Atividades Comentadas - Calculo II Diferencia e Integral - Cesumar

Prévia do material em texto

ATIVIDADE DE ESTUDO 1 
 
Questão 1 
 
Uma das atribuições dos profissionais de Engenharia é o trabalho com projetos 
e otimização de equipamentos industriais. Por exemplo, uma das razões para 
armazenar o gás metano em tanques cilíndricos ou esféricos é a redução da 
área de troca térmica a fim de evitar acidentes. A otimização trata, por 
exemplo, do menor diâmetro do tanque (domínio) que irá gerar o maior volume 
(imagem) com um menor custo possível. Para os cálculos de otimização é 
adotado um sistema de coordenadas. O domínio de uma função pode ter suas 
variáveis trocadas de forma a facilitar o trabalho em cálculos, principalmente 
em situações envolvendo curvas intensas (funções quadráticas). Assinale a 
alternativa abaixo que descreve corretamente a importância em se trocar 
os sistemas de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Coordenadas planas e espaciais são úteis em funções quadráticas. 
b) Coordenadas polares e cilíndricas são usadas em simplificações. 
c) Coordenadas esféricas e retas são usadas em simplificações. 
d) Coordenadas retas e cilíndricas são usadas em simplificações. 
e) Coordenadas polares e circulares são usadas em simplificações. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: páginas 37 – 43 
 
Gabarito: letra b. 
a) Incorreta: não existe o sistema de coordenas espaciais. 
b) Correta. Principalmente se tratando de sistemas que possuem curvas 
acentuadas. 
c) Incorreta: não existe o sistema de coordenas retas. 
d) Incorreta: não existe o sistema de coordenas retas. 
e) Incorreta: não existe o sistema de coordenas circulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2: 
 
Funções de duas ou mais variáveis são muito comuns quando se analisa 
sistemas físicos, situações-problemas no dia a dia de empresas ou em 
experimentos científicos. Por exemplo, a função custo de uma determinada 
empresa pode variar com o tempo (t), taxa de juros (i), custo de capital (p). Ou 
seja, a função custo (variável dependente) muda devido a influência de três 
variáveis independentes (t, i, p). Apesar de semelhantes a funções de uma 
única variável, as funções de várias variáveis possuem suas particularidades. 
Sobre estas funções é afirmado: 
 
I – Em uma função f (x,y) pode-se afirmar que x e y são variáveis 
independentes, os pontos (x,y) que podem ser substituídos nela são 
componentes do domínio, e f (x,y) é uma variável dependente, cujos resultados 
são chamados de imagem. 
II – Funções de duas variáveis reais possuem domínio composto por três 
dimensões, sendo que cada variável é considerada uma dimensão e 
juntamente com o valor da função, resulta-se em três. 
III – Funções de duas variáveis podem ter seus gráficos representados em 
duas dimensões. 
IV – Funções de três variáveis tem seu domínio representado em três 
dimensões, ou seja, no espaço. 
 
Estão corretas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) I, II, III e IV 
b) Apenas I 
c) Apenas II 
d) II e III 
e) I e IV 
 
Sugestão de resposta: Aula Conceitual, Unidade I: páginas 30 – 37 
 
Gabarito: letra e. 
I) Correta. 
II) Incorreta. As variáveis de uma função correspondem ao domínio da 
função. Se ela tem duas variáveis ela contém duas dimensões em seu 
domínio. 
III) Incorreta: A representação trata da imagem, ou o gráfico propriamente 
dito. Se tivermos duas variáveis, temos duas dimensões. O cálculo 
envolvendo estas duas variáveis vai gerar o valor da imagem, e, 
portanto o sistema será de três dimensões e não pode ser representado 
em apenas duas dimensões. 
IV) Correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3: 
 
Em diversas situações práticas os problemas de engenharia levam a análises 
de circunferências. Nos grandes centros, por exemplo, diversas construções 
levam a este tipo de forma. A equação de uma circunferência é do tipo 
 ( ) √( ) ( ) . Se esta circunferência está no centro do eixo de 
coordenadas cartesianas, os valores de “a” e “b” são zero, e a equação se 
torna ( ) √ . A respeito da função da circunferência, os 
valores que x, y e f (x,y) podem assumir são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) x, y todos valores reais, f (x,y) negativos 
b) x, y valores positivos, f (x,y) não-negativos 
c) x, y valores negativos, f (x,y) negativos 
d) x, y todos valores reais, f (x,y) todos os valores reais 
e) x, y todos valores reais, f (x,y) não-negativos 
 
