem alunos do curso. 
O primeiro passo dela foi entrevistar todos os cem alunos para saber 
quanto cada um calçava. Em seguida, ela agrupou os dados encontrados 
na tabela a seguir:
Tabela 14.2: Tabela de freqüência com o número dos calçados dos alunos do curso 
de Fabiana.
Número dos calçados dos alunos
Número do calçado Quantidade de pessoas que calçam este número (freqüência)
35 6
36 11
37 13
38 16
39 12
40 13
41 15
42 10
43 4
TOTAL 100
Observe, na tabela, que existe sempre mais de uma pessoa com 
o mesmo número de sapato. A quantidade de pessoas relativa a cada 
número é a freqüência daquele valor (tamanho do calçado).
Em seguida, Fabiana calculou a freqüência acumulada (que você 
aprendeu a calcular na Aula 7) e montou a Tabela 14.3.
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Número dos calçados dos alunos
Número do calçado Freqüência Freqüência acumulada
35 6 6
36 11 17
37 13 30
38 16 46
39 12 58
40 13 71
41 15 86
42 10 96
43 4 100
TOTAL 100 --
Tabela 14.3: Tabela de freqüência e freqüência acumulada do número dos calçados 
dos alunos do curso de Fabiana.
Fonte: www.sxc.hu 
Figura 14.7: O trabalho da Fabiana é encontrar a mediana 
do número dos calçados dos alunos do curso em que ela 
estuda. O valor que ela encontrar será o valor mais central 
entre todos os tamanhos.
Para calcular a mediana dos valores encontrados, Fabiana somou 
as freqüências. Em nosso exemplo, essa soma é 100, que é o número 
total de alunos entrevistados por Fabiana.
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Encontramos o valor da mediana dentro do grupo correspondente à 
metade do valor da soma das freqüências. Achou confuso? Isto quer dizer 
que temos de dividir a soma das freqüências por dois. O valor encontrado 
é cinqüenta (100 ÷ 2 = 50), esta é a metade da soma das freqüências. 
O valor da mediana que a Fabiana quer encontrar é o número do 
calçado que corresponde à freqüência acumulada de cinqüenta.
No entanto, se você observar a tabela, vai perceber que não existe 
o valor exato de cinqüenta na coluna de freqüência acumulada. O que 
a Fabiana deve fazer neste caso?
É fácil. Quando isso acontece a mediana está associada à freqüência 
acumulada imediatamente maior que esse valor. No caso do exemplo, 
é cinqüenta e oito. 
A freqüência acumulada cinqüenta e oito cor-
responde ao número de calçado trinta e nove. Este é o 
valor da mediana; portanto, a mediana procurada pela 
Fabiana é o número de calçado trinta e nove.
Bem, se você encontrar uma freqüência acu-mulada 
com um valor exatamente igual à metade da soma das 
freqüências, o cálculo da mediana deve ser feito de outra maneira. 
Vejamos um exemplo em que isso ocorre. Observe, atentamente,
a Tabela 14.4.
Tabela 14.4: Tabela de freqüência e freqüência acumulada. A tabela apresenta a quantidade de equi-
pamentos em más condições de uso em diversas empresas do ramo de construção civil.
Equipamentos em condições inadequadas para uso em empresas de construção civil
Número de equipamentos em más 
condições de uso
Número de empresas 
(freqüência) Freqüência acumulada
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
TOTAL 8
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Neste exemplo, a metade da soma das freqüências é quatro 
(8 ÷ 2 = 4)
O número de equipamentos em más condições de uso relativo à 
freqüência acumulada quatro é igual a quinze. No entanto, neste caso, 
a mediana não é quinze. 
Quando encontramos um valor exato na coluna de freqüência 
acumulada, devemos somar a variável (o valor encontrado) com ela 
mesma e mais 1. O resultado dessa soma deve ser dividido por dois. 
Aí sim encontramos a mediana.
Ou seja, a mediana dos dados da Tabela 14.4 é 15,5.
Como calcular a mediana quando os dados estão agrupados em 
intervalos de classe? É isso o que você vai aprender em seguida, mas antes 
vamos fazer uma atividade?
