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Métodos Estatísticos Aplicados à Produção Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira Revisão Técnica: Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus Costa Revisão Textual: Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos Distribuição de frequências • Definição • Dados brutos • Frequência • Gráficos O objetivo desta unidade é conhecer as definições envolvidas em Estatística aplicada à Produção: · Frequências; · Dados; · Distribuição; · Gráficos OBJETIVO DE APRENDIZADO Caro(a) aluno(a), Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará conhecer as aplicações do estudo de frequências e gráficos em Engenharia. Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por questões de múltipla escolha, relacionadas com o conteúdo estudado. Além disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no Fórum de discussão. É extremamente importante que você consulte os materiais complementares, pois são ricos em informações, possibilitando-lhe o aprofundamento de seus estudos sobre este assunto. ORIENTAÇÕES Distribuição de frequências UNIDADE Distribuição de frequências Contextualização Distribuição de frequências é um método utilizado para se agrupar dados em classes ou intervalos de tal forma que a visualização da ocorrência fique mais visível. Esse procedimento é muito utilizado para agrupar dados; por exemplo, de acidentes de trabalho X tamanho das empresas. Escolha a área em que você atua ou próxima a ela e busque dados que possam ser agrupados. Aplique o conceito estudado, faça tabelas e gráficos, use planilhas eletrônicas. 6 7 Definição É uma série estatística de dados agrupados, tabulados de acordo com o número de elementos distintos da série. Esta tabela de frequência resume categorias ou classe de valores, juntamente com as respectivas contagens (ou frequências) do número de valores. Vamos estudar a tabela 1 e 2 a seguir: Exemplos fictícios: Tabela 1. Quantidade de televisores X Salário mensal Salário mensal em reais Número de televisores na residência 500 a 1000 01 1000 a 1500 02 1500 a 2000 02 2000 a 2500 03 2500 a 3000 03 Acima de 3000 04 Tabela 2. Quantidade de automóveis X Pessoas que moram na casa Pessoas que moram na casa Número de automóveis na residência 01 a 02 01 02 a 03 01 03 a 04 02 04 a 05 02 Acima de 05 03 Dados brutos Arranjo de valores numéricos não organizados e nem agrupados, coletados a partir da observação de um fenômeno coletivo. Ex.: pesquisa de número de filhos por casal. 1; 0; 2; 0; 1; 1; 0; 2; 1; 0 Dados não organizados (Dados brutos) 7 UNIDADE Distribuição de frequências Rol É a sequência ordenada de dados brutos, podendo ser crescente ou decrescente. Para o mesmo exemplo: 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2 Dados organizados (ROL) Amplitude amostral (Range) Trata-se do maior intervalo que pode ser conseguido em uma distribuição. Amplitude Amostral (AA) = x - xmax min Frequência Trata-se do número de vezes da ocorrência de um fenômeno. Tipos de frequência a) Frequência simples (absoluta) ( f ) Σ f i = n (I) É o número de eventos que é observado para determinada classe. Onde n é o tamanho da amostra. Exemplificando: Seguem os dados brutos correspondentes à altura em cm dos alunos matriculados no 1ª ano de Engenharia de Produção da Faculdade XYZ: 175 179 173 189 181 175 188 177 173 180 191 186 188 174 169 174 185 179 182 182 173 187 185 170 176 194 182 173 171 178 188 184 170 176 173 185 188 174 190 174 Qual é a frequência correspondente à altura de 173 cm? Resultado f=5, que corresponde ao número de ocorrências dessa medida dentro dos dados apresentados. 