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Gabarito Lista 6

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Noc¸o˜es de Estat´ıstica
2º sem de 2016 - FEA
Lista de exerc´ıcios 6 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA
Exerc´ıcio 1
Numa certa populac¸a˜o, o peso dos homens tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 75kg
e desvio padra˜o 10kg; enquanto que o peso das mulheres tem distribuic¸a˜o normal com
me´dia 60kg e desvio padra˜o 4kg.
a) Sorteando-se um homem dessa populac¸a˜o, qual e´ a probabilidade dele ter peso acima
de 65kg?
b) Sorteando-se uma mulher dessa populac¸a˜o, qual e´ a probabilidade dele ter peso
acima de 65kg?
c) Sabendo que na populac¸a˜o o nu´mero de mulheres e´ o dobro do de homens, qual e´ a
probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65kg?
d) Qual e´ o peso ma´ximo das mulheres que limita as 10% mais magras?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1
Vamos definir a varia´vel aleato´ria X , como sendo o peso de uma pessoa. Temos que
considerar se a pessoa e´ um homem (H) ou uma mulher (M). Assim
X|H ∼ Normal(75; 102) e X|M ∼ Normal(60; 42)
Sabemos que se W ∼ Normal(µ, σ2) ⇒ Z = W−µ
σ
∼ Normal(0, 1)
1.a
P(X > 65|H) = 1− P(X < 65|H) = 1− P
(
X − 75
10
<
65− 75
10
|H
)
=
= 1− P(Z < −1) = 1− 0, 1587 = 0, 8413
1
1.b
P(X > 65|M) = 1− P(X < 65|M) = 1− P
(
X − 60
4
<
65− 60
4
|M
)
=
= 1− P(Z < 1, 25) = 1− 0, 8944 = 0, 1056
1.c
Temos que as mulheres sa˜o os dobro dos homens, assim
P(H) = k e P(M) = 2k.
Como P(H) + P(M) = 1 ⇒ k = 1/3 ⇒ P(H) = 1/3 e P(M) = 2/3.
Enta˜o podemos calcular
P(X > 65) = P(X > 65|M)P(M) + P(X > 65|H)P(H) = 0, 3509
1.d
Na Figura 1 temos a representac¸a˜o do que temos no problema. Neste caso queremos
achar o valor de m.
m 60
0,1
Figura 1:
P(X < m|M) = 0, 1 ⇒ P
(
Z <
m− 60
4
|M
)
= 0, 1 ⇒
m− 60
4
= Φ−1(0, 1) ⇒
⇒
m− 60
4
= −1, 28 ⇒ m = 54, 87,
onde Φ−1(a) e´ a inversa da distribuic¸a˜o acumulada de uma normal padra˜o no ponto a.
2
Exerc´ıcio 2
Uma maquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distri-
buic¸a˜o normal, com me´dia µ e desvio padra˜o 10g.
a) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio para que apenas 10% dos pacotes tenham
peso inferior a 500g?
Com a ma´quina assim regulada.
b) Qual e´ a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 540g?
c) Sabendo que o peso de um pacote foi inferior a` me´dia, qual e´ a probabilidade de ser
inferior a 500g?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2
X : Peso de um produto empacotado por uma ma´quina.
X ∼ Normal(µ, 102)
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.a
500 µ
0,1
Figura 2:
P(X < 500) = 0, 1 ⇒ P
(
Z <
500− µ
10
)
= 0, 1 ⇒
500− µ
10
= Φ−1(0, 1) ⇒
⇒
500− µ
10
= −1, 28 ⇒ µ = 512, 82,
∴ X ∼ Normal(512, 82; 102)
3
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.b
P(X > 540) = 1− P(X < 540) = 1− P
(
Z <
540− 512, 82
10
)
= 1− 0, 9967 = 0, 0033
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.c
P(X < 500|X < 512, 82) =
P(X < 500)
P(X < 512, 82)
=
P(Z < 500−512,82
10
)
P(Z < 512,82−512,82
10
)
=
P(Z < −1, 282)
P(Z < 0)
=
0, 1
0, 5
= 0, 2
Exerc´ıcio 3
O diaˆmetro X de certa espe´cie de a´rvore e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
normal de me´dia 40cm e variaˆncia 25cm2. Se o diaˆmetro de uma a´rvore for inferior ao
diaˆmetro me´dio por 8cm ou mais, esta a´rvore sera´ vendida por 10 unidades moneta´rias
(u.m.); caso contra´rio, sera´ vendida por 20u.m..
