Mecânica II - POli - P1 2009

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2200 – Mecânica B – 1ª Prova – 31/3/2009 
Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (3,0 pontos) 
 
O eixo esbelto de comprimento 3L e massa m é 
apoiado na articulação A e no anel B e possui 
discos de raio R e massa 3m em cada uma de suas 
extremidades. A esfera de raio r = L/4 e massa 
2m está unida ao eixo por um segmento esbelto 
reto vertical de comprimento L e massa m. O 
conjunto gira em torno do eixo z com velocidade 
angular constante ωωωω. Considerando o sistema de 
coordenadas Axyz solidário ao eixo, pede-se 
determinar: 
a) a posição do baricentro do conjunto; 
b) o momento de inércia do conjunto em relação 
ao eixo z e os seus produtos de inércia; 
c) a localização e os valores de duas massas 
compensadoras m1 e m2 fixadas na parte 
externa dos discos, suficientes para balancear o 
sistema. 
 
 x 
y 
z 
3L 
L 
ω 
2L A 
B 
3m 
R 
g 
r 
2m 
 
 
Dados: 
i) momento de inércia de uma esfera de 
massa m e raio r em relação a um eixo que 
passa pelo seu baricentro: 
 
2
5
2
mrJ = 
ii) 
 
Resolução: 
 
a) massa total: M = 10 m 
103541022 /L/r/Lm/))rL(m)/L(m(xG =+=++= ; 
0=Gy 
LmLmLmLmLmmzG 20
2710/))3(3)(2)()2/3()0(3( =++++= 
)20/27,0,10/3()( LLAG =−
 (0,5) 
 
b) )45/143/73(2/3))(25/4(3/2/3 22222222 LrrLRmmRrLmmrmLmRJ z +++=+++++= 
)120/4213( 22 LRmJ z += (0,5) 
 
⇒+=++= mLrmLrLLmLLmJ xz 22
5))((2)2/)(( 2 23mLJ xz = ; 0=xyJ 0=yzJ (0,5) 
 
 
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c) Posições das massas: m1 (-R, 0, 0); m2 (-R, 0, 3L); 
J’xz = Jxz + m1 (-R)(0) + m2 (-R)(3L) = 0 (0,5) → R
mL
m =2 em (-R, 0, 3L); 
M xG + m1 (-R) + m2 (-R) = 0 (0,5) → R
mL
m
2
1 = em (-R, 0, 0). (0,5) 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
No mecanismo da figura, o disco de massa m e 
raio R gira com vetor de rotação i
rr
ωω = constante 
relativo ao eixo AO de comprimento 4R e massa 
desprezível. O eixo AO, por sua vez, está ligado a 
um pino em O que permite apenas a sua rotação 
em torno de k
r
. Pede-se determinar: 
a) a aceleração angular α&& ; 
b) a velocidade angular α& , sabendo que 
00 =⇒= αα & ; 
c) a aceleração do ponto A; 
d) as reações vinculares em O. 
i
j
g
4R
R
O
A
αααα
ωωωω
ii
jj
gg
4R
R
O
A
αααα
ωωωω
 
Resolução: 
 
DCL 
O
i
j
4R
A
αααα
Fy Fx
My
O
ii
jj
4R
A
αααα
Fy Fx
My
 
 
a) TMA adotando O como pólo: 
 
( ) kJjJkJiJ
dt
dM zxzxextO
r
&&
r
&
r
&
rr
ααωαω +=+=
 (0,5) 
 ( ) kRmmRjmRkmgRjM y r&&r&rr ααωα 





++=+⇒ 222 4
4
1
2
1
cos4 
 ⇒ αα cos65
16
R
g
=&&
 (0,5) 
 
b) Integrando a expressão de α&& em relação ao tempo e 
considerando que 00 =⇒= αα & : 
 ⇒= αα sen
65
322
R
g
& αα sen
65
32
R
g
=&
 (0,5) 
(o mesmo resultado pode ser obtido usando o TEC) 
c) ⇒+−= jRiRaA
r
&&
r
&
r 442 αα jgiga A
rrr
αα cos
65
64
sen
65
128
+−=
 (0,5) 
 