15 15 1 31
31
2
15 5+ + = ⇒ = ,
Atende ao Objetivo 2
Na turma de um curso a distância de Técnico de Segurança no Trabalho foi aplicada 
uma prova sobre “Segurança em instalações elétricas na atividade rural e industrial”. 
As notas dos alunos e sua freqüência encontram-se na tabela a seguir:
Notas dos alunos na prova de segurança em instalações elétricas 
na atividade rural e industrial
Notas Número de alunos que tiraram a nota (freqüência)
2 2
3 5
4 8
5 9
6 8
7 10
8 1
9 8
10 7
ATIVIDADE 2
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Com base nos dados da tabela anterior, responda às seguintes perguntas:
a. Quantos alunos havia nessa turma, sabendo que todos realizaram a prova?
b. Com o auxílio da tabela a seguir, calcule a mediana das notas.
Notas Freqüência Freqüência acumulada
2 2
3 5
4 8
5 9
6 8
7 10
8 1
9 8
10 7
Total
MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Quando os dados estão agrupados em intervalos de classe, temos 
de achar a mediana dentro de um dos intervalos. Para tanto, é necessário 
determinar a classe do intervalo que contém a mediana.
Você vai achar mais fácil de entender se acompanhar o exemplo 
a seguir.
A Tabela 14.5 foi montada a partir dos dados levantados sobre 
a estatura (tamanho), em centímetro, de quarenta alunos de uma 
determinada escola. Os valores foram separados e distribuídos em seis 
intervalos de classe.
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Estatura dos alunos da escola
Número da classe Estaturas em centímetros(intervalos de classe)
Freqüência 
(número de alunos)
1 150 154 4
2 154 158 9
3 158 162 11
4 162 166 8
5 166 170 5
6 170 174 3
TOTAL: 40
Tabela 14.5: Estaturas dos quarenta alunos de uma escola, separadas por intervalos de classe. 
A freqüência refere-se à quantidade de alunos que têm sua estatura compreendida no intervalo 
correspondente.
Para encontrar a mediana, é preciso calcular a freqüência acu-
mulada. Para isso, uma nova coluna foi acrescentada à tabela anterior. 
Veja o resultado na tabela a seguir (Tabela 14.6).
Tabela 14.6: Tabela de freqüência e freqüência acumulada das estaturas dos qua-
renta alunos de uma escola, separadas por intervalos de classe. 
Estatura dos alunos da escola
Número da classe
Estaturas em 
centímetros
(intervalos de classe)
Freqüência 
(número de alunos)
Freqüência 
acumulada
1 150 154 4 4
2 154 158 9 13
3 158 162 11 24
4 162 166 8 32
5 166 170 5 37
6 170 174 3 40
TOTAL: 40
O próximo passo é calcular a soma das freqüências dividida por 
dois, exatamente como foi feito para encontrar a mediana de valores 
agrupados sem intervalo de classes, ou seja, 40 ÷ 2 = 20.
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Aquele valor encontrado (vinte) é a posição da mediana. Quer dizer, 
a altura que queremos encontrar e que está distribuída dentro de um dos 
intervalos de classe éo vigésimo valor (estatura). A pergunta agora é: Em 
qual dos intervalos podemos encontrar o vigésimo valor?
Perceba que existem vinte e quatro valores de estatura até as três 
primeiras classes da distribuição (os valores da freqüência acumulada 
determinam a quantidade de dados contidos em todos os intervalos até 
ali; você se lembra da Aula 7?). Até a segunda classe, temos treze valores; 
portanto, o valor que ocupa a posição vinte só pode estar localizado na 
classe número três. 
Mas na classe três, existem onze elementos (veja o valor da 
freqüência correspondente a esta classe). Como vamos identificar qual 
deles é a mediana?
