Vetores e Geometria - 2014 - Física-Usp noturno - P1

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MAT0112 Vetores e Geometria -F´ısica-noturno
P1 - 09 / 05/ 2014 - Turmas: 2014122/ 2014124
Gabarito das Provas A, B, C, D
A prova foi baseada na lista de exerc´ıcios. Em particular compare:
1. Questa˜o 1 com Problemas 2.11 e 2.14 da Primeira Lista
2. Questa˜o 2 com Problemas 3.10 e 3.15 da Primeira Lista
3. Questa˜o 3 com Problemas 3.5 e 3.6 da Primeira Lista
4. Questa˜o 4 com Problema 5.7 da Primeira Lista
Tal como informado no cabec¸alho da prova, cada item de cada questa˜o po-
dera´ ser anulado caso haja rasuras ou respostas erradas no campo da resposta
do item ou caso a justificativa do item na˜o seja adequada.
1
1 Prova A
Questa˜o 1.1 (2,0 pt). Determine as equac¸o˜es cartesianas (i.e., f(x, y) = c)
e parame´tricas (i.e., t→ α(t)) das curvas abaixo:
(a) Reta em R2 contendo os pontos a = (1, 1) e b = (2, 4)
(0,5 pt)(a-1) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (1, 1) + t(1, 3) com t ∈ R
(0,5 pt) (a-2) Eq. cartesiana
Resposta: −3x+ y = −2
(b) C´ırculo em R2 de centro p = (1, 1) e raio r = 3
(0,5 pt) (b-1) Eq. cartesiana
Resposta: (x− 1)2 + (y − 1)2 = 9
(0,5 pt) (b-2) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (3 cos(t) + 1, 3sen (t) + 1) com 0 ≤ t ≤ 2pi
Questa˜o 1.2 (3,0 pt). Considere a = (1, 2, 3), b = (1, 3, 1) e c = (2, 6, 4).
(1,5 pt)(a) Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.
Resposta: 9x− 2y − z = 2
(1,5 pt)(b) Distaˆncia do ponto p = (1, 1, 1) ao plano contendo os pontos a, b e c.
Resposta: 2
√
86
43
Questa˜o 1.3 (2,5 pt). Sejam a = (1, 2, 3), b = (1, 3, 1) e c = (2, 6, 4).
(1,0 pt) (a) Calcule a a´rea do triangulo com ve´rtices a, b e c.
Resposta:
√
86
2
(1,5 pt)(b) Calcule o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas sa˜o definidas pelos
vetores ~a, ~b e ~c
Resposta: 2
2
Questa˜o 1.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
 1 0 0 2 3 43 2 1 7 11 13
4 10 5 17 25 23

(1,0 pt) (a) Resolva o sistema linear A~x = 0 por meio da eliminac¸a˜o de Gauss.
Resposta:
x1 = −3
2
x5 − 3x6
x2 = −1
2
x3 − 5
8
x5 − 1
4
x6
x4 = −3
4
x5 − 1
2
x6
(0,5 pt) (b) Seja N(A) o nu´cleo de A, i.e., N(A) := {~x ∈ R6, A~x = 0}. Determine
a dimensa˜o do subespac¸o vetorial N(A).
Resposta: 3
(1,0 pt) (c) Determine uma base do nu´cleo de A.
Resposta:
~v1 = (0,−1/2, 1, 0, 0, 0)
~v2 = (−3/2,−5/8, 0,−3/4, 1, 0)
~v3 = (−3,−1/4, 0,−1/2, 0, 1)
3
2 Prova B
Questa˜o 2.1 (2,0 pt). Determine as equac¸o˜es cartesianas (i.e., f(x, y) = c)
e parame´tricas (i.e., t→ α(t)) das curvas abaixo:
(a) Reta em R2 contendo os pontos a = (2, 1) e b = (4, 5)
(0,5 pt)(a-1) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (2, 1) + t(2, 4) com t ∈ R
(0,5 pt) (a-2) Eq. cartesiana
Resposta: −4x+ 2y = −6
(b) C´ırculo em R2 de centro p = (3, 2) e raio r = 4
(0,5 pt) (b-1) Eq. cartesiana
Resposta: (x− 3)2 + (y − 2)2 = 16
(0,5 pt) (b-2) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (4 cos(t) + 3, 4sen (t) + 2) com 0 ≤ t ≤ 2pi
Questa˜o 2.2 (3,0 pt).
Considere a = (0, 1, 5), b = (2, 2, 3) e c = (3, 3, 4).
(1,5 pt)(a) Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.
Resposta: 3x− 4y + z = 1
(1,5 pt)(b) Distaˆncia do ponto p = (1, 2, 1) ao plano contendo os pontos a, b e c.
Resposta: 5
√
26
26
Questa˜o 2.3 (2,5 pt). Sejam a = (0, 1, 5), b = (2, 2, 3) e c = (3, 3, 4).
(1,0 pt) (a) Calcule a a´rea do triangulo com ve´rtices a, b e c.
Resposta:
√
26
2
(1,5 pt)(b) Calcule o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas sa˜o definidas pelos
vetores ~a, ~b e ~c
Resposta: 1
4
Questa˜o 2.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
 1 0 0 3 2 43 2 1 10 7 14
2 2 1 10 9 11

