Mecânica II - POli - P1 2004

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 13 de abril de 2004 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (4,0 pontos) 
Uma esfera sólida e homogênea, de massa M e raio R, está 
rigidamente acoplada a uma haste, de massa m, que passa 
por seu centro de massa G. A haste gira em torno do eixo x 
com i
��
ϖϖ = e em torno do eixo vertical y com i
��
Ω=Ω . 
Pede-se: 
(a) Determinar a energia cinética do sistema (haste + esfera). 
(b) Determinar o momento angular da esfera, em relação ao 
pólo O. 
 
2ª Questão (4,0 pontos) 
Duas barras de massa m e comprimento L estão ligadas a 
um eixo que gira com velocidade angular constante, como 
indicado na figura. Os volantes A e B, de massa M, raio R 
e espessura desprezível, estão fixados ao eixo. 
Considerando o sistema Axyz, solidário ao volante, pede-
se: 
(a) Determinar as reações (considerando o peso) nos 
mancais A e B. 
(b) Determinar a localização e os valores de duas massas 
m1 e m2, fixadas na parte externa do volantes A e B, 
suficientes para balancear o sistema 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Considere o sistema composto de dois corpos de massas m1 e m2, ligados entre si por conecções 
elásticas lineares (molas) e dissipativas lineares (amortecedor viscoso) de constantes k1, k2, c1 e c2, 
respectivamente, conforme mostrado na figura. O segundo corpo é excitado por uma função externa 
senoidal F(t). Elaborar o diagrama de blocos para o programa SCICOS que represente este sistema 
baseado nas equações de movimento (utilize a função SCIFUNC se preferir) e crie um gráfico de 
saida temporal da velocidade do primeiro corpo. 
])([1 2212111
1
1 xkxkkxc
m
x ++−−= ��� e )]([1 122222
2
2 tFxkxkxc
m
x ++−−= ��� 
 
x1 
k1 
m1 
c1 F(t) 
x2 
k2 m2 
c2 
 
 
 
x 
y 
G 
ωωωω 
ΩΩΩΩ
L/2 L/2 
O 
5
2 2MRJ x =
 
L 2L 
L 
A B 
z 
y 
g�
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – Resolução - 13/04/2004 
1ª Questão (4,0 pontos) 
Uma esfera sólida e homogênea, de massa M e raio R, está 
rigidamente acoplada a uma haste, de massa m, que passa por 
seu centro de massa G. A haste gira em torno do eixo x com 
i
�� ϖϖ = e em torno do eixo vertical y com i
��
Ω=Ω . Pede-se: 
(a) Determinar a energia cinética do sistema (haste + esfera). 
(b) Determinar o momento angular da esfera, em relação ao 
pólo O. 
 
esferabarrasistema TTT += 
2
2
barra 6
mLT Ω=
 
[ ] ( )22222esfera J2
1
8
ML
0J00
0J0
00J
0
2
1
2
LM
2
1T Ω+ω+Ω=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Ω
ω
�
�
�
	
�
�
�
�
Ωω+�
�
�
�
�
�Ω=
 
5
MR2J
2
esfera = 
2
2
2
222
sistema 5
MR
5
R
8
LM
6
mLT ω+Ω�
	
�
�
��
�
�
��
�
�
++=
 
 
Utilizando a fórmula de mudança de pólo: 
( ) j
4
MLJiJjJiJk
2
LMi
2
LHvMOGH
2
GGO
��������� ��
�
�
��
�
�
++ω=Ω+ω+�
�
�
�
�
� Ω
−∧=+∧−=
 
 
ou alternativamente considerando o pto. “O” extensão rígida imaginária da esfera: 
 
( ) [ ] [ ] { }ω+∧−= ������ OxyzOO JkjivOGMH 
[ ] j
4
MLJiJ
0
4
MLJ00
0
4
MLJ0
00J
kjiH
2
2
2
O
������
��
�
�
��
�
�
++ω=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Ω
ω
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
+
+=
 
