CAP. 7 VAR. ALEAT

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93 
CAPÍTULO 7 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
A probabilidade teve início com os jogos de azar (século XVII) com Cavaleiro de Nere, Fermat, Pascal, 
porém, coube a Bernoulli (1713) lançar as bases da probabilidade e a seguir Laplace fez grandes contribuições. 
 
1. Conceito de variável aleatória 
 
 Classe de alunos de variável aleatória 
 aspectos 
 alturas ( ) 
 pesos ( ) 
 idades ( ) 
 procedências ( ) 
 sexo (0,1) 
 
 S : espaço amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 Espaço amostral discreto 
( )X S
:conjunto imagem 
A função X (variável aleatória ) associa a cada 
ia S
 um único valor 
( )iX a

. 
 
Variável aleatória discreta 
 
 Seja X é uma variável aleatória definida em S com valores possíveis de X finito ou enumerável, dizemos 
que X é variável aleatória discreta. 
 
Variável aleatória contínua 
 
 Seja X é uma variável aleatória definida em S com valores no intervalo de números reais. Nessas 
condições, X denomina-se variável aleatória contínua. 
 
Exemplo 1: 
Seja o espaço amostral S obtido pelo lançamento de dois dados. Neste caso S é dado por: 
 
 
 (1,1),(1,2),..., (6,6)S 
 e tem 36 elementos. Definimos a variável aleatória X por: 
X: associa a cada ponto 
( , )ia a b S 
 a sua soma 
a b
, nesse caso o conjunto imagem é dado por: 
 ( ) 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12X S 
 
 
Exemplo 2: 
Retirando-se 2 bolas sem reposição de um urna com 2 bolas brancas e 3 vermelhas, definimos a variável 
X : número de bolas vermelhas. 
ia
 
( )iX a
 
 94 
 . 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
2. Função probabilidade 
 
Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., .nx x x x
 
Se a cada valor 
ix
 associamos um número 
( )ip x  ( ),ip x x
probabilidade de 
ix
, tal que: 
 
 a) 
( ) 0,ip x 
 para todos 
ix
 e 
 b) 
1
( ) 1
n
i
i
p x


, a essa função 
( )ip x
 denominamos função de probabilidade da variável aleatória 
discreta X. 
 
 Do exemplo 02 podemos escrever a distribuição na variável discreta X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A distribuição de probabilidade na variável discreta X : número de bolas vermelhas é 
 
( )ip x
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/10 6/10 3/10 
 
 
 0 1 2 
ix
 
 
Exemplo 3: 
No lançamento de duas moedas, dar a distribuição de probabilidade da variável número de caras (C), 
sendo K número de coroas e sua representação gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados possíveis 
ix
 
Probabilidade 
( )ip x
 
X 
BB 
BV 
VB 
VV 
2/5.1/ 4 1/10
 
2/5.3/ 4 3/10
 
3/5.2/ 4 3/10
 
3/5.2/ 4 3/10
 
0 
1 
1 
2 
Resultados possíveis probabilidade X 
KK 
CK 
KC 
CC 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
 
0 
1 
1 
2 
BB
BV 
VB 
VV 
0 
1 
1 
2 
 
0,6 
 
0,3 
0,1 
 95 
 A distribuição de probabilidade na variável discreta X : número de caras é: 
 
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/4 2/4 1/4 
 
 
Exemplo 4: 
Construir a distribuição de probabilidade da variável X do exemplo 01 e dê sua representação gráfica. 
 
i
x
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
( )
i
p x
 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
 
 
( )
i
p x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
x
 
 
 
3. Função de distribuição acumulada. 
 
 Seja X uma variável aleatória discreta. Denomina-se Função de distribuição acumulada de um ponto x, 
como a soma das probabilidades dos valores 
ix
menores ou iguais a x, isto é, 
 
( ) ( )
i
i
x x
F x p x


 
Exemplo 5: 
Calcule 
( )F x
 para o exercício 02 sendo x=2, x=5,x=13 e x=3,5 
Resolução 
 
2
(2) ( ) 1/36
i
i
x
F p x

 
 
 
5
(5) ( ) 10/36
i
i
x
F p x

 
 
 
13
(13) ( ) 1
i
i
x
F p x

 
 
 
3,5
(3,5) ( ) 3/ 36
i
i
x
F p x

 
 
Exemplo 6: 
No lançamento de três moedas definimos X: número de caras. Determinar 
a) O espaço amostral S. 
 , , , , , , ,S ccc cck ckc kcc ckk kck kkc kkk
 
 96 
 
b) Dar a distribuição de probabilidade da variável número de caras e sua representação gráfica. 
 
ix
 0 1 2 3 
 
( )ip x
 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
c) Dar a probabilidade de ocorrerem no máximo 2 caras. 
 
