Estatística - Poli - Aulas 19, 20 e 21 Análise de Variância ANOVA

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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Aulas 19, 20 e 21
Análise de Variância – ANOVA
Profs.
Fernando Tobal Berssaneti
André Leme Fleury
Renato de Oliveira Moraes
Leandro Alves Patah
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• A principal técnica para o estudo de problemas envolvendo a comparação 
de várias médias é a Análise de Variância
• Ela busca identificar diferenças entre médias populacionais devidas a 
várias causas atuando simultaneamente sobre os elementos das 
populações
• A análise de variância é uma ferramenta de comparação de várias 
médias, isto é, usamos a mesma para testar a hipótese de que a média de 
uma determinada característica é a mesma em diversas populações
Comparação de Várias Médias
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparação de várias médias
Análise de Variância
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• Para isso, partimos de duas premissas:
• Primeiro: assumimos que as populações são homocedásticas, isto é, que 
possuem a mesma variância (pode-se verificar esta hipótese pelos testes 
de Bartlett e Cochran, não contemplados em nossa disciplina)
• Em segundo lugar, precisamos assumir que as populações são 
normalmente distribuídas
Análise de Variância
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Homocedasticidade
• Variâncias iguais
Hipóteses
Testes de Bartlett e 
Cochran
Análise de Variância
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Homocedasticidade
• Variâncias iguais
População normal
Hipóteses
Análise de Variância
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Um fator ou uma classificação
Análise de Variância
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• Vamos supor que uma drogaria esteja interessada em avaliar o trabalho 
de seus funcionários. Para isso, ela selecionou 8 clientes pela manhã, 8 à 
tarde e 8 à noite para que eles dessem uma nota de 0 a 10 para o 
atendimento recebido
• Depois de reunir as notas, o gerente da farmácia gostaria de saber se 
existe alguma diferença no atendimento entre os períodos do dia, isto é, 
se as notas médias dos três períodos são iguais
• Para isso, ele precisa fazer uma Análise de Variância. Veja que temos 3 
amostras, com 8 elementos cada uma. Podemos calcular, então, a média 
e a variância de cada amostra
Exemplo 01
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
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• Manhã
• Tarde
• Noite
8 clientes por período
Notas de 0 a 10
Exemplo 01
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Período Notas
Manhã 4 5 5 4 8 4 3 7
Tarde 2 4 3 7 5 4 2 5
Noite 3 6 6 4 5 4 6 6
?noitetardemanhã  
Exemplo 01
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Período Notas S²
Manhã 4 5 5 4 8 4 3 7 5,0 2,9
Tarde 2 4 3 7 5 4 2 5 4,0 2,9
Noite 3 6 6 4 5 4 6 6 5,0 1,4
x
8 elementos
3 amostras
Exemplo 01
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Análise de Variância – Uma Classificação e 
Amostras de Mesmo Tamanho
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Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
k-1
k(n-1)
𝑆𝑄𝑇 nk-1
Quadro da Análise de Variância
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Notas
Manhã Tarde Noite
Ti T= 
Qi Q= 
Exemplo 01
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
𝑆𝑄𝑇
Exemplo 01
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Três peças de concreto foram submetidas a testes de dureza, obtendo-se os 
seguintes valores. Verificar, as níveis de significância de 5% e 1% , se existe 
diferença significativa entre os três fornecedores
Exercício 01 (Exemplo pág. 154 – Costa Neto)
Concreto Dureza
A 68 74 77 70 71
B 67 65 69 66 67
C 73 77 76 69 80
