Mecânica II - POli - P2 2005

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Segunda Prova – 17 de maio de 2005 
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
A cruzeta ABCD, de massa desprezível e dimensões 
dadas na figura, gira em torno de AB com velocidade 
angular constante i
rr
W=W . Neste mesmo instante, o 
disco com centro no ponto C, de massa m e raio R, gira 
com velocidade angular constante kC
rr
ww 2-= e o disco 
com centro no ponto D, de massa 2m e raio R, gira com 
velocidade angular constante kD
rr
ww = . Pede-se, na 
posição indicada na figura (braço CD na horizontal): 
(a) O vetor de rotação absoluto dos discos 
(b) As acelerações dos centros de massa dos discos 
(c) Os momentos que os discos aplicam na cruzeta 
(d) As reações nos mancais A e B. 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
No sistema mostrado na figura, a barra tem comprimento 
l e massa m e encontra-se inicialmente em repouso. Em 
um dado instante, uma esfera de massa m/2 atinge o ponto 
B com velocidade iVV
rr
= , de maneira perfeitamente 
anelástica. 
(a) Calcule o vetor de rotação w¢
r
 e a velocidade do 
baricentro ¢GV
r
 da barra, imediatamente após o choque. 
(b) Calcule o impulso na articulação A. 
(c) Calcule a aceleração angular da barra w¢
r
& , após o 
choque. 
 
3ª Questão (3,0 pontos) 
Ao se resolver o problema proposto no EP-1, obtém-se a seguinte equação de movimento para o 
rotor na posição horizontal: 
)()())()cos(( qqqqq &&&& QTsenyxPJ GGz -+-= 
a) Desenhe o diagrama de blocos implementado no programa SCICOS apenas para a equação de 
movimento do rotor e saída gráfica da velocidade angular. (explicitar a função usada no Scifunc) 
b) Considerando os resultados que você obteve durante a simulação do movimento para o rotor na 
posição vertical, esboce dois gráficos em função do tempo sendo um para a velocidade angular do 
rotor e outro da reação horizontal no mancal. 
c) Esboce o gráfico da reação Ya(t) no mancal A, e descreva o movimento do rotor para o caso de 
torque inicial do motor de T0 = 3 Nm (posição horizontal) 
 
x 
y 
A 
B 
O 
z 
D 
C 
L 
L 
L 
2L 2w 
W
m,R 
2m,R 
w 
g 
Discos: 2
2mRJ
zG
= 
 
 
g 
m , l 
A 
B 
l /3 
m/2,V 
i r 
j r . 
 
G 
Barra: 
12 
2 mL J y = 
 
 
x 
y 
m , L 
G 
 
 
 
 
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Gabarito da 2a Prova de PME2200 17/02/2005 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
A cruzeta ABCD, de massa desprezível e dimensões 
dadas na figura, gira em torno de AB com velocidade 
angular constante i
rr
W=W . Neste mesmo instante, o 
disco com centro no ponto C, de massa m e raio R, gira 
com velocidade angular constante kC
rr
ww 2-= e o disco 
com centro no ponto D, de massa 2m e raio R, gira com 
velocidade angular constante kD
rr
ww = . Pede-se, na 
posição indicada na figura (braço CD na horizontal): 
(a) O vetor de rotação absoluto dos discos 
(b) As acelerações dos centros de massa dos discos 
(c) Os momentos que os discos aplicam na cruzeta 
(d) As reações nos mancais A e B. 
Solução 
(a) kiWkiW DC
rrrrrr
ww +W=-W= ;2 ;(0,5) 
(b) kLakLa DC
rrrr 22 ;2 W=W-= ;(0,5) 
(c) TMAC : jmRMM
J
J
J
kji CC
Cz
y
x rrr&r&r&r W=Þ=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
W
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
þý
ü
îí
ì w
w
2
2
0
00
0
00
,, ;(0,5) 
 