( 2) 1/8 3/8 3/8 7/8p x     
 
d) Definir a Função de distribuição acumulada, lembrando que
( ) ( )
i
i
x x
F x p x


 
0, 0
1/8, 0 1
( ) 4 /8, 1 2
7 /8, 2 3
1, 3
se x
se x
F x se x
se x
sex

  

  
  


 
 
Exercícios de aplicação 20: 
 1. Seja X variável aleatória discreta definida por: 
 
 1/5 1
( )
4 /5 0
se x
f x
se x

 

 
 então, a Função de distribuição acumulada é dada por 
 
0 0
( ) 4 /5 0 1
1 1
se x
F x se x
se x


  
 
 
 
Dê o gráfico de 
( ) ( )f x eF x
. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja X a variável aleatória discreta que assume os valores 0,1 e 2, tendo as probabilidades 1/3,1/6 e 1/2 
respectivamente. Determinar: 
a)A função distribuição acumulada 
( )F x
. 
 
 
 
 
 
 97 
b) O gráfico de 
( ).F x
 
 
 
 
 
 
 3. No lançamento de um dado define-se variável aleatória X: número de pontos obtidos. Definir a função 
distribuição acumulada e dar seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Valor esperado ou Esperança de uma variável aleatória discreta ou média 
 
 Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., nx x x x
, e 
1: ( ),P p x
 
2
( ),p x
 
3
( ),p x
...,
( ),
n
p x
suas respectivas probabilidades, então denomina-se valor esperado ou esperança matemática de 
X e se indica por E(X) a soma dos produtos dos valores da variável X pelas respectivas probabilidades. 
 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
 
Observação: E(X) é também denominada Média ou valor médio. 
 
 Exemplo 7: 
No lançamento de duas moedas, determinar a 
(a) distribuição de probabilidade da variável número de caras, 
(b) sua representação gráfica e 
(c) o valor médio. 
(a) 
Resultados possíveis probabilidade X 
CC 
CKKC 
KK 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
 
2 
1 
1 
0 
 
(b) A distribuição de probabilidade na variável discreta X , número de caras é: 
 
ix
 0 1 2 
 
( )ip x
 1/4 2/4 1/4 
 98 
(c) 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
=
0.1/4 1.1/2 2.1/4 1  
(Média) 
 
Exemplo 8: 
Um par de dados é lançado e definimos a variável X como: 
 X: variável aleatória que associa a cada ponto 
( , )a b S
 o maior desses valores, isto é, 
 ( , ) max , .X a b a b
 Determinar E(X). 
Solução: Neste caso S é dado por 
 (1,1),(1,2),..., (6,6)S 
 e tem 36 elementos. 
 
 1( 1) ( (1,1) 1/36p x p  
 
 
 2( 2) ( (1,2),(2,1),(2,2) 3/36p x p  
 
 3( 3) ( (1,3),(3,1),(3,2),(2,3),(3,3) 5/36p x p  
 
.......... 
 6( 6) ( (1,6),(2,6),(3,6),..., (6,6) 11/36p x p  
 
 
X 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
6
x
 
i
x
 1 2 3 4 5 6 
( )ip x
 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/6 
 
Usando a fórmula segue: 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
=1.1/36+2.3/36+3.5/36+4.7/36+5.9/36+6.11/3= 
( )E X
 = 161/36 = 4,47 
 
Exemplo 9: Calcule a esperança para as distribuições de probabilidade discretas. 
 a) 
X 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
i
x
 -2 -1 0 1 2 
( )ip x
 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
 
E(X) = 0 
 
 b) 
2x
 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
i
x
 4 1 0 
( )ip x
 2/5 2/5 1/5 
 
E(X
2
) = 4.2/5+1.2/5+0.1/5 = 10/5 = 2=
2( ) 2E X 
 
 c) 
2x
 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
5
x
 
i
x
 -4 -2 0 2 4 
( )ip x
 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
 99 
 
E(X) = 0 
Observação: 
2 2( ) 2 [ ( )] 0E X E X  
 
 
Exemplo 10: 
Qual a esperança matemática em um jogo que paga ao jogador R$ 6,00 se obtém cara e R$ 8,00 se 
obtém coroa ? 
 