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Concretos
A B C
Ti T= 
Qi Q= 
Exercício 01
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Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
𝑆𝑄𝑇
Exercício 01
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Análise de Variância – Uma Classificação e 
Amostras de Tamanhos Diferentes
𝑇𝑖 = 
𝑗=1
𝑛𝑖
𝑥𝑖𝑗
𝑄𝑖 = 
𝑗=1
𝑛𝑖
𝑥𝑖𝑗
2
𝑇 = 
𝑖=1
𝑘
𝑇𝑖 = 
𝑖=1
𝑘
 
𝑗=1
𝑛𝑖
𝑥𝑖𝑗
𝑄 = 
𝑖=1
𝑘
𝑄𝑖 = 
𝑖=1
𝑘
 
𝑗=1
𝑛𝑖
𝑥𝑖𝑗
2
 𝑥𝑖 =
𝑇𝑖
𝑛𝑖
 𝑥 =
𝑇
 𝑖=1
𝑘 𝑛𝑖
𝑛𝑖 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
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Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
SQE
 𝑇𝑖
2
𝑛𝑖
−
𝑇2
 𝑛𝑖
𝑘 − 1 𝑆𝐸
2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑘 − 1
𝐹 =
𝑆𝐸
2
𝑆𝑅
2
𝐹𝑘−1; 𝑛𝑖−𝑘;𝛼
SQR 𝑄 −
 𝑇𝑖
2
𝑛𝑖
 𝑛𝑖 − 𝑘 𝑆𝑅
2 =
𝑆𝑄𝑅
 𝑛𝑖 − 𝑘
SQT 𝑄 −
𝑇2
 𝑛𝑖
 𝑛𝑖 − 1
Quadro da Análise de Variância
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
São dados 3 grupos de observações:
Podemos identificar, aos níveis de significância usuais (1% e 5%), a existência 
de diferença entre as medias das populações das quais provieram essas 
amostras?
Grupo A 15 18 18 20 19 24 19
Grupo B 19 20 16 21 19 15 9 13 19
Grupo C 29 27 23 20 21
Exercício 02
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Grupos
A B C
Ti T= 
Qi Q= 
Exercício 02
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
𝑆𝑄𝑇
Exercício 02
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Análise de Variância – Duas Classificações e 
Sem Repetição
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
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Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F
Entre 
linhas
(SQL)
k-1
Entre 
colunas
(SQC)
n-1
Residual
(SQR)
Por diferença (k-1)(n-1)
Total
(SQT)
nk-1
Quadro da Análise de Variância
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Cinco diferentes modelos de motocicletas de mesma cilindrada foram testados 
com três diferentes fornecedores de pneus. Os dados de durabilidade dos 
pneus, em 1000 km rodados, estãona tabela a seguir. Ao nível de significância 
de 5%, existem diferenças significativas entre os modelos de motos e entre os 
fornecedores de pneus?
Exercício 03
Modelo A Modelo B Modelo C Modelo D Modelo E
Fornecedor 01 54 32 38 46 50
Fornecedor 02 57 40 42 45 53
Fornecedor 03 55 36 38 44 51
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Fornecedor
01 02 03
Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Ti Qi (Ti)2
Tj
Qj
(Tj)2
Exercício 03
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Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F
Entre 
linhas
(SQL)
k-1=
Entre 
colunas
(SQC)
n-1=
Residual
(SQR)
(k-1)(n-1)=
Total
(SQT)
nk-1=
Exercício 03
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
As vendas de 3 vendedoras que atendem uma certa região, durante 8 semanas, 
são fornecidas a seguir. Existem evidências, ao nível de significância de 10%, de 
que as vendas médias semanais não sejam iguais ou que o desempenho das 3 
vendedoras seja diferente?
Vendedora 1 2 3 4 5 6 7 8
Rosa 186 222 198 216 210 194 203 219
Sueli 197 203 194 208 220 209 190 205
Tânia 174 213 190 197 233 206 199 221
Exercício 04
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Vendedora
Rosa Sueli Tânia
Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Ti Qi (Ti)2
Tj
Qj
(Tj)2
Exercício 04
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F
Entre 
linhas
(SQL)
k-1=
Entre 
colunas
(SQC)
n-1=
Residual
(SQR)
(k-1)(n-1)=
Total
(SQT)
nk-1=
Exercício 04
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Dão se, a seguir, os números de peças defeituosas produzidas por quatro 
operadores trabalhando, em turnos, em três diferentes máquinas:
Existem evidências de que os operadores ou máquinas não estejam produzindo 
com a mesma qualidade (α = 5%)?