8 9 b) Frequência relativa (fr) fri = f i n (II) É o valor percentual entre a razão da frequência simples e a frequência total. Levando em consideração o exemplo acima, qual é a frequência relativa à altura de 188 cm? Resulta em: f = 4, que é a frequência simples relativa à altura de 188 cm. n = 40, que é o total de alunos coletados. Aplicando a equação: fr = 4 40 = 0,1 ou 10% c) Frequência acumulada (Fi) F = f i + f2 ....+ fk (III)k É a soma das frequências absolutas inferiores ao limite superior de uma determinada classe. Trabalhando novamente com o exemplo dos alunos de engenharia acima, qual é a frequência acumulada dos alunos com a altura abaixo de 176 cm? Agrupando os dados: Altura 169 cm; f=1, Altura 170 cm; f=2, Altura 171 cm; f=1, Altura 172 cm; f=0, Altura 173 cm; f=5, Altura 174 cm; f=4, Altura 175 cm; f=2, Fi = 1+2+1+5+4+2 = 15, que representa a quantidade de elementos abaixo de 176 cm. d) Frequência acumulada relativa (Fri) Fri = Fi n (IV) É o valor percentual entre a razão da frequência acumulada e a frequência total. 9 UNIDADE Distribuição de frequências Ainda utilizando o nosso exemplo, qual seria a frequência acumulada relativa para os alunos com estatura abaixo de 174 cm? Fi=9 N=40 Fri = 9 40 0,225 ou 22,5% Conforme se apresentam os dados, será calculado cada tipo de frequência, ou seja, a distribuição de frequência é dependente do tipo de variável que se quer analisar. A exposição dos dados nos dois tipos de variáveis, discretas ou contínuas, será apresentada em tabelas ou em gráficos. Tipos de distribuição de frequências a) Distribuição de frequências por pontos Utilizamos quando os dados fornecidos correspondem a variáveis discretas. Sabe-se que as variáveis são discretas quando só podem assumir valores associados a um intervalo de medição e formam um conjunto finito e enumerável, como, por exemplo, o número de operadores em uma linha de montagem. Os dados observados serão tratados individualmente. Representação de uma distribuição de frequências a partir de dados em variáveis discretas. Vamos utilizar uma tabela para representação: Exemplo: número de ocupantes da suíte máster de hotel de luxo da zona sul de São Paulo no mês de setembro 2014. 0, 0, 3, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 1, 1 Vamos construir uma tabela com frequência absoluta a partir dos dados observados. 1º passo: Determinamos o Range (R) ou a Amplitude Amostral (AA). Para dados não tabelados, será o valor da diferença do maior valor menos o menor valor. No nosso exemplo, temos: AA = x - xmax min Do nosso exemplo, temos: AA = 3-0 = 3 10 11 2º passo: Construir o ROL em ordem crescente 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3 3º passo: Construção de uma tabela para que tenhamos os dados agrupados em frequência absoluta. Xi fi 0 7 1 12 2 6 3 5 Total 30 b) Distribuição de frequência contínua Utilizamos quando trabalhamos com variáveis contínuas. Definimos variáveis contínuas quando os valores dos dados assumem qualquer valor dentro de um intervalo de medição, como na medição de peças em uma linha de produção. Para facilitação de análise, os dados são agrupados em intervalos ou classes. Como exemplo, podemos considerar uma tabela com a distribuição de idades dos hóspedes de um hotel de luxo da zona sul de São Paulo no mês de setembro de 2014. Idade Quantidade de pessoas 0 a 10 225 11 a 20 1246 21 a 30 1180 31 a 40 2310 41 a 50 1983 51 a 60 468 61 a 70 183 71 a 80 41 81 a 90 5 Total 7641 Podemos tirar as seguintes conclusões: a) A amplitude do intervalo de classes é de 10 anos. b) A classe de maior frequência é a de 31 a 40 anos, com o número de 2310 hóspedes. c) O número total de pessoas hospedadas no hotel em setembro de 2014 foi de 7641. d) O número de classes nessa distribuição foi de 9. 11 UNIDADE Distribuição de frequênciasAgora, vamos descrever todos os passos para construção de uma tabela de distribuição de frequências por classes de variáveis discretas. 