X 
1
x
 
2
x
 
i
x
 6 8 
( )ip x
 1/2 1/2 
 
 
5.Teoremas: 
 
1) Mostre que 
( )E k k
. 
A variável é dada por X: k, k, k, k,..., k ( n valores k), logo a esperança matemática é dada por: 
 
1
( ) ( )
n
i i
i
E k x p x

  ( )k p k  ( )k p k  ( )k p k 
...+
( )k p k 
 
1
( ) ( )
n
i
i
E k k p k k

 
, sendo 
( ) 1/p k n
 
 
2) Mostre que 
( ) ( )E kX k E X
. 
A variável é dada por X: 
1
,kx
 
2
,kx
3
,kx
...,
n
kx
, logo a esperança matemática é dada por: 
1
( ) ( )
n
i i
i
E kX x p x

  1 1( )k x p kx  2 2( )k x p kx 
...+
( )
n n
k x p kx
. 
Pondo k em evidência e lembrando que 
( ) ( )
n n
p kx p x
, segue: 
( )E kX 
1 1
( )k x p x 
2 2
( )k x p x 
...+
( )
n n
k x p x
=
1
( ) ( )
n
i i
i
k x p x kE X


 
 3) 
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y  
 
 4) 
( ) ( ) ( )E aX bY aE X bE Y  
 
 
Exemplo 11: 
Se é um dia que chove um vendedor de guarda-chuvas ganha R$ 300,00, mas, se não chove perde 
R$ 15,00. Considerando-se a probabilidade de chover num determinado dia é de 30%, determinar 
( ).E X
 
( ) 300 0,3 15 0,7 79,50E X     
 
6. Variância 
Sejam X a variável aleatória discreta e seus possíveis valores 
1 2 3, , ,..., nx x x x
. 
Denomina-se variância de uma variável aleatória X e indica-se por 
 Var(X) = 
2 ( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
 
 
 
( )E X 
6.1/2+8.1/2 = R$ 7,00 
 100 
 Mostremos que a Var(X) = 
2 ( )X
= 
2 2( ) [ ( )]E X E X
 
 Podemos escrever Var(X) = 
2 ( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
= 
2[ ( )]E X E X
desenvolvendo o 
quadrado, segue: 
2 2 2 2[ 2 . ( ) [ ( )] ] ( ) 2 ( ). ( ) [ ( )]E X X E X E X E X E X E X E X     
 
2 2( ) [ ( )]E X E X
. 
 
 
7. Desvio padrão 
 
 A raiz quadrada da variância denomina-se desvio padrão: 
( ) ( )X Var X 
 
 
Exemplo 12: 
Um jogo consiste no lançamento de um dado. Se sair um número par, a pessoa ganha uma quantia 
equivalente ao triplo do ponto tirado; se sair um número ímpar a pessoa paga o quádruplo do ponto obtido. 
Determinar: a) Esperança b) Variância c) Desvio padrão 
 
Evento 
i
x
 
( )
i
p x
 
( )
i i
x p x
 
( )
i
x E X
 
2[ ( )]
i
x E X
 
2[ ( )] ( )
i i
x E X p x
 
1 -4 
2 6 
3 -12 
4 12 
5 -20 
6 18 

 0 177,3 
a) 
1
( ) ( )
n
i i x
i
E X x p x 

 
= 0 
b) 
2 ( )X 2
1
[ ( )] . ( )
n
i i
i
x E X p x

 
=177,3 
c) 
( ) ( )X Var X 
=13,31 
 
Teoremas: 
 
 1) 
( ) 0Var k 
 
2( ) [ ( )] [ ] 0Var k E k E k E k k    
 
 
2) 
2( ) ( )Var kX k Var X
 
 
2 2( ) [ ( )] [ ( )]Var kX E kX E kX E kX kE X   
2 2 2[ ( )] ( )k E X E X k Var X  
 
 
3) Se 
eX Y
 são variáveis independentes, então 
 
( ) ( ) ( )Var X Y Var X Var Y  
 ou 
2 2 2( ) ( ) ( )X Y X Y    e seu desvio padrão é 
 
 
2 2( ) ( ) ( )X Y X Y     
4) Se 
eX Y
 são variáveis dependentes, então 
( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
 101 
Demonstração: 
 