a) Que proporc¸a˜o de a´rvores dessa espe´cie tem diaˆmetro entre 34 e 45cm?
b) Qual e´ o intervalo central em torno do diaˆmetro me´dio tal que 85% das a´rvores
possuem diaˆmetro nesse intervalo?
c) Qual e´ o prec¸o me´dio de venda de cada a´rvore?
d) Sorteando-se 15 a´rvores dessa espe´cie, qual e´ a probabilidade de pelo menos 12 serem
vendidas por 20u.m.?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3
X : Diaˆmetro de uma a´rvore de uma determinada espe´cie.
X ∼ Normal(40, 25)
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.a
P(34 < X < 45) = P(X < 45)− P(X < 34) = P
(
Z <
45− 40
5
)
− P
(
Z <
34− 40
5
)
=
= P(Z < 1)− P(Z < −1, 2) = 0, 8413− 0, 1151 = 0, 7263
4
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.b
x1 40 x2
0,075
0,85
0,075
Figura 3:
P(X < x1) = 0, 075 ⇒ P
(
Z <
x1 − 40
5
)
= 0, 075 ⇒
x1 − 40
5
= Φ−1(0, 075) ⇒
⇒
x1 − 40
5
= −1, 44 ⇒ x1 = 32, 80.
P(X > x2) = 0, 075 ⇒ 1−P
(
Z <
x2 − 40
5
)
= 0, 075 ⇒ P
(
Z <
x2 − 40
5
)
= 0, 925
⇒
x2 − 40
5
= Φ−1(0, 925) ⇒
x2 − 40
5
= 1, 44 ⇒ x2 = 47, 20.
Assim, temos que 85% das a´rvores dessa espe´cie possuem diaˆmetro entre 32,80 e
47, 2cm.
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.c
Vamos definir a varia´vel aleato´ria, P , que representa o prec¸o de venda de uma a´rvore
dessa espe´cie.
P(P = 10) = P(X ≤ 32) = P
(
Z ≤
32− 40
5
)
= P(Z ≤ −1, 6) = 0, 0548
P(P = 20) = P(X > 32) = 1− P(X ≤ 32) = 0, 9452
5
Tabela 1:
P 10 20
P(P = p) 0,0548 0,9452
Assim, o prec¸o me´dio das a´rvores e´ dado por
E(P ) = 10P(P = 10) + 20P(P = 20) = 10 ∗ 0, 0548 + 20 ∗ 0, 9452 = 19, 45
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.d
Como cada a´rvore dessa espe´cie independe das demais, enta˜o temos que cada a´rvores
pode ser considerada proveniente de uma distribuic¸a˜o Bernoulli, onde o sucesso e´ a venda
por 20u.m..
Tomando 15 a´rvores ter´ıamos Y como sendo a quantidade de a´rvores vendidas por
20u.m.. Assim, Y tem uma distribuic¸a˜o Binomial(15;α = 0, 9452). Desta forma
P(Y ≥ 12) =
15∑
y=12
(
15
y
)
αy(1− α)15−y = 0, 9924
Exerc´ıcio 4
Estudos meteorolo´gicos indicam que a precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal em
per´ıodos de seca numa certa regia˜o pode ser considerada como seguindo a distribuic¸a˜o
Normal e me´dia 28mm e variaˆncia 16mm2.
a) Qual e´ a probabilidade de que a precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal no per´ıodo da
seca esteja entre 22 e 37mm?
b) Qual seria o valor da precipitac¸a˜o pluviome´trica de modo que exista apenas 5% de
chance de haver uma precipitac¸a˜o inferior a esse valor?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4
X : Precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal em per´ıodos de seca de uma determinada
regia˜o.
X ∼ Normal(28, 16)
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4.a
P(22 < X < 37) = P(X < 37)− P(X < 22) = P
(
Z <
37− 28
4
)
− P
(
Z <
22− 28
4
)
=
= P(Z < 2, 25)− P(Z < −1, 5) = 0, 9878− 0, 0668 = 0, 9210
6
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4.b
x 28
0,05
Figura 4:
P(X < x) = 0, 05 ⇒ P
(
Z <
x− 28
4
)
= 0, 05 ⇒
x− 28
4
= Φ−1(0, 05) ⇒
⇒
x− 28
4
= −1, 64 ⇒ x = 21, 42.
7

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