Sugestão de resposta: Aula Conceitual, Unidade I 
 
Gabarito: letra e 
A raiz quadrada não admite números negativos, gera uma indeterminação. 
Contudo, como na função “x” e “y” estão elevados ao quadrado, os números 
negativos se tornam positivos, e assim o domínio são todos os valores reais. 
Quanto a imagem, o resultado desta conta sempre será um número positivo 
conforme definição, uma vez que na matemática todos os resultados de raízes 
quadradas devem ser não-negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4: 
 
Como é possível analisar em indústrias, é muito comum encontrar formas 
cilíndricas (tanques de armazenamento de líquidos), esféricas (tanques de 
armazenamento de gases), entre outras. Na análise de funções que descrevem 
estes formatos é mais adequado o uso de coordenadas diferentes das 
retangulares. 
Assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) x, y e z costumam ser usados para coordenadas esféricas. 
b) x, y e z costumam ser usados para coordenadas cilíndricas. 
c) ρ, θ e φ costumam ser usados para coordenadas esféricas. 
d) z, θ e r costumam ser usados para coordenadas esféricas. 
e) z, θ e r costumam ser usados para coordenadas retangulares. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: páginas 37 – 45 
 
Gabarito: c. 
a) Incorreta: coordenadas cartesianas. 
b) Incorreta: coordenadas cartesianas. 
c) Correta. 
d) Incorreta: coordenadas polares. 
e) Incorreta: coordenadas polares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5: 
 
É bastante comum o cálculo de alguns parâmetros dentro de uma unidade 
industrial, como custo de operação, consumo de matéria prima, entre outros, a 
partir de funções predefinidas. Estas funções podem ser obtidas através da 
experiência de trabalho ou mesmo ser oriunda de estudos acadêmicos, 
inclusive fora da unidade. Estas funções tem validades, pois muitas vezes não 
podem ser utilizadas para certos valores, por exemplo, uma equação de 
produtividade não tem significado quando não há pessoas ou máquinas 
trabalhando, neste contexto surge então a ideia de domínio de uma função. 
Leve isso em consideração e julgue as afirmações. 
I – O valor da função f (x,y) = √ calculado em (x,y) = (6,-2) é 2. 
II – A função f (x,y) = √ não pode conter “x” e “y” negativo, uma vez que 
não há raiz de números negativos nos reais. 
III – O valor da função f (x,y) = √ não pode ser um número negativo. 
IV – A função f (x,y) = √ quando (x,y) = (1,0) vale 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) I, II, III e IV. 
b) I, II e IV. 
c) I, III e IV 
d) II e III. 
e) III e IV. 
 
Sugestão de resposta: Aula Conceitual, Unidade I: páginas 30 – 32 
 
Gabarito: letra c. 
I) Correta. 
II) Incorreta. A restrição não é de os valores de “x” e “y” serem positivosmas que (x + y), ou seja, a soma deles seja sempre positiva 
III) Correta: Um número elevado ao quadrado (x²) é sempre positivo e a raiz 
quadrada de um valor (√ ) também é, assim a multiplicação dos 
dois é sempre positiva. 
IV) Correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 6 
 
Funções são importantes ferramentas de cálculo, uma vez que relacionam 
diversas variáveis em uma mesma equação, estabelecendo um vínculo entre 
estas. Sobre funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) f(x,y) = x²/y² quando (x,y) = (0,0) a função não existe. 
b) f(x,y) = ln(x² + y) quando (x,y) tende a (0,0) é 1. 
c) f(x,y) = x – y quando (x,y) tende a (0,0) não existe. 
d) f(x,y) = cos (xy) quando (x,y) tende a (0,0) não existe. 
e) f(x,y) = x² – y² quando (x,y) tende a (1,1) é 1. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: páginas 29 – 37 
 
Gabarito: a. 
a) Correta: Pelo fato de não haver divisão por 0, a função não existe 
quando y = 0. 
b) Incorreta: Quando os pontos são substituídos na função temos ln(0), que 
não existe. 
c) Incorreta: Quando os pontos são substituídos na função temos f (x,y) = 
0, ou seja, existe. 
d) Incorreta: Quando os pontos são substituídos na função temos cos(0), 
que vale 1, portanto existe. 
e) Incorreta: Quando os pontos são substituídos na função temos f (x,y) = 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
 