2 2( ) [( ) ] [ ( )]Var X Y E X Y E X Y     
 
2 2 2[ 2 ] [ ( ) ( )]E X XY Y E X E Y    
 
 
 
2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 ( ). ( ) [ ( )]E X E XY E Y E X E X E Y E Y    
 , simplificando os termos 
semelhantes segue: 
 
( )Var X Y 
 (
2 2( ) [ ( )]E X E X
)+(
2 2( ) [ ( )]E Y E Y
)+
2[ ( ) ( )( ( )]E XY E X E Y
, portanto, 
 
 
( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
5) 
2 2( ) ( ) ( ) 2 ( , )Var aX bY a Var X b Var Y abCov X Y   
 
8. Covariância 
 A covariância é uma medida da força da relação entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y e 
representamos por Cov(X,Y). 
 O valor que mede o grau de dependência entre as duas variáveis aleatórias denominamos covariância. 
 
 Se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas a covariância é definida por: 
 
 
( ) ( , ) [( ( ))( ( ))]I Cov X Y E X E X Y E Y  
, ou seja o valor médio do produto dos desvios de X e Y em 
relação às suas respectivas médias. 
 
 Outra maneira de escrever sua fórmula, é dada desenvolvendo o produto, assim: 
 
 
( ) ( , ) [( ( ))( ( ))]I Cov X Y E X E X Y E Y  
=
[ ( ) ( ) ( ) ( )]E XY XE Y YE X E X E Y  
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E XY E X E Y E Y E X E X E Y   ( ) ( ) ( )E XY E X E Y
 
 
 
( , )Cov X Y  ( ) ( ) ( )E XY E X E Y
 
Observação: 1) Se a covariância é positiva, isso indica que grandes valores de uma variável X estão associados a 
grandes valores da variável Y. 
 2) Se a covariância é negativa, isso indica que grandes valores de uma variável X estão associados 
a pequenos valores da variável Y. 
 
Exemplo 13: 
Uma indústria produz aveia e as empacota em caixas por meio de uma máquina que é regulada para 
pesar em média 200 g e desvio padrão 4 g. Se a embalagem (caixa) tem peso médio constante de 24 g e desvio 
padrão de 1 g, então nestas condições qual a média e o desvio padrão do peso bruto da caixa de aveia? 
Solução: 
Sejam X : peso do material aveia, logo 
 
2 2( ) 200 , ( ) 4 16X g X g e g     
 Y: peso da embalagem, logo2 2( ) 24 , ( ) 1 1Y g Y g e g     
 
 Z: peso bruto da caixa, logo 
Z X Y 
 
 
 
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y  
= 200+24=224g 
 
 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )Z X Y X Y      = 216 1 17g  e tem desvio padrão ( ) 17 4,123Z g  . 
 102 
Exercícios de aplicação 21: 
 
1. Seja X uma variável aleatória com E(X)=10 e Var(X)=100 e sejam Z e Y variáveis aleatórias definidas por 
2 2 6.Z x e Y x  
 Calcular 
) ( ) ) ( )a Var Z b Var Y
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Seja X uma variável aleatória com E(X)=50 e 
2 64x 
 e sejam Z e Y variáveis aleatórias definidas por 
( )
( ).
x
X E X
Z e Y X E X

  
 Calcular 
) ( ) ) ( ) ) ) ( )a E Y b Var Y c Z d Var Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.Uma indústria produz camisas cujos pesos unitários (X) tem distribuição normal com média 50 g e desvio 
padrão 3g. Essas camisas são colocadas em caixas com três unidades. As caixas vazias também tem 
distribuição normal (Y) com média 40 g e desvio padrão 2 g. Calcular a probabilidade do peso total (T) ser 
superior a 180 gramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Na distribuição de Bernoulli definimos a variável 
 1 11(sucesso) e ) X p x p 2 2 e 0 (fracasso) e ( )X p x q 
. Determinar a) E(X) b) Var(X). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 103 
5. Um medicamento tem probabilidade 0,4 de cura. Se 10 pessoas são submetidas a esse tratamento, 
determinar, 
a) E(X) 
 
 
b) Var(X) 
 
 
c) a probabilidade de que pelo menos 1 seja curado. 
 
 
 
 
6.Em finais de semana o número de mortes por afogamento nas praias de Santos é de 2 mortes para cada 
60 000 banhistas. Em um fim de semana com 150 000 banhistas, determinar, 
a) E(X) 
 
 
b) Var(X) 
 
 
 
c) a probabilidade de ocorrer 4 afogamentos. 
 
