Estatística - Poli - Aulas 14, 15 e 16 Testes de Hipoteses

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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Aulas 14, 15 e 16 
Testes de Hipóteses 
Profs. 
Fernando Tobal Berssaneti 
André Leme Fleury 
Renato de Oliveira Moraes 
Leandro Alves Patah 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Introdução aos Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• Testes de hipóteses são o 2º tipo de problema em Estatística Indutiva (o 
1º foi o problema de estimação) 
 
• Testes paramétricos: referem-se a hipóteses sobre parâmetros 
populacionais 
 
• Parte-se da premissa de que exista uma hipótese, a qual será considerada 
válida até prova em contrário, acerca de um dado parâmetro da 
população 
 
• A hipótese será testada com base em resultados amostrais, sendo aceita 
ou rejeitada 
Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• Exemplos de hipóteses: 
– Considerações teóricas: probabilidade de dar cara no lançamento de uma moeda seja 
igual a 0,5 
– Considerações empíricas: o diâmetro de uma peça seja normalmente distribuído 
 
• Diferença entre testes de hipóteses e problemas de estimação: 
– Aqui parte-se da consideração de uma hipótese vigente 
– Lá parte-se do desconhecimento de um certo aspecto da realidade 
 
• Semelhança entre testes de hipóteses e problemas de estimação: 
– Estimação é feita com base em uma variável convenientemente escolhida em função 
dos elementos da amostra, o estimador, o qual deve observar alguns critérios para sua 
escolha 
– Em testes de hipóteses baseamos nossas conclusões em variáveis calculadas a partir 
da(s) amostra(s) disponível(eis) e os critérios para escolha do estimador orientam a 
escolha da variável aleatória adequada para o teste 
Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Testes de Hipóteses 
Erros relativos aos testes de hipóteses 
Testes de hipóteses para média, variância 
e proporção 
Testes de hipóteses para comparação de 2 
médias, 2 variâncias e 2 proporções e de 
independência entre variáveis 
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POPULAÇÃO 
AMOSTRA 

2

x
2Sx
'p
Parâmetros populacionais 
Testes de Hipóteses 
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Testes de Hipóteses 
Demonstração por “absurdo” 





1
0
H
H
Hipótese a ser testada 
Hipótese alternativa 
Verdadeira até prova em contrário 
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Notação: 
 
H0 = hipótese nula a ser testada 
H1 = hipótese alternativa 
Com base nos resultados da amostra, quer se testar uma certa 
hipótese (considerada como válida, até prova em contrário), 
a respeito de um parâmetro da população. 
Ex: o réu é inocente até que se prove o contrário. 
Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
> 
< 
≠ 
12:
12:
1
0




H
H
Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
A B 
f(x) 
f(x) 
Exemplo - sabe-se que uma indústria produz somente dois 
tipos de parafusos, A e B, e que o diâmetro de ambos os 
tipos tem distribuição normal. 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
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A B 
mm
mm
mm
BA
B
A
2
12
10






Exemplo - sabe-se também que o diâmetro médio dos 
parafusos A é de 10mm e dos parafusos B é de 12mm. O 
desvio-padrão de ambos é o mesmo e igual a 2. 
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Tipo A 
Tipo B 
ou 
Exemplo - foi feito um lote de parafusos, porém não sabemos 
se são do tipo A ou do tipo B. Foi coletada uma amostra de 
2000 parafusos. Como a decisão é sobre a média da 
população, usaremos a sua estimativa x-barra como evidência 
amostral, ou seja, trabalharemos na curvas de x-barra! 
 
 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 





12
10
1
0


H
H
A B 
Exemplo - lembre-se que esta indústria só 
fabrica dois tipos de parafusos. 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
A B 
A B 
µ=10 µ=12 
n
x

 
x
Exemplo 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
A B 
10 12 
≤ LD 
Aceito H0 
n
x

 
x
> LD 
Rejeito H0 
LD 
(Limite de Decisão) 
x x
Exemplo - vamos supor que exista um Limite de Decisão 
(LD). Se x-barra for menor ou igual a este LD, aceitamos H0 
e se x-barra for maior que este valor, rejeitamos H0 e, assim, 
afirmamos H1. 
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A partir destas regras, podemos cometer erros. A grande 
maioria das decisões tomadas em engenharia, indústria, etc., 
contempla a possibilidade de erro. Devemos ter o controle dos 
erros e a medida dos erros é justamente a probabilidade de 
eles ocorrerem. 
Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• Erro Tipo I: Rejeitar H0, sendo H0 verdadeira 
• Erro Tipo II: Aceitar H0, sendo H0 falsa 
 