(1,0 pt) (a) Resolva o sistema linear A~x = 0 por meio da eliminac¸a˜o de Gauss.
Resposta:
x1 = 2x5 − 3x6
x2 = −1
2
x3 +
1
6
x5 − 5
6
x6
x4 = −4
3
x5 − 1
3
x6
(0,5 pt) (b) Seja N(A) o nu´cleo de A, i.e., N(A) := {~x ∈ R6, A~x = 0}. Determine
a dimensa˜o do subespac¸o vetorial N(A).
Resposta: 3
(1,0 pt) (c) Determine uma base do nu´cleo de A.
Resposta:
~v1 = (0,−1/2, 1, 0, 0, 0)
~v2 = (2, 1/6, 0,−4/3, 1, 0)
~v3 = (−3,−5/6, 0,−1/3, 0, 1)
5
3 Prova C
Questa˜o 3.1 (2,0 pt). Determine as equac¸o˜es cartesianas (i.e., f(x, y) = c)
e parame´tricas (i.e., t→ α(t)) das curvas abaixo:
(a) Reta em R2 contendo os pontos a = (3, 2) e b = (5, 1)
(0,5 pt)(a-1) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (3, 2) + t(2,−1) com t ∈ R
(0,5 pt) (a-2) Eq. cartesiana
Resposta: x+ 2y = 7
(b) C´ırculo em R2 de centro p = (1, 2) e raio r = 2
(0,5 pt) (b-1) Eq. cartesiana
Resposta: (x− 1)2 + (y − 2)2 = 4
(0,5 pt) (b-2) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (2 cos(t) + 1, 2sen (t) + 2) com 0 ≤ t ≤ 2pi
Questa˜o 3.2 (3,0 pt).
Considere a = (1, 1, 4), b = (2, 1, 2) e c = (3, 4, 2).
(1,5 pt)(a) Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.
Resposta: 6x− 2y + 3z = 16
(1,5 pt)(b) Distaˆncia do ponto p = (2, 2, 2) ao plano contendo os pontos a, b e c.
Resposta: 2
7
Questa˜o 3.3 (2,5 pt). Sejam a = (1, 1, 4), b = (2, 1, 2) e c = (3, 4, 2).
(1,0 pt) (a) Calcule a a´rea do triangulo com ve´rtices a, b e c.
Resposta: 7
2
(1,5 pt)(b) Calcule o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas sa˜o definidas pelos
vetores ~a, ~b e ~c
Resposta: 16
6
Questa˜o 3.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
 1 0 0 2 3 43 2 1 7 11 13
4 10 5 17 25 23

(1,0 pt) (a) Resolva o sistema linear A~x = 0 por meio da eliminac¸a˜o de Gauss.
Resposta:
x1 = −3
2
x5 − 3x6
x2 = −1
2
x3 − 5
8
x5 − 1
4
x6
x4 = −3
4
x5 − 1
2
x6
(0,5 pt) (b) Seja N(A) o nu´cleo de A, i.e., N(A) := {~x ∈ R6, A~x = 0}. Determine
a dimensa˜o do subespac¸o vetorial N(A).
Resposta: 3
(1,0 pt) (c) Determine uma base do nu´cleo de A.
Resposta: Resposta:
~v1 = (0,−1/2, 1, 0, 0, 0)
~v2 = (−3/2,−5/8, 0,−3/4, 1, 0)
~v3 = (−3,−1/4, 0,−1/2, 0, 1)
7
4 Prova D
Questa˜o 4.1 (2,0 pt). Determine as equac¸o˜es cartesianas (i.e., f(x, y) = c)
e parame´tricas (i.e., t→ α(t)) das curvas abaixo:
(a) Reta em R2 contendo os pontos a = (2, 3) e b = (7, 4)
(0,5 pt)(a-1) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (2, 3) + t(5, 1) com t ∈ R
(0,5 pt) (a-2) Eq. cartesiana
Resposta: x− 5y = −13
(b) C´ırculo em R2 de centro p = (5, 2) e raio r = 5
(0,5 pt) (b-1) Eq. cartesiana
Resposta: (x− 5)2 + (y − 2)2 = 25
(0,5 pt) (b-2) Eq. parame´trica
Resposta: α(t) = (5 cos(t) + 5, 5sen (t) + 2) com 0 ≤ t ≤ 2pi
Questa˜o 4.2 (3,0 pt).
Considere a = (1, 0, 3), b = (3, 1, 1) e c = (4, 2, 2).
(1,5 pt)(a) Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.
Resposta: 3x− 4y + z = 6
(1,5 pt)(b) Distaˆncia do ponto p = (2, 1, 1) ao plano contendo os pontos a, b e c.
Resposta: 3
√
26
26
Questa˜o 4.3 (2,5 pt). Sejam a = (1, 0, 3), b = (3, 1, 1) e c = (4, 2, 2).
(1,0 pt) (a) Calcule a a´rea do triangulo com ve´rtices a, b e c.
Resposta:
√
26
2
(1,5 pt)(b) Calcule o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas sa˜o definidas pelos
vetores ~a, ~b e ~c
Resposta: 6
8
Questa˜o 4.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
 1 0 0 3 2 43 2 1 10 7 14
2 2 1 10 9 11

(1,0 pt) (a) Resolva o sistema linear A~x = 0 por meio da eliminac¸a˜o de Gauss.
Resposta:
x1 = 2x5 − 3x6
x2 = −1
2
x3 +
1
6
x5 − 5
6
x6
x4 = −4
3
x5 − 1
3
x6
(0,5 pt) (b) Seja N(A) o nu´cleo de A, i.e., N(A) := {~x ∈ R6, A~x = 0}. Determine
a dimensa˜o do subespac¸o vetorial N(A).
Resposta: 3
(1,0 pt) (c) Determine uma base do nu´cleo de A.
Resposta:
~v1 = (0,−1/2, 1, 0, 0, 0)
~v2 = (2, 1/6, 0,−4/3, 1, 0)
~v3 = (−3,−5/6, 0,−1/3, 0, 1)
9