 
 
9. Função de distribuição na variável contínua 
 
9.1. Variável aleatória contínua. 
 Seja X uma variável aleatória. Se seu contradomínio for um intervalo de números reais, então diremos 
que X é uma variável aleatória contínua. 
 
9.2. Função densidade de probabilidade 
 
Seja X uma variável aleatória continua definida em S e com valores no intervalo dos números reais. 
Uma função f denomina-se função densidade de probabilidade, e se indica abreviadamente por fdp, se f satisfaz 
as condições: 
 
) ( ) 0, para todo 
) ( ) 1
a f x x S
b f x dx


 

 
f
f(x)
x
 
 104 
Observações: a) 
( )p a x b 
=
( )p a x b  ( )p a x b   ( ) ( )
b
a
p a x b f x dx   
 
 b) 
( )E X 
 
( )
b
a
xf x dx
 
 c) Var(X)= 
2[ ( )] ( )x E X f x dx



 
Exemplo 14: 
Verifique se 1/10(2 3) 0 2
( )
0 0 2
x se x
f x
se x ou x
  
 
 
 é uma fdp e calcule a E(X). 
 
Solução: Devemos verificar que: 
 
a)
( ) 0 vale para todo realf x 
 
b) 2
0
( ) 1/10 (2 3)f x dx x dx


   
 
2 2
0
1
( 3 ) |
10
x x 
 1/10(4+6) = 1 
c) 
( )E X 
 
( )
b
a
xf x dx
= 3 22
0
22 3
1/10 (2 3) 1/10[ ] |
03 2
x x
x x dx   
1,133 
 
Observação: Neste caso a função distribuição de probabilidade é dada por: 
 
2
0, 0
( ) 1/10( 3 ) 0 2
1 2
se x
F x x x se x
se x


   
 
 
 
 
10. Distribuição Uniforme 
 
 Uma variável aleatória X tem Distribuição Uniforme no intervalo [a,b] se sua função densidade de 
probabilidade é tal que 
 
 
1
( )
0, caso contrario
se a x b
f x b a

 
 

 
Exemplo 15: 
A produção de camisas de uma costureira varia de 15 a 60 camisas. A experiência mostra que essa 
variação é uniforme. Qual a probabilidade de que uma costureira produza de 35 a 50 camisas? 
 
 
 
 1/45 
(35 50) 15/ 45 0,333p x   
 
 x 
 15 60 
 
 105 
 
Exemplo 16: 
Seja a função densidade de probabilidade da variável X dada por: 
 
1
2 6
( ) 4
0, 2 6
se x
f x
se x ou x

 
 
  
 
 Verifique se é uma f d p e determine a função distribuição de probabilidade. 
 
Solução: A função distribuição de probabilidade é dada por, 
 
2
2
1 1 1
( ) | ( 2)
4 4 4
x
xF x dt t x   
 e escrevemos 
 
 
0, 2
( ) 1/ 4( 2), 2 6
1, 6
se x
F x x se x
se x


   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Distribuição Exponencial 
 
Seja a função densidade de probabilidade da variável X dada por: 
 
, se 0, 0
( )
0, para qualquer outro valor de 
xe x
f x
x
   
 

 
a) A função distribuição de probabilidade é dada por 
0 0
( ) ( ) ( ) ( 1 , 0
x x
t xF x p X x f x dx e dt e x          e 
 
( ) 0,F x 
para qualquer outro valor de 
0.x 
 
b) Esperança 
E(X) 
0
0 0 0
( ) ( |x x xxf x dx x e dx xe e dx               
 
0 0 0 0
1
| | lim( ) | lim |
x
x x t x t
t t
e
xe xe e
   

    
 
      
1 1 1
lim 0 limt t
t t
te e   
 
 
 
     
 
 
 c)Variância 
 
 
22( ) ( ) ( )Var X E X E X 
 
6 2 
F(x) 
 106 
Calculando primeiramente 
2 2 2
2
0 0
2
( ) ( ) xE X x f x dx x e dx 
 
   
, segue 
 
 
22( ) ( ) ( )Var X E X E X 
=
2 2 2
2 1 1
.
  
