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Exercícios Resolvidos 
 
1) Mostrar que todo inteiro da forma 8n +1 é composto. 
 
Solução 
Para todo inteiro n 1: 
(2n+1)|(23n+1) =8n+1 
E obviamente: 1<2n +1<8n+1, de modo que o inteiro 8n +1 é composto. 
 
2) Mostrar que todo inteiro n > 11 é a soma de dois inteiros compostos. 
 
Solução: 
Se n é par, n=2k, então k 6 e n – 6=2 (K-3) é um inteiro composto, porque k 
Logo, n é a soma dos inteiros compostos 6 e n- 6. 
Se n é ímpar, n = 2k+1, então k 6 e n-9 = 2 (K-4) é um inteiro composto, porque k 
≥ 6. Logo, n é a soma dos inteiros compostos 9 e n-9. 
 
3) Mostrar que todo inteiro da forma n4+n2+1, onde n > 1 é composto. 
 
Demonstração: 
Com efeito: 
n4+n2+1 =(n2+1)2-n2 = 
 = (n2+n+1)(n2-n+1) 
 
Devemos observar que a proposição é falsa para n =1, pois temos o inteiro 3, que é 
primo. 
 
4) Mostrar que todo primo p da forma 9a2-b2, aumentado de 1, é um múltiplo de 6. 
 
Demonstração: 
Com efeito, temos: 
P =9 a2-b2=(3 a +b ) ( 3 a –b) 
O que implica, por ser p primo: 
3 a + b = p e 3 a – b = 1 
Portanto: 
b = 3 a -1 e p+1 = 3 a + 3 a -1+1 = 6ª 
 
5) Achar o menor primo que divide 311 +513. 
 
Solução: Os números inteiros 311 e 513 são ambos ímpares e, portanto, a soma 
311+513 é um inteiro par. Logo, 2 é o menor primo que divide esta soma. 
 
6) As raízes da equação quadrática x2-px + q = 0, onde p e q são primos, são 
inteiros positivos distintos. Determinar p e q. 
 
Solução: O produto das raízes é o primo q e, portanto, as raízes são 1 e q. Por 
outro lado, a soma das raízes é o primo p: 1 + q =p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
Logo, q = 2 e p =3. 
 
7) Achar o menor inteiro positivo x para o qual o produto 1260x é um cubo perfeito. 
 
Solução: Por ser 1260x =22.32.5.7.x, o menor inteiro positivo procurado 
x=2.3.52.72=7350. 
 
8) Achar os cinco menores primos da forma n2-2. 
 
Solução: 
Devemos observar que: 
n=2=> 22-2 =2 
n=3=>32-2=7 
n=5=>52-2=23 
n=7=>72-2=47 
n=9=> 92-2=79 
 
Os números procurados são: 2, 7, 23, 47 e 79. 
 
9) Achar todos os pares de primos p e q, tais que p- q= 3. 
 
Solução: 
Se p- q = 3, então p=3+q. Devemos observar que q deverá ser primo e par, pois se q 
for ímpar, p deverá ser par, logo será divisível por 2, contrariando a hipótese. 
Como o único primo par é o 2,teremos: 
q = 2 e p = 5. 
 
10) Achar todos os primos que são iguais a um quadrado perfeito menos 1. 
 
Solução: 
Seja p o número primo procurado, então p =n2-1 com n natural maior do que 1. 
p=n2-1 
p= (n+1)(n-1) 
n+1=p e n-1 = 1 
n = p-1 e n = 2 
p-1=2=>p = 3 
 
x+1 =1 
x-1 = p 
x = 0 e p =-1 (absurdo)