O1 O2 O3 O4
M1 35 38 41 32
M2 31 40 38 31
M3 36 35 43 25
Exercício 05
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Máquina
M1 M2 M3
Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Xij (Xij)2 Ti Qi (Ti)2
Tj
Qj
(Tj)2
Exercício 05
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F
Entre 
linhas
(SQL)
k-1=
Entre 
colunas
(SQC)
n-1=
Residual
(SQR)
(k-1)(n-1)=
Total
(SQT)
nk-1=
Exercício 05
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Análise de Variância – Duas Classificações e Com 
Repetição
 Temos r observações correspondendo ao cruzamento da linha i (i=1, 2, 
3, ...,k) com a coluna j (j=1, 2, 3, ..., n), num total de nkr observações.
 O fato de haver repetições (replicações – r > 1) permite obter uma 
estimativa de 2 dentro dos nk tratamentos. Esta estimativa será 
representada por S2Tr e a respectiva soma de quadrados por SQTr.
SQT = SQTr + SQR
nkr-1 = (nk-1) + nk(r-1)
𝑆𝑄𝐿 = 
𝑖=1
𝑘 𝑇𝑖
2
𝑛𝑟
−
𝑇2
𝑛𝑘𝑟
𝑆𝑄𝐶 = 
𝑗=1
𝑛 𝑇𝑗
2
𝑘𝑟
−
𝑇2
𝑛𝑘𝑟
𝑆𝑄𝑇𝑟 = 
𝑖=1
𝑘
 
𝑗=1
𝑛 𝑇𝑖𝑗
2
𝑟
−
𝑇2
𝑛𝑘𝑟
𝑆𝑄𝐼 = 𝑆𝑄𝑇𝑟 − 𝑆𝑄𝐿 − 𝑆𝑄𝐶
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝑐𝑜𝑚 𝑟 > 1
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑛𝑘𝑟
𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝑇𝑟 + 𝑆𝑄𝑅
𝑛𝑘𝑟 − 1 = (𝑛𝑘 − 1) + 𝑛𝑘(𝑟 − 1)
Análise de Variância – Duas Classificações e Com 
Repetição
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
𝑇2
𝑛𝑘𝑟
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑇𝑟
 Havendo interação entre linhas e colunas (por hipótese inicial ou por 
conclusão do teste Fi), o efeito fixo será testado com base em:
e o efeito aleatório pela comparação do respectivo 𝑆2 com 𝑆𝑅
2.
 Não havendo interação, procede-se analogamente aos casos anteriores, 
sendo a corresponde soma de quadrados acrescida à residual.
