Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Noc¸o˜es de Estat´ıstica 2º sem de 2016 - FEA Lista de exerc´ıcios 6 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA Exerc´ıcio 1 Numa certa populac¸a˜o, o peso dos homens tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 75kg e desvio padra˜o 10kg; enquanto que o peso das mulheres tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 60kg e desvio padra˜o 4kg. a) Sorteando-se um homem dessa populac¸a˜o, qual e´ a probabilidade dele ter peso acima de 65kg? b) Sorteando-se uma mulher dessa populac¸a˜o, qual e´ a probabilidade dele ter peso acima de 65kg? c) Sabendo que na populac¸a˜o o nu´mero de mulheres e´ o dobro do de homens, qual e´ a probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65kg? d) Qual e´ o peso ma´ximo das mulheres que limita as 10% mais magras? Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1 Vamos definir a varia´vel aleato´ria X , como sendo o peso de uma pessoa. Temos que considerar se a pessoa e´ um homem (H) ou uma mulher (M). Assim X|H ∼ Normal(75; 102) e X|M ∼ Normal(60; 42) Sabemos que se W ∼ Normal(µ, σ2) ⇒ Z = W−µ σ ∼ Normal(0, 1) 1.a P(X > 65|H) = 1− P(X < 65|H) = 1− P ( X − 75 10 < 65− 75 10 |H ) = = 1− P(Z < −1) = 1− 0, 1587 = 0, 8413 1 1.b P(X > 65|M) = 1− P(X < 65|M) = 1− P ( X − 60 4 < 65− 60 4 |M ) = = 1− P(Z < 1, 25) = 1− 0, 8944 = 0, 1056 1.c Temos que as mulheres sa˜o os dobro dos homens, assim P(H) = k e P(M) = 2k. Como P(H) + P(M) = 1 ⇒ k = 1/3 ⇒ P(H) = 1/3 e P(M) = 2/3. Enta˜o podemos calcular P(X > 65) = P(X > 65|M)P(M) + P(X > 65|H)P(H) = 0, 3509 1.d Na Figura 1 temos a representac¸a˜o do que temos no problema. Neste caso queremos achar o valor de m. m 60 0,1 Figura 1: P(X < m|M) = 0, 1 ⇒ P ( Z < m− 60 4 |M ) = 0, 1 ⇒ m− 60 4 = Φ−1(0, 1) ⇒ ⇒ m− 60 4 = −1, 28 ⇒ m = 54, 87, onde Φ−1(a) e´ a inversa da distribuic¸a˜o acumulada de uma normal padra˜o no ponto a. 2 Exerc´ıcio 2 Uma maquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distri- buic¸a˜o normal, com me´dia µ e desvio padra˜o 10g. a) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio para que apenas 10% dos pacotes tenham peso inferior a 500g? Com a ma´quina assim regulada. b) Qual e´ a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 540g? c) Sabendo que o peso de um pacote foi inferior a` me´dia, qual e´ a probabilidade de ser inferior a 500g? Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2 X : Peso de um produto empacotado por uma ma´quina. X ∼ Normal(µ, 102) Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.a 500 µ 0,1 Figura 2: P(X < 500) = 0, 1 ⇒ P ( Z < 500− µ 10 ) = 0, 1 ⇒ 500− µ 10 = Φ−1(0, 1) ⇒ ⇒ 500− µ 10 = −1, 28 ⇒ µ = 512, 82, ∴ X ∼ Normal(512, 82; 102) 3 Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.b P(X > 540) = 1− P(X < 540) = 1− P ( Z < 540− 512, 82 10 ) = 1− 0, 9967 = 0, 0033 Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2.c P(X < 500|X < 512, 82) = P(X < 500) P(X < 512, 82) = P(Z < 500−512,82 10 ) P(Z < 512,82−512,82 10 ) = P(Z < −1, 282) P(Z < 0) = 0, 1 0, 5 = 0, 2 Exerc´ıcio 3 O diaˆmetro X de certa espe´cie de a´rvore e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal de me´dia 40cm e variaˆncia 25cm2. Se o diaˆmetro de uma a´rvore for inferior ao diaˆmetro me´dio por 8cm ou mais, esta a´rvore sera´ vendida por 10 unidades moneta´rias (u.m.); caso contra´rio, sera´ vendida por 20u.m.. a) Que proporc¸a˜o de a´rvores dessa espe´cie tem diaˆmetro entre 34 e 45cm? b) Qual e´ o intervalo central em torno do diaˆmetro me´dio tal que 85% das a´rvores possuem diaˆmetro nesse intervalo? c) Qual e´ o prec¸o me´dio de venda de cada a´rvore? d) Sorteando-se 15 a´rvores dessa espe´cie, qual e´ a probabilidade de pelo menos 12 serem vendidas por 20u.m.? Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3 X : Diaˆmetro de uma a´rvore de uma determinada espe´cie. X ∼ Normal(40, 25) Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.a P(34 < X < 45) = P(X < 45)− P(X < 34) = P ( Z < 45− 40 5 ) − P ( Z < 34− 40 5 ) = = P(Z < 1)− P(Z < −1, 2) = 0, 8413− 0, 1151 = 0, 7263 4 Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.b x1 40 x2 0,075 0,85 0,075 Figura 3: P(X < x1) = 0, 075 ⇒ P ( Z < x1 − 40 5 ) = 0, 075 ⇒ x1 − 40 5 = Φ−1(0, 075) ⇒ ⇒ x1 − 40 5 = −1, 44 ⇒ x1 = 32, 80. P(X > x2) = 0, 075 ⇒ 1−P ( Z < x2 − 40 5 ) = 0, 075 ⇒ P ( Z < x2 − 40 5 ) = 0, 925 ⇒ x2 − 40 5 = Φ−1(0, 925) ⇒ x2 − 40 5 = 1, 44 ⇒ x2 = 47, 20. Assim, temos que 85% das a´rvores dessa espe´cie possuem diaˆmetro entre 32,80 e 47, 2cm. Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.c Vamos definir a varia´vel aleato´ria, P , que representa o prec¸o de venda de uma a´rvore dessa espe´cie. P(P = 10) = P(X ≤ 32) = P ( Z ≤ 32− 40 5 ) = P(Z ≤ −1, 6) = 0, 0548 P(P = 20) = P(X > 32) = 1− P(X ≤ 32) = 0, 9452 5 Tabela 1: P 10 20 P(P = p) 0,0548 0,9452 Assim, o prec¸o me´dio das a´rvores e´ dado por E(P ) = 10P(P = 10) + 20P(P = 20) = 10 ∗ 0, 0548 + 20 ∗ 0, 9452 = 19, 45 Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3.d Como cada a´rvore dessa espe´cie independe das demais, enta˜o temos que cada a´rvores pode ser considerada proveniente de uma distribuic¸a˜o Bernoulli, onde o sucesso e´ a venda por 20u.m.. Tomando 15 a´rvores ter´ıamos Y como sendo a quantidade de a´rvores vendidas por 20u.m.. Assim, Y tem uma distribuic¸a˜o Binomial(15;α = 0, 9452). Desta forma P(Y ≥ 12) = 15∑ y=12 ( 15 y ) αy(1− α)15−y = 0, 9924 Exerc´ıcio 4 Estudos meteorolo´gicos indicam que a precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal em per´ıodos de seca numa certa regia˜o pode ser considerada como seguindo a distribuic¸a˜o Normal e me´dia 28mm e variaˆncia 16mm2. a) Qual e´ a probabilidade de que a precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal no per´ıodo da seca esteja entre 22 e 37mm? b) Qual seria o valor da precipitac¸a˜o pluviome´trica de modo que exista apenas 5% de chance de haver uma precipitac¸a˜o inferior a esse valor? Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4 X : Precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal em per´ıodos de seca de uma determinada regia˜o. X ∼ Normal(28, 16) Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4.a P(22 < X < 37) = P(X < 37)− P(X < 22) = P ( Z < 37− 28 4 ) − P ( Z < 22− 28 4 ) = = P(Z < 2, 25)− P(Z < −1, 5) = 0, 9878− 0, 0668 = 0, 9210 6 Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4.b x 28 0,05 Figura 4: P(X < x) = 0, 05 ⇒ P ( Z < x− 28 4 ) = 0, 05 ⇒ x− 28 4 = Φ−1(0, 05) ⇒ ⇒ x− 28 4 = −1, 64 ⇒ x = 21, 42. 7
Compartilhar