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1/2 Exercícios Resolvidos 1) Mostrar que todo inteiro da forma 8n +1 é composto. Solução Para todo inteiro n 1: (2n+1)|(23n+1) =8n+1 E obviamente: 1<2n +1<8n+1, de modo que o inteiro 8n +1 é composto. 2) Mostrar que todo inteiro n > 11 é a soma de dois inteiros compostos. Solução: Se n é par, n=2k, então k 6 e n – 6=2 (K-3) é um inteiro composto, porque k Logo, n é a soma dos inteiros compostos 6 e n- 6. Se n é ímpar, n = 2k+1, então k 6 e n-9 = 2 (K-4) é um inteiro composto, porque k ≥ 6. Logo, n é a soma dos inteiros compostos 9 e n-9. 3) Mostrar que todo inteiro da forma n4+n2+1, onde n > 1 é composto. Demonstração: Com efeito: n4+n2+1 =(n2+1)2-n2 = = (n2+n+1)(n2-n+1) Devemos observar que a proposição é falsa para n =1, pois temos o inteiro 3, que é primo. 4) Mostrar que todo primo p da forma 9a2-b2, aumentado de 1, é um múltiplo de 6. Demonstração: Com efeito, temos: P =9 a2-b2=(3 a +b ) ( 3 a –b) O que implica, por ser p primo: 3 a + b = p e 3 a – b = 1 Portanto: b = 3 a -1 e p+1 = 3 a + 3 a -1+1 = 6ª 5) Achar o menor primo que divide 311 +513. Solução: Os números inteiros 311 e 513 são ambos ímpares e, portanto, a soma 311+513 é um inteiro par. Logo, 2 é o menor primo que divide esta soma. 6) As raízes da equação quadrática x2-px + q = 0, onde p e q são primos, são inteiros positivos distintos. Determinar p e q. Solução: O produto das raízes é o primo q e, portanto, as raízes são 1 e q. Por outro lado, a soma das raízes é o primo p: 1 + q =p. 2/2 Logo, q = 2 e p =3. 7) Achar o menor inteiro positivo x para o qual o produto 1260x é um cubo perfeito. Solução: Por ser 1260x =22.32.5.7.x, o menor inteiro positivo procurado x=2.3.52.72=7350. 8) Achar os cinco menores primos da forma n2-2. Solução: Devemos observar que: n=2=> 22-2 =2 n=3=>32-2=7 n=5=>52-2=23 n=7=>72-2=47 n=9=> 92-2=79 Os números procurados são: 2, 7, 23, 47 e 79. 9) Achar todos os pares de primos p e q, tais que p- q= 3. Solução: Se p- q = 3, então p=3+q. Devemos observar que q deverá ser primo e par, pois se q for ímpar, p deverá ser par, logo será divisível por 2, contrariando a hipótese. Como o único primo par é o 2,teremos: q = 2 e p = 5. 10) Achar todos os primos que são iguais a um quadrado perfeito menos 1. Solução: Seja p o número primo procurado, então p =n2-1 com n natural maior do que 1. p=n2-1 p= (n+1)(n-1) n+1=p e n-1 = 1 n = p-1 e n = 2 p-1=2=>p = 3 x+1 =1 x-1 = p x = 0 e p =-1 (absurdo)
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