Para responder a esta pergunta, é preciso calcular um valor que 
chamamos de distância. A distância é o valor que somamos ao limite 
inferior da classe (no caso do exemplo é a classe três) para encontrar o 
valor procurado, que é a mediana. Então, vamos achar esse valor:
• Primeiro diminuímos a posição da mediana que queremos 
encontrar do valor da freqüência acumulada da classe anterior àquela 
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.8: Para encontrar a mediana de dados agrupados em intervalos 
de classe é preciso determinar sua posição.
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onde a mediana está: 20 – 13 = 7.
• Agora dividimos este valor pelo número 
de elementos da classe onde a mediana está: 
7 ÷ 11 = 0,636.
• Por fim, multiplicamos o 
valor encontrado pela amplitude do 
intervalo de classe (162 – 158 = 4) 
onde a mediana está: 0,636 x 4 = 
2,544.
• A distância é 2,54.
Para encontrar a mediana, é preciso somar a distância ao limite 
inferior da classe onde a mediana está, ou seja, a mediana é 158 + 2,54 
= 160,5 centímetros.
Nossa, são tantas possibilidades de se calcular um número que 
represente um conjunto de dados, não é mesmo? E ainda não acabou! 
Existe mais uma medida de posição de tendência central: a moda. Ela é 
nosso próximo assunto.
Atende ao Objetivo 3
As notas finais dos alunos na disciplina de Estatística Aplicada do curso de Segurança do 
Trabalho encontram-se na tabela a seguir. As notas estão separadas em intervalos de classe. 
A partir dos dados desta tabela, encontre a mediana das notas, utilizando a coluna de 
freqüência acumulada para ajudar a encontrar a resposta.
Classe Notas(intervalo)
Número de alunos com 
determinada nota (freqüência) Freqüência acumulada
1 0 2 5
2 2 4 8
3 4 6 14
4 6 8 10
5 8 10 7
TOTAL: 
ATIVIDADE 3
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Atende ao Objetivo 3
A partir dos dados coletados em uma pesquisa sobre o valor dos salários dos Técnicos em 
Segurança no Trabalho foi montada uma tabela. Nela os salários foram distribuídos por 
intervalos de classe, conforme você pode conferir a seguir:
Classe Faixa salarial (em reais)(intervalos de classe) Freqüência Freqüência acumulada
1 500 700 18
2 700 900 31
3 900 1.100 15
4 1.100 1.300 3
5 1.300 1.500 1
6 1.500 1.700 1
7 1.700 1.900 1
TOTAL: 
ATIVIDADE 4
MODA: UMA MEDIDA COM ESTILO
A última medida de posição de tendência central que vamos ver é 
a moda. A moda é o elemento de um conjunto de dados que mais vezes 
aparece. 
No entanto, nem sempre ela será uma medida que representa da 
melhor forma um conjunto de dados. Na verdade, na maioria dos casos a 
média e a mediana são as melhores medidas, mas vamos ver uma situação 
em que a moda é a melhor opção.
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Alexandre é professor de Direito Administrativo em um curso 
preparatório para concursos. Ele tem uma turma no período noturno. 
Pensando em montar suas aulas com base no perfil da maioria dos alunos 
dessa turma, ele resolveu fazer um levantamento da média de idade dos 
alunos. Veja a tabela a seguir:
Tabela 14.7: Tabela da idade dos alunos da turma de Alexandre. Ela relaciona a 
idade dos alunos com a quantidade de alunos com as referentes idades.
Idade dos alunos da turma de Alexandre
Idade dos alunos Quantidade de alunos com esta idade(freqüência)
18 1
19 3
20 2
22 4
24 15
27 3
30 1
31 2
40 30
TOTAL 61
SAIBA MAIS...SAIBA MAIS...
 Você pode, ou não, estar na moda
Já parou para pensar que num conjunto 
de dados podemos não encontrar nenhum 
elemento que se repita? Ou, ainda, elemen-
tos diferentes que estejam repetidos na mesma 
quantidade?
Não estranhe, é comum acontecer. Um con-
junto de dados pode ter:
• uma única moda e, por esse motivo, é 
chamado unimodal;
• duas ou mais modas e, nesse caso, o cha-
mamos multimodal;
• nenhuma moda, quando isso acontece é 
chamado amodal.