1. Determinação do Range (R) ou Amplitude Amostral (AA) Identificar nos dados brutos coletados o maior número e o menor. A determinação da amplitude amostral será o maior valor subtraído do menor valor. AA = x - x (V)max min 2. Determinar o número de classes da frequência (k) Obtido através da aproximação do número resultante da raiz quadrada do total de elementos de uma distribuição (n). k= n (VI) 3. Determinar a amplitude do intervalo de classe (h) Obtida pela divisão entra a amplitude total (AT – que é o valor da diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe) e o número de classes (k). h = AT k (VII) 4. Determinação do intervalo e limite de classes É a faixa de valores representada para cada classe, com um limite inferior (li) e um limite superior (Li). A representação do intervalo de classes é: li|__ Li (VIII) 5. Determinar o ponto média de cada classe (xi) É obtido como a média aritmética dos limites superior e inferior de cada classe. xi = li+Li 2 (IX) Exemplo prático: Foi feito o levantamento da altura dos times de Voleibol do campeonato paulista totalizando 42 atletas. A partir dos dados, vamos construir uma tabela de frequências, com todos os tipos de frequências e pontos médios das classes. 12 13 Seguem os dados brutos das alturas em cm: 191 186 203 205 197 184 198 185 196 210 194 192 195 190 191 199 187 211 188 196 198 195 186 201 205 193 192 196 200 192 205 193 196 198 203 190 188 182 208 194 199 206 Vamos optar nesse exemplo por variável contínua com o agrupamento dos valores em classes, já que mesmo com esses poucos dados há muitos valores entre o menor e o maior, dificultando a análise com a variável discreta. 1º passo: Organizar os dados em ordem crescente. Construir o ROL: 182 184 185 186 186 187 188 188 190 190 191 191 192 192 192 193 193 194 194 195 195 196 196 196 196 197 198 198 198 199 199 200 201 203 203 205 205 205 206 208 210 211 2º passo: Determinar a amplitude de classes. Amplitude = Range (R) = x -xmax min R = 211-182 = 29 Amplitude amostral 3º passo: Determinar o número de classes (k). Do nosso exemplo, n = 42 k = 6; utilizaremos, então, 6 classes.42 @ 4º passo: Cálculo da amplitude do intervalo de classe (h). h = 29 6 5≅ 5º passo: Determinar os intervalos e limites de classes. Fazemos a determinação da 1ª classe e repetimos as próximas da mesma forma. Limite inferior da 1ª classe: 182 Limite superior: 187, pois k = 5, então limite superior é o Li + k 13 UNIDADE Distribuição de frequências Nessa classe, encontramos 5 jogadores. Então, construímos a tabela: Altura (cm) fi xi fri Fi Fri 182 187 5 184,5 0,119 5 0,119 187 192 7 189,5 0,167 12 0,286 192 197 13 194,5 0,309 25 0,595 197 202 8 199,5 0,190 33 0,785 202 207 6 204,5 0,143 39 0,928 207 212 3 209,5 0,071 42 1,000 =∑ 42 1,000 Gráficos A distribuição de frequências pode ser representada também graficamente. Veremos de que forma gráfica podemos representá-la. Histograma Gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos numa base de um eixo horizontal tendo como centro seu ponto médio. As amplitudes das classes correspondem às bases dos retângulos (h – amplitude de classe), e as alturas dos retângulos (f – frequência de classe) são proporcionais às frequências de classes. Ex.: Considerando os dados de amplitude (h) e frequências (f) da tabela do exemplo anterior, vamos construir o histograma para essa distribuição correspondente à tabela 3 a seguir. Tabela 3 Altura (cm) fi xi 182 187 5 184,5 187 192 7 189,5 192 197 13 194,5 197 202 8 199,5 202 207 6 204,5 207 212 3 209,5 =∑ 42 14 15 Gráfi co 1. Histograma correspondente à Tabela 3: Obs.: Construir o gráfico com eixos X e Y, sendo o eixo X o eixo xi e o Eixo Y o eixo f. Polígono de frequência simples É um gráfico de linha, sendo os pontos obtidos através da intersecção das frequências com os pontos médios das classes. Utilizando-nos do histograma do exemplo anterior como modelo, podemos construir o polígono de frequência desta forma: Gráfi co 2 Obs.: Construir uma linha unindo-se a intersecção dos pontos do eixo Y com o ponto médio dos retângulos. Como no gráfico anterior, o eixo X é xi e o eixo Y é f. Os valores dos pontos do eixo y são: 5, 7, 13, 8, 6 e 3. 