 
 
 
 Exemplo 17: 
Verifique se 
2( ) 2 xf x e
 é função densidade de probabilidade para 
0x 
. 
 
a) A função exponencial
2( ) 2 xf x e
 é sempre positiva. 
b) 
2
0
( ) (2 tf x dx e dt
 


   limx
2 2
0
2 lim( 1)
x
t x
x
e dt e 

  
= 1
1 1
e
 
, isto mostra que 
2( ) 2 xf x e
é uma fdp. 
 
Exercícios de aplicação 22: 
 
1. Seja X uma v. a. contínua com fdp dada pela lei 
0, 0
, 0 1
( )
(2 ), 1 2
0, 2
se x
k se x
f x
k x se x
se x

  
 
  
 
 
Determinar 
a) k para que seja uma fdp. 
 
 
 
 
 
b) 
( 1,5)p x 
 
 
 
 
 
c) E(X) 
 
 
 
 d)
2( )E X
 
 
 
 
 
e) Var(X) 
 
 
 
 
 
 107 
 2. Seja X uma variável continua com função distribuição acumulada definida por: 
 
0 0
( )
1 0x
se x
F x
e se x

 
 
 
 Determinar a função densidade de probabilidade fdp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.Seja X a variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade fdp
( )f x
 dada por: 
 2 0 1
( )
0, quaisquer outros valores de 
x se x
f x
x
 
 

 
 Determinar 
( )F x
 e seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 108 
 4.Seja X a variável aleatória contínua com fdp dada por
( )f x
 
 
 2 1000 2000
( )
0, para quaisquer outros valores
ax se x
f x
  
 

 
 Sabe-se que X representa a duração da vida (em horas) de lâmpadas fluorescentes compactas de 25 w. 
Determinar 
 
a) O valor de a para que 
( )f x
 seja fdp. 
 
 
 
 
 
b) Determinar E(X) 
 
 
 
 
 
 
c) Determinar Var(X) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.O diâmetro X dos eixos das rodas de motos é uma variávelaleatória contínua com fdp dada por: 
 
 23 (2 ), 0 1
( ) 2
0, 0 1
x x se x
f x
se x ou x

  
 
  
 
Calcular a probabilidade de 
 
a) 
(0 0,5)p x 
 
 
 
 
 109 
b) 
( 2)p x 
 
 
 
 
c) Definir F(x) 
 
 
 
 
 
 
 
6. O departamento de estoque da empresa ABS informa que a fdp de que todo estoque disponível para que 
seja atendido por semana, de pedidos, é 
 
 
2( ) 1/ 2( 3 3), 0 1f x x se x    
 e 0 caso contrário. 
a) Verifique se 
( )f x
 é uma fdp. 
 
 
 
 
 
 
 
b)Determinar a probabilidade de que no máximo 60% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 
 
 
c) Determinar a probabilidade de que pelo menos 50% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 
 
 
 
7. O departamento de estoque da empresa informa que a fdp de que todo estoque disponível para que seja 
atendido por semana de pedidos é 
23( ) , 0 2
8
f x x se x  
, 0, caso contrário. 
 
 a) Verifique se 
( )f x
 é uma fdp. 
 
 
 
 
b) Determinar a probabilidade de que no máximo 70% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 110 
 
 
 c) Determinar a probabilidade de que pelo menos 60% dos pedidos sejam atendidos. 
 
 
 
 
d) Dar a lei F(x) e seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
8.Seja X uma variável aleatória contínua com valores no intervalo [0,5] e com fdp dada pela lei
( ) 0,08f x x
. 
a) Verificar se é uma fdp. 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de 
 
 i) 
(0 2)p x  
 
 
 
 ii) 
(1 4)p x  
 
 
 
 iii) 
( 3)p x  
 
 
 
 
 iv) 
( 3)p x  
 
 
 
9.Seja X uma variável aleatória contínua e tem fdp dada pela lei 2/ , 100
( )
0, 100
k x se x
f x
se x
 
 

. 
a)Verificar se é uma fdp. 
 
 
 
 
 
 
b)Calcular 
( 120)p x 
 
 
 
 
 
 111 
10. Seja X uma variável aleatória contínua com valores no intervalo [1,3] e tem fdp dada pela lei. 
1, se 1 2
( ) 3, se 2 3
0, caso contrário.
x x
f x x x
  

    


 a) Dar o gráfico. 
 
b) Verificar se 
( )f x
 é fdp. 
 