B
in
a 
Sv
ed
a
Fonte: www.sxc.hu
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a
 
A primeira idéia de Alexandre foi calcular a média aritmética:
O resultado que Alexandre encontrou, calculando a média 
aritmética das idades dos alunos da turma, foi de aproximadamente 
31,7 anos.
Utilize o espaço a seguir para responder às seguintes perguntas:
a. Qual idade está relacionada com a maior quantidade de alunos?
b. Qual a segunda idade que possui a maior quantidade de alunos?
c. Alguma dessas idades está próxima do valor da média encontrada?
18 1 19 3 20 2 22 4 24 15 27 3 30 1 31 2 40 30
1 3 2 4 15 3
× + × + × + × + × + × + × + × + ×
+ + + + + ++ + +
=
1 2 30
 C
hr
is
 Je
w
is
s
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.9: A média aritmética pode ser afetada por elementos extremos de 
um conjunto de dados. Nestes casos, ela não será um valor representativo deste 
conjunto.
= + + + + + + + + = ≅18 57 40 88 360 81 30 62 1 200
61
1 936
61
31 7
. .
,
Fonte: www.sxc.hu
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Ao responder às mesmas perguntas que você respondeu ante-
riormente, Alexandre concluiu que a média das idades não era um bom 
valor representativo para sua turma. 
Então, ele resolveu calcular a mediana. Como seus dados estão 
agrupados em freqüências, primeiro ele teve de determinar a freqüência 
acumulada. Veja a seguir:
Idade dos alunos da turma de Alexandre
Idade dos alunos Quantidade de alunoscom esta idade (freqüência)
Freqüência 
acumulada
18 1 1
19 3 4
20 2 6
22 4 10
24 15 25
27 3 28
30 1 29
31 2 31
40 30 61
TOTAL 61
Agora ele deve identificar a freqüência na qual está contida a 
mediana. Para isso, ele divide a maior freqüência acumulada (sessenta 
e um) por dois: 
Como você aprendeu, a mediana será encontrada no grupo de dados 
da freqüência acumulada imediatamente maior que o valor encontrado 
na conta feita anteriormente. Sendo assim, a freqüência acumulada que 
tem um valor imediatamente maior que 30,5 é trinta e um.
A idade relacionada a essa freqüência acumulada é trinta e um; 
portanto, a mediana desse conjunto é trinta e um.
Esse valor encontrado para a mediana é muito próximo do valor 
encontrado para a média aritmética (31,7), que, como já vimos, não é 
um valor representativo das idades da turma de Alexandre.
61
2
30 5= ,
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Quando nem a média nem a mediana são capazes de apresentar um 
valor que represente adequadamente um conjunto de dados, lançamos 
mão do cálculo da moda. Observando as idades da turma de Alexandre, 
podemos concluir que quase metade da turma tem quarenta anos. 
Trinta dos sessenta e um alunos têm quarenta anos. Essa é a idade que 
mais se repete e, por isso, podemos considerá-la como sendo um valor 
representativo para esta turma.
A moda da idade da turma de Alexandre é quarenta, a idade que 
mais se repete.
No exemplo da turma do Alexandre, os dados estão agrupados 
em freqüências, ou seja, estão agrupados pela quantidade de vezes que 
cada um se repete. Mas o que fazer quando os dados estão agrupados 
em intervalos de classe? Fique tranqüilo, é isso que você vai aprender na 
próxima seção. Mas, antes, vamos fazer umas atividades?
Fonte: www.sxc.hu
Figura 14.10: Existem situações em que a mediana não será uma boa 
medida. Às vezes, o elemento central de um grupo de dados não é 
representativo deste conjunto.
 A
nd
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 C
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Atende ao Objetivo 4
Uma prova com cinco questões foi aplicada para avaliação de candidatos ao Curso de 
Segurança no Trabalho. O levantamento estatístico dos acertos foi registrado no seguinte 
gráfico:
ATIVIDADE 5
Com base no gráfico, determine:
a. o número de alunos;
b. a média aritmética;
c. a moda. 