𝐹𝐿 =
𝑆𝐿
2
𝑆𝐼
2 𝐹𝐶 =
𝑆𝐶
2
𝑆𝐼
2
Análise de Variância – Duas Classificações e Com 
Repetição
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrado
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F
Entre Linhas SQL k – 1 𝑆𝐿
2 =
𝑆𝑄𝐿
𝑘 − 1
FL
Entre Colunas SQC n – 1 𝑆𝐶
2 =
𝑆𝑄𝐶
𝑛 − 1
FC
Interação SQI (k – 1) (n – 1) 𝑆𝐼
2 =
𝑆𝑄𝐼
(𝑘 − 1)(𝑛 − 1)
𝐹𝐼 =
𝑆𝐼
2
𝑆𝑅
2
𝐹 𝑘−1 𝑛−1 ; 𝑛𝑘 𝑟−1 ; 𝛼
Entre 
tratamentos
SQTr nk – 1 𝑆𝑇𝑟
2 =
𝑆𝑄𝑇𝑟
𝑛𝑘 − 1
𝐹𝑇𝑟 =
𝑆𝑇𝑟
2
𝑆𝑅
2
𝐹𝑛𝑘−1; 𝑛𝑘 𝑟−1 ; 𝛼
Residual SQT – SQTr nk (r – 1) 𝑆𝑅
2 =
𝑆𝑄𝑅
𝑛𝑘(𝑟 − 1)
Total SQT nkr – 1
Quadro da Análise de Variância
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Foram observados os tempos, em segundos, gastos por quatro operários para 
montar uma peça, por três métodos diferentes. Cada operário montou duas 
peças por método, conforme tabela abaixo. Verifique a existência de diferenças 
significativas entre os métodos e/ou entre os operários (α = 5%)
Operários
A B C D
Métodos
I
54 46 55 51
52 47 54 60
II
59 61 59 56
57 55 61 57
III
59 63 63 59
62 58 61 60
Exemplo 02 (Exemplo pág. 163 – Costa Neto)
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Operários
A B C D
x x2 x x2 x x2 x x2 Ti Qi T2i
M
é
to
d
o
s
I
II
III
Tj
Qj
T2j
Exemplo 02
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrado
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F5%
Entre Linhas
Entre Colunas
Interação
Entre 
tratamentos
Residual
Total
Exemplo 02 – Quadro da Análise de Variância
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrado
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F5%
Entre Linhas
Entre Colunas
Residual
Total
Exemplo 02 – Quadro da Análise de Variância 
Modificado
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Numa experiência didática, vinte alunos de uma classe considerada muito 
homogênea receberam aulas de certa disciplina segundo dois métodos 
diferentes (A e B), sendo todas as aulas dadas pelo mesmo professor em dois 
períodos diferentes: no começo da manhã e no fim da tarde. Assim, o professor 
ministrou aulas a quatro turmas de cinco alunos cada, duas pela manhã e duas a 
tarde. Os alunos foram distribuídos pelas turmas por sorteio. As médias finais 
foram:
Manhã, Método A: 6,4 7,0 7,3 6,2 6,9
Manhã, Método B: 7,5 8,0 9,8 6,9 8,4
Tarde, Método A: 6,8 7,2 6,0 7,7 5,3
Tarde, Método B: 5,4 8,3 9,0 7,5 7,7
Realize a Analise de Variância pertinente. Quais as condições, aos níveis usuais 
(1% e 5%)? Foi encontrada interação entre horário de aula e método de ensino?
Exercício 06
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – EstatísticaPeríodo
Manhã Tarde
x x2 x x2 Ti Qi T2i
M
é
to
d
o
s A
B
Tj
Qj
T2j
Exemplo 06
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrado
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F5%
Entre Linhas
Entre Colunas
Interação
Entre 
tratamentos
Residual
Total
Exercício 06
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrado
Graus de 
Liberdade
Quadrado Médio Fcal F5%
Entre Linhas
Entre Colunas
Residual
Total
Exercício 06
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Comparações Múltiplas
Método de Tukey
Quando temos k linhas e n colunas, as medias 1 e m serão consideradas 
distintas se:
Método de Scheffé
As medias 1 e m serão consideradas distintas entre si se:
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Três peças de concreto foram submetidas a testes de dureza, obtendo-se os 
seguintes valores. Verificar, aos níveis de significância de 5% e 1% , se existe 
diferença significativa entre os três fornecedores
Exercício 07 (Exemplo pág. 168 – Costa Neto)
Concreto Dureza
A 68 74 77 70 71
B 67 65 69 66 67
C 73 77 76 69 80
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
Fcal F
Exercício 07
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Fonte de 
Variação
Soma de 
Quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrado 
Médio
F F
172,133 2 86,067 8,02 F5% = 3,89
128,800 12 10,733
300,933
Exercício 07