15 UNIDADE Distribuição de frequências Polígono de frequência acumulada É construído quando fazemos a representação gráfica das frequências acumuladas. É utilizado quando desejamos saber qual é a parcela da população que está abaixo de um determinado valor ou depois de um determinado valor. Constrói-se traçando uma linha dos pontos obtidos da intersecção das frequências acumuladas com os limites superiores dos intervalos de classes. Essa curvada formada também é conhecida como Ogiva de Galton. Do nosso exemplo, temos: Altura (cm) Fi 182 187 5 187 192 12 192 197 25 197 202 33 202 207 39 207 212 42 Gráfico 4 Com a Ogiva de Galton, podemos, utilizando-nos de interpolação linear, fazer um cálculo estimado de frequências acumuladas de uma distribuição em classes de frequências. Por exemplo, utilizando a tabela de frequências acumuladas de nosso exemplo, poderíamos estimar qual a frequência populacional de valores abaixo de 200 cm dos alunos. Para isso, seguimos os seguintes passos: 1º passo: Construir a tabela com as frequências acumuladas. Altura (cm) Fi 182 187 5 187 192 12 192 197 25 197 202 33 202 207 39 207 212 42 16 17 2º passo: Considerando o valor a ser determinado no nosso exemplo, o de 200 cm, determinar os limites superior e abaixo com as frequências acumuladas desses limites dispostos na tabela a seguir: Limite Superior 197 200 202 Fi 25 x 33 3º passo: Montar, então, uma proporção entre as diferenças dos maiores valores com os menores valores da seguinte forma. 202 197 33 25 202 200 33 − − = − − x E desenvolvendo a equação, temos: 5 8 2 33 5 33 2 8 165 5 16 5 149 29 8 = − − = − = = = ( ) * ( ) * , x x x x x Portanto, a frequência é 29,8. Agora, é só “colocar a mão na massa”. Verifique suas tabelas e faça gráficos. Existem programas de computadores que são ótimas ferramentas na confecção de gráficos. Exercite-se! 17 UNIDADE Distribuição de frequências Material Complementar: Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade: Para complementar os conhecimentos adquiridos e enriquecer sua compreensão sobre o assunto tratado nesta unidade, consulte os livros a seguir, disponíveis na Minha Biblioteca: Livros Curso de Estatística Básica COSTA, Giovani Glaucio de Oliveira. Curso de estatística básica. São Paulo: Atlas, 2011. VitalBook file. Métodos estatísticos multivariados LOESCH, Cláudio. Métodos estatísticos multivariados. São Paulo: Saraiva, 2012. VitalBook file. Probabilidade e estatística na Engenharia HINES, William W. et al. Probabilidade e estatística na engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. VitalBook file. 18 19 Referências BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. Florianópolis: Editora da UFSC, 2002. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003. MOORE, David. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2000. KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à economia e administração. SãoPaulo: Makron, 1982. DEVORE, Jay L. Probabilidade e estatística: para engenharia e ciências. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. BARBETTA, Pedro Alberto et al. Estatística para cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2004. HINES, William W. et al. Probabilidade e estatística na engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 1999. STEVENSON, W.J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Editora Harbra, 1986. 19
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