Para ajudar na análise, passe os dados do gráfico para a tabela a seguir:
Número de acertos Número de alunos(freqüência)
TOTAL
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5
alunos
número de 
alunos
número de acertos
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Atende ao Objetivo 4
As notas dos alunos de uma determinada turma do Curso de Física foram colocadas na 
tabela de freqüência a seguir: 
Com base nos dados desta tabela, calcule: 
a. A média aritmética das notas dos alunos;
b. A mediana das notas dos alunos;
c. A moda das notas dos alunos.
ATIVIDADE 6
MODA DE DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Agora vamos ver como achar a moda de um conjunto de dados 
agrupados em intervalos de classe. 
Nestes casos, a moda é o valor dominante, ou seja, que mais se 
repete, no intervalo de classe que apresenta a maior freqüência. Um 
método simples para o cálculo da moda é pegar o ponto médio da classe de 
maior freqüência. Quando determinamos a moda desta maneira, a classe 
de maior freqüência é chamada de classe modal e o valor encontrado é 
denominado moda bruta.
Notas
Número de alunos que 
tiraram esta nota
(freqüência)
5 3
6 4
8 2
10 1
400
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Veja que a maior freqüência é relativa à terceira classe; esta é a classe 
modal. Portanto, a moda estará no intervalo entre 40 e 60 acidentes. Para 
calculá-la, temos de somar o limite inferior (quarenta) com o superior 
(sessenta) da classe modal. Depois é só dividir o resultado por dois (este 
é o cálculo do ponto médio da classe). 
Logo, a moda destes dados é cinqüenta (acidentes).
A Tabela 14.8 foi montada a partir de dados coletados por um 
Técnico em Segurança no Trabalho. Ele queria encontrar a moda do 
número de acidentes ocorridos em empresas do ramo de segurança 
privada no mês de setembro.
Tabela 14.8: Número de acidentes de trabalho ocorridos em empresas de segurança 
privada no mês de setembro.
Número de acidentes em empresas de segurança privada − setembro
Classe Número de acidentes (intervalos de classe)
Número de empresas 
(freqüência)
1 0 20 4
2 20 40 12
3 40 60 19
4 60 80 10
5 80 100 2
 TOTAL:
40 60
2
50
+ =
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SAIBA MAIS...SAIBA MAIS...
 Conhecendo a moda de outro jeito
Você pode escolher um caminho diferente para encontrar 
a moda de dados agrupados em intervalos de classe.
Este cálculo pode ser feito através de uma fórmula um 
pouco mais elaborada, chamada fórmula de Czuber.
Utilizando o exemplo da Tabela 14.8, o cálculo da moda 
pode ser feito da seguinte forma:
Calcule a diferença entre a freqüência simples da 
classe modal, que vale dezenove, e a freqüência 
simples da classe anterior à classe modal, que vale 
doze. A diferença é: 19 – 12 = 7.
Em seguida, calcule a diferença entre a fre-
qüência simples da classe modal, que vale 
dezenove, e a freqüência simples da classe posterior à classe modal, que vale dez. 
Esta diferença é: 19 – 10 = 9.
Agora, some os dois valores encontrados anteriormente. Esse novo valor é 7 + 9 = 16.
 
O próximo passo é dividir o valor encontrado na primeira conta que você fez pelo valor 
encontrado na terceira conta. Ou seja, 7 ÷ 16 = 0,4375.
Multiplique o valor encontrado anteriormente pela amplitude da classe modal (60 – 40 = 
20). Assim, temos que 0,4375 x 20 = 8,75.
Para achar a moda, você deve somar o valor encontrado anteriormente (que foi 8,75) 
com o limite inferior da classe modal, que é igual a quarenta. Assim, a moda calculada pela 
fórmula de Czuber vale 40 + 8,75 = 48,75.
O que achou desta forma de calcular a moda? Quer tentar fazer sozinho? Então, vá até a Atividade 7 desta 
aula, leia seu enunciado e calcule a moda da distribuição de freqüência, utilizando a fórmula de Czuber. 