 
 
 
 
c) Determinar E(X) 
 
 
 
 
 
 
 
d) d)Determinar 
( )X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 23: 
 1.A demanda de macarrão num supermercado em centenas de quilos é uma v.a. contínua com fdp dada pela 
lei
2 / 3 , se 0 1
( ) / 3 1, se 1 3
0, caso contrário.
x x
f x x x
 

    


 
a) Verificar se 
( )f x
 é fdp. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de se vender mais que 150kg num dia escolhido ao acaso? 
 
 
 
 
 
 
 112 
c) Em trinta dias, quanto o gerente do supermercado espera vender? 
 
 
 
 
 
 
d) Quantos quilos se esperam vender num dia escolhido ao acaso para atender 95% dos pedidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja X uma variável continua com função distribuição acumulada definida por: 
 
0, 0
( ) / 2, 0 2
1, 2
se x
F x x se x
se x


  
 
 
 
Determinar: 
a) A função densidade de probabilidade fdp. 
 
 
 
 
 
 
b) 
( 1,5).p x 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
( 2,4).p x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 113 
3. A duração em milhares de horas de um componente eletrônico, é uma v.a. X, com fdp dada por 
 
 0,10,1 , 0
( )
0 , 0
xe se x
f x
se x
 
 

 
 
a) Dar o gráfico de 
( )f x
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de que um componente escolhido ao acaso dure 
 
b1) menos que 4 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 b2) dure entre 5 000 e 10 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 b3) dure mais que 15 000 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 114 
 
12. Distribuição conjunta de variáveis aleatórias 
 
 Nos problemas utilizados até agora o experimento era registrado por um único elemento. Todavia, há 
casos que necessitamos representar por dois elementos. Exemplo: altura e peso. 
 Definimos assim duas variáveis aleatórias: X e Y. 
 Seja S um espaço aleatório associado a um experimento aleatório e duas variáveis 
 
 1 2 3( ) , , ,..., nX X S x x x x 
 e 
 1 2 3( ) , , ,..., nY Y S y y y y 
 
 
 
 
 Denominamos (X,Y) uma variável aleatória bidimensional e definimos probabilidade conjunta por: 
 
 
 
: ( ) ( )
, ( ; ) ( , )i j i j i j
h S S X S Y S
x y P X x Y y h x y
  
  
 
Satisfazendo: 
 1) 
( , ) 0i jP x y 
 
 2) 
1 1
( , ) 1
n n
i j
i j
p x y
 

(Discreta) ou 
( , ) 1f x y dxdy


 (contínua) 
Exemplo 1: 
 Em uma urna tem-se 3 bolas numeradas de 1 a 3.Retirando-se 2 bolas sem reposição, definimos os 
eventos: 
 X: número da primeira bola e 
 Y: número da segunda bola. 
 
Distribuição Conjunta 
 
X 1 1 2 2 3 3 
Y 2 3 1 3 1 2 
Prob. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
Logo podemos escrever: 
( , ) ( ). ( / )i j i j iP x y p x p y x
 
1 1
(1,2) (1). (2 /1) . 1 / 6
3 2
p p P  
 
S
( )X S
( )Y S
 115 
1 1
(2,1) (2). (1 / 2) . 1 / 6
3 2
p p P  
 
Exemplo 2: 
 Distribuição conjunta. 
Outra forma para representar distribuição conjunta é a tabela de dupla entrada. 
Assim, 1 1 1
(2,3) (2). (3/ 2) .
3 2 6
p p p  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos probabilidades marginais por: 
 Probabilidades marginais de X : 
1
( ) ( , )
n
i i j
j
p x x p x x y y

    
( 1) ( 1, 2) ( 1, 3) 1/3p x p x y p x y       
 
( 2) ( 2, 1) ( 2, 3) 1/3p x p x y p x y       
 
( 3) ( 3, 1) ( 3, 2) 1/3p x p x y p x y       
 
 Probabilidades marginais de Y: 
( )jp y y 
1
( , )
n
i j
j
p x x y y

 
 
( 1) ( 2, 1) ( 3, 1) 1/3p y p x y p x y       
 
( 2) ( 1, 2) ( 3, 2) 1/3p y p x y p x y       
 
( 3) ( 1, 3) ( 2, 3) 1/3p y p x y p x y       
 
 
Exemplo 3: 
Usando o mesmo exemplo e nele definimos duas novas variáveis: 
 
 i) X + Y e ii) X.Y , assim temos a distribuição: 
 