 
 
j
4
ML
5
MR2i
5
MR2H
222
O
���
��
�
�
��
�
�
++ω=
 
 
x 
y 
G 
ωωωω 
ΩΩΩΩ
L/2 L/2 
O 
5
2 2MRJ x =
 
 
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PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – Resolução - 13/04/2004 
 
2ª Questão (4,0 pontos) 
Duas barras de massa m e comprimento L estão ligadas a 
um eixo que gira com velocidade angular constante, como 
indicado na figura. Os volantes A e B, de massa M, raio R 
e espessura desprezível, estão fixados ao eixo. 
Considerando o sistema Axyz, solidário ao volante, pede-
se: 
(a) Determinar as reações (considerando o peso) nos 
mancais A e B. 
(b) Determinar a localização e os valores de duas massas 
m1 e m2, fixadas na parte externa do volantes A e B, 
suficientes para balancear o sistema 
 
YA 
g � 
ZA XA 
YB 
XB 
Mg Mg 
mg mg 
 
 
( )Mm4
mL3
M2m2
2
L
mmL
yG +
=
+
+
=
 
( )
( )Mm4
Lm3M6
M2m2
2
L
mmLL3M
z G +
+
=
+
++
=
 
 
TMB: 
( ) ( ) ( ) ( ) kZjmg2Mg2YYiXXjMm4
mL3Mm2 ABABA
2
����
+−−+++=
+
ω+− 
( )
�
�
�
��
�
�
=
ω
−+=+
−=
0Z
2
mL3gMm2YY
XX
A
2
BA
BA
 
 
 
L 2L 
L 
A B 
z 
y 
g�
 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
TMA: 
( ) ( ) k
3
mL4jmLkMRkmLj
2
LLmk
3
L
mjL
2
L
mk
2
MR2H
2
222
22
A
���������
ω+ω−ω=ω+ω�
�
�
�
�
�
−ω+ω�
�
�
�
�
�
−��
�
�
��
�
�
ω=
imLH 22A
���
ω= 
( ) i
2
L
mgimgLjL3XiL3YMgM BBA
�����
+++−=
 
�
�
�
�
�
�
�
=
=
+−=ω
00
0X
2
mg3Y3Mg3mL
B
B
2
 
 
2
B 3
mLg
2
mMY ω−�
�
�
�
�
�
+=
 
 
2
A 6
mL7g
2
m3MY ω−�
�
�
�
�
�
+=
 
0ZXX ABA === 
 
 
Para balancear: 
 
( )
( )L3,R,0emm
0,R,0emm
2
1
−
−
 
 
OK0J0J xzxz �=′→= 
( )( ) �=−+=′→= 0L3RmmLJmLJ 22yz2yz ( )L3,R,0emR3
mL
m 2 −= 
 
( )
( ) ( )
( ) �=+++
−+−+
=′→
+
= 0
mmMm2
RmRm
2
mL3
y
Mm2
2
mL3
y
21
21
GG ( )0,R,0emR6
mL7
m1 −= 
 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
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PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – Resolução - 13/04/2004 
 
3ª Questão (2 pontos) 
 
])([1 2212111
1
1 xkxkkxc
m
x ++−−= ��� e )]([1 122222
2
2 tFxkxkxc
m
x ++−−= ��� 
 
x1 
k1 
m1 
c1 F(t) 
x2 
k2 m2 
c2 
 
 
 
x1p (t) 
-c1/m1 
� 
1/s 1/s 
-k1/m1 
 
-k2/m1 
 
CORPO 1 
x1 (t) x1pp (t) 
k2/m1 
 
x2p (t) 
-c2/m2 
 
� 
1/s 1/s 
-k2/m2 
 
1/m2 
 
CORPO 2 
x2 (t) x2pp (t) 
k2/m2 
 
x2 (t) 
x1 (t) 
sinusoidal 
generator 
 
 
x1p (t) 
F (t)