Mas faça a Atividade 7 primeiro, da maneira que foi apresentada na seção “Moda de dados agrupados 
em intervalos de classe”, e depois calcule-a, no espaço a seguir, utilizando a fórmula de Czuber. 
Compare os dois resultados encontrados!
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 S
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Fonte: www.sxc.hu
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Na aula de hoje, você foi apresentado a mais duas medidas de 
posição de tendência central: a mediana e a moda. Viu como calculá-las 
e em que situações as usar. Mas para aprender de verdade é preciso praticar. 
Por isso, não deixe de fazer os exercícios, eles são essenciais para reforçar 
o seu aprendizado.
Atende ao Objetivo 5
A tabela a seguir apresenta os gastos com equipamentos de segurança de sessenta e 
quatro empresas do ramo de construção civil. 
Gastos com equipamentos de segurança
Classes Gastos da empresa (R$) Número de empresas(freqüência) 
1 1.450,00 1.600,00 8
2 1.600,00 2.300,00 10
3 2.300,00 2.900,00 11
4 2.900,00 3.400,00 16
5 3.400,00 4.100,00 10
6 4.100,00 4.800,00 8
7 4.800,00 5.400,00 1
Total de empresas: 64
Calcule a moda da distribuição de freqüência da tabela anterior.
ATIVIDADE 7
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RESUMINDO...
 
• A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados de forma crescente ou 
decrescente. 
• A mediana de um conjunto de dados com quantidade ímpar de valores é o valor central que 
o divide em duas partes com a mesma quantidade de dados.
• A mediana de um conjunto de dados com quantidade par de valores é amédia aritmética 
simples dos dois valores centrais do conjunto.
• Para calcular a mediana de dados agrupados por freqüência, é preciso calcular a freqüência 
acumulada. A mediana será o valor relativo à freqüência acumulada imediatamente maior que 
a metade da soma de todas as freqüências.
• Para calcular a mediana de dados agrupados em intervalos de classe, dividimos a soma 
das freqüências por 2. Depois pega-se esse valor e subtrai-se pela freqüência acumulada da 
classe anterior à classe em que está a mediana. Divide-se esse valor pelo número de elementos 
(freqüência relativa) desta classe. Encontrado esse valor, deve-se multiplicá-lo pela amplitude 
desta mesma classe. A mediana é a soma do valor encontrado com o limite inferior da classe 
em que está a mediana. 
• A moda é o valor que mais se repete em um conjunto de dados.
• A moda de dados agrupados em intervalos de classes é a metade da soma dos limites 
inferior e superior da classe modal (aquela com maior freqüência).
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
A próxima aula será sobre Medidas de Dispersão, que também são 
medidas de posição. Você aprenderá sobre variância, desvio padrão e 
coeficiente de variação. Até lá!
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ATIVIDADE 1
O primeiro passo é colocar em ordem crescente as notas de todos os grupos.
Grupo 1: 5, 6, 6, 7, 8, 10 
Grupo 2: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 10 
Grupo 3: 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9 
O grupo 1 tem um número par de valores, por isso sua mediana será a média aritmética 
simples dos dois valores centrais: 
O grupo 2 também tem um número par de valores e a média aritmética de seus valores 
centrais é: 
O grupo 3 tem um número ímpar de valores, por isso sua mediana é o valor central do 
conjunto de notas. Este valor é o número 6.
Portanto, o grupo 1, composto pelos alunos que sentam nas primeiras carteiras, obteve o 
melhor desempenho na prova, pois sua mediana é maior que as dos outros dois grupos.
ATIVIDADE 2
a. O número de alunos é a soma das freqüências:
2 + 5 + 8 + 9 + 13 + 10 + 1 + 8 + 2 = 58 alunos
b. A mediana é calculada da seguinte forma:
Passo 1: Somar as freqüências.
Passo 2: Preencher a coluna de freqüência acumulada na tabela a seguir:
Notas Freqüência Freqüência acumulada
2 2 2
3 5 7
4 8 15
5 9 24
6 8 30
7 10 40
8 1 41
9 8 49
10 7 58
TOTAL 58
Passo 2: Dividir a soma das freqüências por 2: (58 ÷ 2 = 29).