• As probabilidades desses 2 tipos de erros serão designadas, 
respectivamente por α e β 
 
• A probabilidade α do erro tipo I é denominada nível de significância do 
teste 
 
• O erro do tipo I só pode ser cometido se H0 for verdadeira e o erro do 
tipo II se H0 for falsa 
 
• O erro do tipo I só pode ser cometido se se rejeitar H0 e o do tipo II se se 
aceitar H0 
Tipos de Erros em Testes de Hipóteses 
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Hipótese nula é 
verdadeira 
Erro tipo I 
(rejeitar Hipótese nula 
verdadeira) 
 a 
Decisão correta 
(1-a) 
Hipótese nula é Falsa 
Decisão correta 
(1-b) 
Erro tipo II 
(não rejeitar Hipótese 
nula falsa) 
 b 
Hipótese nula é 
rejeitada 
Hipótese nula não é 
rejeitada 
Realidade 
D
e
c
is
ã
o
 r
e
a
liz
a
d
a
 
Tipos de Erros em Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
A B 
µ = 10 x
LD - Limite de Decisão 
µ = 12 
Erro Tipo I 
α 
Tipos de Erros em Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
A B 
µ = 10 
x
µ = 12 
Erro Tipo II 
LD - Limite de Decisão 
β 
Tipos de Erros em Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
α = P (Rejeitar H0 / H0 é verdadeira) 
 
β = P (Aceitar H0 / H0 é falsa) 
Erro Tipo II Erro Tipo I A B 
µ = 10 
x
µ = 12 
β α 
LD - Limite de Decisão 
Tipos de Erros em Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
α = P (“dizer” μ = 12 / μ = 10) 
 
β = P(“dizer” μ =10 / μ = 12) 
O que é mais grave? 
Erros em Testes de Hipóteses 
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Erro Tipo I 
Usar um parafuso de 10mm no lugar 
de um de 12mm 
Rejeito H0 H0 verdadeira 
“Folga” 
α↓ 
Erros em Testes de Hipóteses 
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Erro Tipo II 
Usar um parafuso de 12mm no lugar 
de um de 10mm 
Aceito H0 H0 falsa 
Interrupção da linha de 
montagem 
β↓ 
Erros em Testes de Hipóteses 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
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( )
( )
n
LD
x
xLD
z A



a
-

-

( )
( )
n
LD
x
xLD
z B



b
-

-
-
A B 
µ = 10 
xµ = 12 
β α 
LD – Limite de Decisão 
Cálculo do Limite de Decisão 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
n
zLD A
 a .
A B 
µ = 10 
xµ = 12 
β α 
LD – Limite de Decisão 
n
zLD B
 b .-
Cálculo do Limite de Decisão 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
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2
)(
..












-


-
-








ab
ab
ba
AB
AB
BA
zz
n
n
zz
n
z
n
z
Cálculo do Tamanho da Amostra 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
x
α 
α = Nível de Significância 
α = 5% 
Testes de Hipóteses 
probabilidade aceitável de 
ocorrência do erro tipo I 
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Distribuição dos 
diâmetros na 
população 
Distribuição da 
média amostral 
dos diâmetros 
σ 
µ 
x 
µ x
n
x

 
Exemplo 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
074,10x
Se
Rejeito H0 = há evidências de 
que o diâmetro médio da 
população é maior que 10mm 
Probabilidade de 
estar tomando a 
decisão errada = 5% 
Exemplo 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
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Em um julgamento, um juiz pode absolver ou condenar um réu que pode ser 
culpado ou inocente. Partindo do princípio da presunção da inocência, ou 
seja, até que se prove o contrário todo réu é inocente, qual é o: 
 
A) Erro Tipo I? 
 
B) Erro Tipo II? 
Exercício 01 
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Um arqueólogo, escavando um sítio encontrou quatro ossadas de hominídeos. 
Ele sabia que naquela região existira, no passado, dois agrupamentos: os 
altóideos e os baixóideos. A altura media dos altóideos era de 1,61 m, já os 
baixóideos tinha altura media de 1,43 m. O desvio padrão era igual para ambos e 
valia 0,1 m. O arqueólogo, para decidir a que agrupamento pertencia a sua 
descoberta estava com a intenção de se basear no critério utilizado, no passado, 
por outros colegas que admitiam que quando a altura média encontrada fosse 
menor ou igual a 1,50 m, era considerado baixóideo, senão era altóideo. 
Perguntas: 
 