Toda função possui um domínio, conjunto de pontos que podem ser 
substituídos diretamente na função de forma a obter um resultado. O 
procedimento de analisar o domínio de uma função corresponde em encontrar 
aqueles pontos em que ela não pode ser calculada (não definida). Na função 
f(x,y) = ln (y – x² + 2), por exemplo, para quais valores a função existe? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) y - x² + 2 < 0, pois o argumento deve ter valores exclusivamente negativos. 
b) y > x² - 2, pois o argumento deve ter valores exclusivamente positivos e 
maiores que zero. 
c) y - x² + 2 diferente de 0, pois não podem ser nulos. 
d) y ≥ x² - 2, pois o argumento deve ser não-negativo. 
e) y - x² + 2 ≥ 1, pois o argumento deve ser maior do que a unidade. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: páginas 29 – 37 
 
Gabarito: b. 
a) Incorreta. 
b) Correta. 
c) Incorreta. 
d) Incorreta. 
e) Incorreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 
 
Vetores representam grandezas físicas, muito importantes na física e, 
consequentemente, na engenharia. Na maioria dos problemas são analisadas 
situações envolvendo duas ou três dimensões, pois são mais comuns e de 
mais fácil entendimento. 
Alguns procedimentos matemáticos comuns aos vetores são os produtos 
interno, vetorial e misto, cada um deles relacionando-se a alguma propriedade 
geométrica e espacial. 
Sabendo disso, os produtos interno entre os vetores u = (1,1,1) e v = 
(2,0,3) corresponde a qual valor e qual propriedade está relacionada a 
ele? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) u.v = 3 e se relaciona com a área entre os dois. 
b) u.v = 5 e se relaciona com o ângulo entre os dois. 
c) u.v = 8 e se relaciona com o ângulo entre os dois. 
d) u.v = 5 e se relaciona com a área entre os dois. 
e) u.v = 3 e se relaciona com o ângulo entre os dois. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: página 16 
 
Gabarito: b. 
a) Incorreta: u∙v = (1,1,1) (2,0,3) = 1∙2+1∙0+1∙3 = 2 + 0 + 3 = 5 
b) Correta. 
c) Incorreta. Idem alternativa a. 
d) Incorreta: apesar do resultado estar certo a propriedade a qual o produto 
interno está relacionado é o ângulo entre os dois. 
e) Incorreta: Idem alternativa a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9 
 
Alguns procedimentos comuns aos vetores como o produto vetorial e o produto 
interno podem ser calculados através das coordenadas destes ou através da 
multiplicação de seus módulos pelo seno e cosseno do ângulo formado por 
eles, respectivamente. A alternativa que representa o cálculo dessas 
propriedades para ││u││ = 2 e ││v││ = 1/2 e θ 30°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) u.v (produto interno) = 0,87 e u x v (produto vetorial) = 0,5 
b) u.v (produto interno) = 1 e u x v (produto vetorial) = 1 
c) u.v (produto vetorial) = 1/2 e u x v (produto interno) = 0,87 
d) u.v (produto interno) = 1/2 e u x v (produto vetorial) = 1,73 
e) u.v (produto interno) = 1 e u x v (produto vetorial) = 0,87 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: página 16 
 
Gabarito: a. 
a) Correta: u∙v (produto interno) = ││u││.││v││.cos(30°) = 2.1/2.0,87 = 
0,87 
u x v (produto vetorial) = ││u││.││v││.sen(30°) = 2.1/2. 0,5 = 0,5 
b) Incorreta. 
c) Incorreta. 
d) Incorreta. 
e) Incorreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
 
A análise gráfica é muito importante em diversos ramos da Engenharia. Um 
gráfico pode indicar a evolução de reclamações de clientes ao longo do tempo 
e permitir uma análise visual dos períodos com maiores índices de 
reclamações. Essa análise é interessante, pois permite investigar os problemas 
de qualidade no tempo em que foram gerados, facilitando a identificação das 
causas. Um plano no espaço pode indicar a variação da quantidade de 
reclamações em função da quantidade de serviços ofertadas e a sazonalidade 
em relação à procura do serviço. Referindo-se ao desenho do gráfico de 
uma função de várias variáveis pode-se afirmar que em uma função cujo 
gráfico é um plano possui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Coordenada x de segundo grau e o restante de primeiro. 
b) Coordenada y de segundo grau e o restante de primeiro. 
c) Coordenada z de segundo grau e o restante de primeiro. 
d) Todas as coordenadas de segundo grau. 
e) Todas as coordenadas de primeiro grau. 
 
Sugestão de resposta: Livro, Unidade I: páginas 29 – 32 
 
Gabarito: e. 
a) Incorreta. 
b) Incorreta. 
c) Incorreta. 
d) Incorreta. 
e) Correta: para o gráfico de uma função ser um plano ele deve conter 
apenas variáveis de primeiro grau.