(X,Y) X+Y X.Y Prob. 
(1,2) 3 2 1/6 
(1,3) 4 3 1/6 
(2,1) 3 2 1/6 
(2,3) 5 6 1/6 
(3,1) 4 3 1/6 
(3,2) 5 6 1/6 
 
Construindo as distribuições para X+Y e X.Y, seguem 
 
X Y 1 2 3 
( )ip x
 
1 0 1/6 1/6 1/3 
2 1/6 0 1/6 1/3 
3 1/6 1/6 0 1/3 
( )jp y
 1/3 1/3 1/3 1 
 116 
X+Y 3 4 5 
 Prob. 1/3 1/3 1/3 
 
X.Y 2 3 6 
Prob. 1/3 1/3 1/3 
 
Calcular 
E(X)= 2 
 
E(Y)=2 
 
E(X+Y)=4 
 
E(X.Y)= 11/3 
 
Exemplo 4: 
 Usando o mesmo exemplo e nele façamos a reposição da bola retirada. Determinar: 
 
a) E(X). b) E(Y). c) E(X.Y). 
Solução: 
Escrevendo a distribuição conjunta e representandona tabela de dupla entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: As distribuições marginais são iguais, porém, a distribuição conjunta é diferente. 
 
 
 
Determinar: 
a) E(X)= 2 
b) E(Y)= 2 
c) E(X.Y)=4 
d) Verifique que E(X.Y)= 4= E(X). E(Y) 
 
Exemplo 4: 
 Seja a distribuição conjunta de probabilidades na variável (X,Y). 
 
 
 
 
Determinar 
a) E(X) e E(Y) b)Var(X) e Var(Y) c) 
( ) e ( )X Y 
 d) E(2X+3Y) 
 
Solução: Completando a distribuição de probabilidades, segue: 
 
X Y 1 2 3 
( )ip x
 
1 1/9 1/9 1/9 1/3 
2 1/9 1/9 1/9 1/3 
3 1/9 1/9 1/9 1/3 
( )jp y
 1/3 1/3 1/3 1 
X.Y 1 2 3 4 6 9 
Prob. 1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9 
X Y 0 1 2 3 
0 1/8 2/8 1/8 0 
1 0 1/8 2/8 1/8 
 117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) E(X) =0,5 
 
 E(Y)=1,5 
 
b)Var(X)=1/4 
 
 Var(Y)=3/4 
 
c)
( )X
=1/2 
 
 
( )Y
=0,87 
 
d) E(2X+3Y)=5,5 
 
e) Cov(X,Y)=0,25 
 
Exercícios de aplicação 24: 
1. No lançamento de 1 dado definimos as variáveis aleatórias: 
X: a face voltada para cima, 
 Y: a face voltada para baixo. Determinar 
 a) E(X) 
 
 b) E(Y) 
 
 c) E(XY) 
 
d) Cov(X,Y) 
 
 
2. Seja a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y dada por: 
 
 
 
 
Determinar 
a) p(x=4) 
 
b) p(y=2) 
 
X Y 1 2 3 
4 0,2 0,3 0,1 
5 0,2 0,05 0,15 
X Y 0 1 2 3 
( )p x
 
. ( )x p x
 
2. ( )x p x
 
0 1/8 2/8 1/8 0 4/8 0 0 
1 0 1/8 2/8 1/8 4/8 4/8 4/8 
( )p y
 1/8 3/8 3/8 1/8 1 E(X)=4/8 E( 2X )=4/8 
. ( )y p y
 0 3/8 6/8 3/8 E(Y)=12/8 
2. ( )y p y
 0 3/8 12/8 9/8 E( 2Y )=24/8 
 118 
 
3. Uma fábrica de autopeças trabalha em dois turnos. A empresa preocupada com as faltas de seus operários 
resolveu analisar o número de faltas em cada turno. Seja X: número de faltas no turno diurno e Y: número de 
faltas no turno noturno. Essa avaliação foi feita durante 4 meses e obteve-se a seguinte distribuição de 
probabilidades. 
 
 
 
 
 
Determinar: 
a)Probabilidades marginais de X. 
 
 
 
 
 
 
b)Probabilidades marginais de Y. 
 
 
 
 
c)E(X) 
 
 
 
d)E(Y) 
 
 
 
X Y 0 1 2 3 
0 0,05 0,05 0,10 0 
1 0,05 0,10 0,25 0,10 
2 0 0,15 0,10 0,05