a) Se for considerado um agrupamento de baixóideos, qual a probabilidade desta 
conclusão estar errada? 
b) Se for considerado um agrupamento de altóideos, qual a probabilidade desta 
conclusão estar errada? 
c) Se o valor encontrado no item a) fosse de 5% e o valor encontrado no item b) 
fosse de 1%, qual deveria ser a quantidade de ossadas necessárias, n? 
Exercício 02 
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Testes de Hipóteses 
Erros relativos aos testes de hipóteses 
Testes de hipóteses para média, variância 
e proporção 
Testes de hipóteses para comparação de 2 
médias, 2 variâncias e 2 proporções e de 
independência entre variáveis 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
a-1
0
a
1X
0
0
/
HrejeitoZZSe
n
X
Z
Calc
Calc
-
-

a


1o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  < 0 
Testes para a Média   conhecido 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
a-1
0 a2X
0
0
/
HrejeitoZZSe
n
X
Z
Calc
Calc

-

a


2o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  > 0 
Testes para a Média   conhecido 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
a-1
0
2
a
2
a
2X1X
3o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  ≠ 0 
02/
0
/
HrejeitoZZSe
n
X
Z
Cal
Calc

-

a


Testes para a Média   conhecido 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
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1o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  < 0 
0;1
0
/
HrejeitottSe
nS
X
t
nCalc
x
Calc
-
-

- a

Testes para a Média   desconhecido 
0;1
0
/
HrejeitottSe
nS
X
t
nCalc
x
Calc

-

- a

2o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  > 0 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Testes para a Média   desconhecido 
02/;1
0
/
HrejeitottSe
nS
X
t
nCalc
x
Calc

-

- a
3o Caso: 
H0:  = 0 
H1:  ≠ 0 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
1508 1518 1492 1505 1515 
1507 1510 1496 1505 1498 
Os dados abaixo representam a resistência de 10 pedaços de um cabo de aço, 
ensaiados por tração até a ruptura. Com base nos resultados obtidos, 
pretende-se saber se esse cabo obedece à especificação, que exige uma 
média de ruptura de 1500 Kg, no mínimo. Qual a sua conclusão ao nível de 
significância de 1%? 
Exercício 03 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
0
2
;1
2
2
0
2
1
2
0
2
0
0
:
:
1
HrejeitoSe
H
H
Caso
nCalc 


- a


( )
2
0
2
2 1

 xCalc
Sn-

0
2
1;1
2
2
0
2
1
2
0
2
0
0
:
:
2
HrejeitoSe
H
H
Caso
nCalc 


-- a


Testes para a Variância 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
( )
2
0
2
2 1

 xCalc
Sn-

0
2
2/;1
22
2/1;1
2
2
0
2
1
2
0
2
0
0
:
:
3
HrejeitoouSe
H
H
Caso
nCalcnCalc 


--- aa 


Testes para a Variância 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Uma amostra de 26 elementos forneceu uma média de 3,2 e variância 2,56. 
Deseja-se saber se é possível afirmar, ao nível de significância de 5%, que: 
 
a) A média da população seja distinta de 3,0; 
 
b) A variância da população seja inferior a 2. 
Exercício 04 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
n
f
p
npp
pp
ZCalc

-
-

'
/)1(
'
00
0
Satisfeitas as condições np0≥5 e n(1-p0)≥5, a distribuição de freqüência relativa 
p’ será aproximadamente normal, com média igual a p0 e desvio padrão {[p0(1-
p0)]/n}^1/2.Logo, padronizando o valor experimental p’, teremos o Z 
experimental (ZCalc): 
Testes para a Proporção Populacional 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
0
01
00
0
:
:
1
HrejeitoZZSe
ppH
ppH
Caso
Cal -


a 0
01
00
0
:
:
2
HrejeitoZZSe
ppH
ppH
Caso
Cal 


a
02/
01
00
0
:
:
3
HrejeitoZZSe
ppH
ppH
Caso
Cal 


a
Testes para a Proporção Populacional 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Um teste de sabor por todo o território dos EUA comparou o sabor da nova 
batata frita do Burger King com a batata do McDonalds. Dos 500 clientes que 
participaram do teste de sabor, 285 expressaram sua preferência pelas fritas 
do Burger King (USA Today, 10/12/2007). Seja p a proporção da população 
que prefere a batata frita do Burger King. Usando o nível de significância de 
0,01, podemos afirmar que a maioria dos clientes americanos preferem a 
batata frita do Burger King à batata frita do McDonalds? 
Exercício 05 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Testes de Hipóteses 
Erros relativos aos testes de hipóteses 
Testes de hipóteses para média, variância 
e proporção 
Testes de hipóteses para comparação de 2 
médias, 2 variâncias e 2 proporções e de 
independência entre variáveis 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparação de Duas Médias 
1. Dados emparelhados (populações correlacionadas) 
 