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
 
6 7
2
6 5
+ = ,
6 6
2
6
+ =
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Passo 3: Comparar o valor 29 com o das freqüências acumuladas. Como não existe freqüência 
acumulada de valor 29, é preciso encontrar a freqüência acumulada imediatamente maior que 
esse valor. Essa freqüência acumulada é 30.
Passo 4: Identificar o valor da variável correspondente a 30. A resposta é 6; portanto, a 
mediana deste conjunto de notas é 6.
ATIVIDADE 3
Completando o quadro de distribuição de freqüência:
Classe
Notas
(intervalo)
Número de alunos com 
determinada nota (freqüência) 
Freqüência 
acumulada
1 0 2 5 5
2 2 4 8 13
3 4 6 14 27
4 6 8 10 37
5 8 10 7 44
TOTAL: 44 
O cálculo da mediana é realizado da seguinte forma:
Passo 1: Somar as freqüências dividida por dois: 44 ÷ 2 = 22 (esta é a posição da mediana, 
então ela se encontra na terceira classe).
Passo 2: Calcular a distância: 
• 22 – 13 = 9 (Subtrair o valor encontrado no passo 1 pela freqüência acumulada imediatamente 
anterior a esse valor.)
• 9 ÷ 14 = 0,643 (Dividir o valor encontrado no item anterior pela freqüência correspondente 
à classe onde está a mediana, que, no caso, é a classe de intervalo 4 6. )
• 0,643 x 2 = 1,29 (Multiplicar o valor encontrado no item anterior pela amplitude do in-
tervalo de classe onde está a mediana, que é dois (6 – 4 = 2).) O valor encontrado é a 
distância.
Passo 3: A mediana será a soma do limite inferior da classe onde está a mediana com a 
distância: 4 + 1,29 = 5,29.
A mediana vale 5,29. 
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ATIVIDADE 4
Completando o quadro de distribuição de freqüência:
Classe
Faixa salarial (em reais)
(intervalos de classe)
Freqüência 
Freqüência 
acumulada
1 500 700 18 18
2 700 900 31 49
3 900 1.100 15 64
4 1.100 1.300 3 67
5 1.300 1.500 1 68
6 1.500 1.700 1 69
7 1.700 1.900 1 70
TOTAL: 70
O cálculo da mediana é realizado da seguinte forma:
Passo 1: Somar as freqüências dividida por dois = 70 : 2 = 35 (esta é a posição da mediana, 
então ela se encontra na terceira classe).
Passo 2: Calcular a distância: 
• 35 – 18 = 17 (Subtrair o valor encontrado no passo 1 pela freqüência acumulada imediatamente 
anterior a esse valor.)
• 17 : 31 = 0,55 (Dividir o valor encontrado no item anterior pela freqüência correspondente 
à classe onde está a mediana, que, no caso, é a classe de intervalo 700 900.)
• 0,55 x 200 = 110 (Multiplicar o valor encontrado no item anterior pelo intervalo de classe 
da série, que é duzentos (900 – 700 = 200).) O valor encontrado é a distância.
Passo 3: A mediana será a soma do limite inferior da classe onde está a mediana com a 
distância: 700 + 110 = 810. 
A mediana vale R$ 810,00.
ATIVIDADE 5
a. Para facilitar a contagem do número de alunos devemos montar a tabela de freqüência, 
baseada nas informações contidas no gráfico. Veja, a seguir, o resultado:
Número de acertos Número de alunos (freqüência)
0 1
1 2
2 8
3 13
4 11
TOTAL 40
408
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
409
 A
u
la 14 • A
p
re
n
d
e
n
d
o
 a calcu
lar m
e
d
ian
a e
 m
o
d
a
 
Então, somando-se a quantidade de alunos que acertou cada questão, concluímos que 
eram 40 alunos. 
b. Para calcular a média, temos de calcular a média aritmética ponderada. Isto porque 
tivemos vários alunos que tiraram a mesma nota; portanto, as notas teriam como peso 
o número de alunos que tiraram essa nota. O cálculo é feito da seguinte forma:
c. O valor que tem a maior freqüência, ou seja, que aparece o maior número de vezes, 
é 3 (sua freqüência é 13); logo, a moda = 3.