TMAD : jmRMM
J
J
J
kji DD
Dz
y
x rrr&r&r&r W-=Þ=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ìW
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
þý
ü
îí
ì w
w
20
00
0
00
,, ;(0,5) 
Portanto, o disco de centro C aplica na cruzeta o momento jmR
r
W- w2 e o disco de centro D aplica 
na cruzeta o momento jmR
r
Ww2 . (0,5) 
(d)Diagrama de corpo livre da cruzeta 
TMB: î
í
ì
=+
=+
0
3
BA
BA
ZZ
mgYY
 ;(0,5) 
 
TMA: 
( )
( )î
í
ì
=+-
=-
0
0
LYY
LZZ
BA
BA
 
ïî
ï
í
ì
==
==\
0
2
3
BA
BA
ZZ
mgYY
 ;(0,5) 
 
 
x 
y 
A 
B 
O 
z 
D 
C 
L 
L 
L 
2L 2w 
W
m,R 
2m,R 
w 
g 
Discos: 2
2mRJ
zG
= 
 
Ww2mR
 
Ww2mR
 
AZ
 
BY
BZ
AY
Lm 22 W
 
Lm 22 W
mg
m g2
 
 
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Questão 2 (3,5 pontos) 
 
a) Diagrama de corpo livre (0,5) 
TMI: ;0;
rrrrr
==-¢ IA
I
AAA MMKK 
( ) ( ) ;
62
3
k
mlv
Kiv
m
ABK A
j
l
A
rrr
321
r
r
=Þ-Ù-=
÷
ø
öç
è
æ
(0,5) 
( ) kJvmAGK
AzAA
r
44 344 21
rr
r
w ¢+Ù-¢=¢
=0
2
3
 
;
6
;
36
6
61232
22222
w ¢=¢\=Þ÷
ø
ö
ç
è
æ++÷
ø
ö
ç
è
æ=
ml
K
ml
J
l
m
mllm
J Azz AA
r
 
 (0,5) 
 
Substituindo na expressão do TMI: 
l
vmlvml
=¢Þ=-¢ ww 0
66
2
 
Como ( ) ivvAGvv GAG
rrrrr
6
=¢Þ-Ù¢+=¢ w (0,5) 
 
b) TRIA: ( )( ) ;
6
;
3
;
2
i
l
vi
l
viIvm
m
ivv GBXGB
rrrrrrrr ww ¢
=¢
¢
-=¢=¢+--¢ (0,5) 
2
mv
I X =\ (0,5) 
 
c) TMAA: ( ) ;
2
3
AzA MkJa
m
AG
A
rr
&r =¢+Ù-¢ w Como ( ) 00
rrr
=Þ=-¢ AMAG , pois a única força 
externa que causa momento é o peso do sólido composto pela barra e pela esfera. Portanto 
0=¢w& .(0,5) 
 
Ix 
Iy 
B 
A 
G 
 
 
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Resolução da 3ª Questão 
 
a) Diagrama de bloco do programa SCICOS para o modelo do rotor. 
 Equação de movimento do rotor utilizada no bloco Scifunc: 
ZGG JQTsenyxP /))()())()cos((( qqqqq &&&& -+-= 
 
b) Gráfico temporal da velocidade angular do rotor (tempo em segundos e velocidade angular em 
rad/s); gráfico temporal da reação na direção YA no mancal A para o rotor na posição vertical 
(valor médio nulo - força em Newtons) e gráfico da reação na direção YA na posição horizontal 
 
 
 
YA na vertical 
W(t) na vertical 
 
 
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c) Para um torque inicial do motor de To = 3,0 Nm, o movimento do rotor irá depender das 
condições iniciais. Para velocidade inicial nula e: 
qo = 0 o rotor inicia o movimento e fica girando; 
qo = -p/2, p/2 e p, o rotor oscila sem completar uma volta e se estabiliza em ponto de equilíbrio 
próximo de p. 
 
 
 
 
 
 
 
YA na horizontal para qo = 0YA na vertical para qo = 0