2. Dados não emparelhados 
A) s conhecidos; 
B) s desconhecidos, mas supostos iguais; 
C) s desconhecidos, mas não podem ser supostos iguais 
 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Dados Emparelhados 
Redução dos dados a uma única amostra de n diferenças. 
Média da amostra das diferenças; 
O valor a ser testado da média das diferenças nas populações; 
O desvio padrão da amostra das diferenças; 
O tamanho da amostra das diferenças. 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Dez cobaias adultas foram submetidas 
a um tratamento com certa ração 
durante uma semana. Os animais 
forma perfeitamente identificados, 
tendo sido mantidos, para tanto, em 
gaiolas individuais. Os pesos, em 
gramas, no principio e no final da 
semana, designados respectivamente 
por xi e yi , são dados a seguir. Ao 
nível de significância de 1%, podemos 
concluir que o uso da ração contribuiu 
para o aumento do peso médio dos 
animais? 
Cobaia Xi Yi 
1 635 640 
2 704 712 
3 662 681 
4 560 558 
5 603 610 
6 745 740 
7 698 707 
8 575 585 
9 633 635 
10 669 682 
Exercício 06 (Exemplo pág. 109 – Costa Neto) 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Dados Não Emparelhados - Caso A - s Conhecidos 
Teste baseado na diferenças entre X1 e X2. 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Uma máquina enche latas com base no peso líquido e possui desvio padrão 
de 5 gramas. Sua variabilidade é praticamente constante e independe de 
ajustes na média. Duas amostras, retiradas em períodos consecutivos de 
trabalhos, forneceram pesos líquidos médios de 184,6 e 188,9 gramas. Sendo 
n1=10 e n2=20 latas, é possível afirmar, ao nível de significância de 5 e 1%, 
que a regulagem das máquinas tenha sido modificada? 
Exercício 07 (Exemplo pág. 111 – Costa Neto) 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Dados Não Emparelhados - Caso B - s Desconhecidos, 
mas Supostos Iguais 
Graus de Liberdade = n1 + n2 - 2 
Sp2 é a média 
ponderada das 
variâncias amostrais 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Os dados que seguem, são 5 determinações de resistência de dois tipos de 
concretos. Ao nível de significância de 5%, há evidência de que o concerto 01 
seja mais resistente que o concreto 02? 
Concreto 01 Concreto 02 
54 50 
54 54 
58 56 
51 52 
57 53 
Exercício 08 (Exemplo pág. 112 – Costa Neto) 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Dados Não Emparelhados - Caso C - s Desc., mas não 
Podem Ser Supostos Iguais 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Deseja-se saber se duas máquinas de empacotar farinha estão fornecendo o 
mesmo peso médio por pacote. Como uma das máquinas é nova e a outra é 
velha, supõe-se que as máquinas trabalhem com diferentes variabilidades. Os 
dados que seguem são 6 pacotes da máquina nova e nove pacotes 
produzidos pela máquina velha, em quilogramas. Qual sua conclusão ao nível 
de significância de 5%? 
Nova Velha 
0,82 0,79 
0,83 0,82 
0,79 0,73 
0,81 0,74 
0,81 0,80 
0,80 0,77 
0,75 
0,84 
0,78 
Exercício 09 (Exemplo pág. 114 – Costa Neto) 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparação de Duas Variâncias 
1º Caso 2º Caso 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparação de Duas Variâncias 
3º Caso 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Duas amostras, com 10 e 15 elementos, extraídas de populações normais, 
forneceram variâncias de 6,34 e 18,7, respectivamente. Ao nível de 
significância de 5%, devemos aceitar que as populações tenham o mesmo 
grau de dispersão? 
Exercício 10 (Exemplo pág. 116 – Costa Neto) 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparação de Duas Proporções 
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Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre os 80 homens entrevistados 
declararam apreciar certa revista. O mesmo ocorreu com 26 dentre as 50 
mulheres entrevistadas. Ao nível de significância de 5%, os homens e as 
mulheres apreciam igualmente a revista? 
Exercício 11 (Exemplo pág. 119 – Costa Neto)