ATIVIDADE 5
O primeiro passo é preencher a tabela com os dados que estão no gráfico.
1 0 2 1 8 2 13 3 11 4 5 5
1 2 8 13 11 5
126
40
3 15
× + × + × + × + × + ×
+ + + + +
= = ,
Número de acertos
Número de alunos
(freqüência)
0 1
1 2
2 8
3 13
4 11
5 5
TOTAL 30
a. O número de alunos é a soma de todas as freqüências, ou seja, são trinta alunos.
b. A média destes dados será a média ponderada, pois cada nota tem uma quantidade de 
alunos específica.
c. A moda é a nota três, que é a nota que tem maior freqüência, isto é, a nota que tem o maior 
número de repetições (treze alunos tiraram essa nota).
ATIVIDADE 6
a. 
X = × + × + × + × + × + ×
+ + + + +
= + + + + +1 0 2 1 8 2 13 3 4 11 5 5
1 2 8 13 11 5
0 2 16 39 44 25
40
== = ≅126
40
3 15 3,
x = × + × + × + ×
+ + +
= + + + = =3 13 2 14 4 15 1 16
3 2 4 1
39 28 60 16
10
143
10
14 3,
408
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
409
 A
u
la 14 • A
p
re
n
d
e
n
d
o
 a calcu
lar m
e
d
ian
a e
 m
o
d
a
 
b. Calcule a freqüência acumulada da tabela de distribuição de freqüência:
Notas
Número de alunos 
que tiraram essa nota 
(freqüência)
Freqüência
acumulada
5 3 3
6 4 7
8 2 9
10 110
Total: 10
Passo 1: Dividir a soma das freqüências por 2 → 10 ÷ 2 = 5.
Passo 2: A freqüência acumulada imediatamente maior que esse valor é 7, que corresponde 
à nota igual a 6. 
A nota seis é, então, o valor da mediana deste grupo de notas.
c. A moda é igual a quinze alunos, porque esse valor é o que tem a maior freqüência. 
ATIVIDADE 7
O primeiro passo é achar a classe modal.
A classe modal é a de número quatro, pois é a que apresenta a maior freqüência.
Em seguida, devemos calcular o ponto médio da classe modal, que é a média aritmética 
entre o limite inferior e o limite superior da classe modal.
Assim, temos que:
2.900 é o limite inferior da classe modal;
3.400 é o limite superior da classe modal;
ou seja, a moda vale R$ 3.150,00.
RESPOSTAS DA ATIVIDADE DO BOXE SAIBA MAIS
a. Calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale dezesseis, e a 
freqüência simples da classe anterior à classe modal (classe 3), que vale onze.
A diferença é: 16 – 11 = 5
b. Calcule a diferença entre a freqüência simples da classe modal, que vale dezesseis, e a 
freqüência simples da classe posterior à classe modal (classe 5), que vale dez.
Portanto, a diferença é: 16 – 10 = 6
2 900 3 400
2
6 300
2
3 150
. . .
.
+ = =
410
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
c. Some os valores encontrados nas letras a e b. Esse valor é 5 + 6 = 11.
d. Divida o valor encontrado na letra a pelo valor encontrado na letra c → 5 ÷ 11 = 0,4545.
e. Multiplique o valor encontrado na letra d pela amplitude da classe modal (3.400,00 
– 2.900,00 = 500,00): 0,4545 x 500,00 = 227,25.
f. A moda é calculada somando-se o valor encontrado na letra e (que foi 227,25) com o limite 
inferior da classe modal, que vale 2.900,00. Então, a moda calculada pela fórmula de Czuber 
é: 2.900,00 + 227,25 = 3.127,25.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2003.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de 
probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, 2005.
MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: 
Atlas, 2005.
MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson 
Learning, 2003.