mg 
 
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d) TR: ( ) ( ) jmgimgjFmgiFmgamR yxAext rrrrrr αααα cos65
64
sen
65
128
cossen +−=−+−⇒= (0,5) 
 ⇒ αsen
65
193
mgFx = 
 ⇒ αcos
65
1
mgFy = (0,5) 
 de (a) ⇒= αω &2
2
1
mRM y αω sen65
32
2
1 2
R
g
mRM y = (0,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 3 (3,5 pontos) A figura 
mostra um disco homogêneo de 
massa M e raio R suportado por 
um mancal em O ; uma pequena 
esfera de massa m está presa na 
periferia do disco. Uma mola 
linear de constante elástica K e 
comprimento natural LO está 
articulada ao ponto C do disco e 
ao ponto A situado sobre o eixo y, 
de modo que ( ) DOA =− e 
( ) eOC =−
 . O sistema pode ser 
acionado por um motor que aplica 
um torque que varia em função da 
velocidade angular do disco 
segundo a expressão )1(0
op
TT
ω
ϕ&
−=
, onde 0T é o torque de partida do motor e opω é a sua 
velocidade de operação quando desconectado do disco. Pede-se: 
 
a) Deduza a expressão da força que a mola aplica no disco. (1.0) 
 
A força elástica é calculada pela expressão 
u)LL(KF el r
r
0−−= , 
onde ( )ACL −= , ( ) ( ) jDcoseisineAC rr −+−=− ϕϕ e ( )( )AC
AC
u
−
−
=
r
. 
Como ( ) ϕcosDeDeAC 222 −+=− , resulta 
 
( ) ( )( )
( ) 2122
0
2122
2
2
ϕ
ϕϕϕ
cosDeDe
jDcoseisineLcosDeDe
KF el
−+
−−




−−+
=
rr
r
 . 
 
 
 
b1) Foram feitas simulações nas quais se adotou R.e 050= e 0=g ; esboce um gráfico 
descrevendo como variou a freqüência de oscilação do disco em função do valor de )0(ϕ . 
 
O gráfico solicitado é construído a partir dos resultados obtidos do item 2b do Exercício de 
Modelagem e Simulação Computacional #1: sistema sem acionamento, com )0(ϕ variando desde 
ϕ
 
T 
A 
m 
C e O 
R 
y 
x 
g 
 
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10
0 piϕ =)( até 
10
9)0( piϕ = . Por exemplo, a figura a seguir mostra o gráfico de )(tϕ 
correspondente a 
10
50 piϕ =)( : 
 
 
O gráfico mostra que o disco executa 11 oscilações em aproximadamente 3 segundos, de modo 
que a sua freqüência de oscilação é s/rad23≈ω . Procedendo de modo análogo para os demais 
valores de )0(ϕ , obtém-se o gráfico mostrado abaixo: (0.5) 
 
 
 
b2) Foram feitas simulações nas quais se adotou 0=e e ²s/m.g 8159= ; esboce um gráfico 
descrevendo como variou a freqüência de oscilação do disco em função do valor de )0(ϕ . 
Procedendo de modo análogo ao anterior, obtém- se o gráfico a seguir: (0.5) 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
16
17
18
19
20
21
22
23
24
FI0 (rad)
W
 
(ra
d/
s) 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
time (s)
fi 
(ra
d) 
 
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b3) Identifique a situação na qual foram obtidos os gráficos de )(tϕ e de )(tϕ& 
mostrados a seguir: 
 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1
2
3
4
5
6
time (s)
fi 
(ra
d) 
 
 Gráfico de )(tϕ 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-30
-20
-10
0
10
20
30
time (s)
fip
 
(ra
d/
s) 
 Gráfico de )(tϕ& 
 
 
 
 
 
Os gráficos mostram resultados típicos dos casos correspondentes a R.eR. 070050 <≤ , com 
²s/m.g 8159=
 e 
10
0 piϕ =)( ; os demais dados são fornecidos no item 2e do EMSC1. (0.5) 
 
c) Sistema com acionamento: faça gráficos de )(tϕ e de )(tϕ& que descrevam os casos 
considerados nas simulações e interprete os resultados 
 
Ocorrem duas situações distintas: em uma delas, o torque acionador não é suficiente para que o 
disco parta com um determinado valor de )0(ϕ e acelere até atingir opω ; na outra situação, o 
disco acelera, atinge opω e a partir daí mantém uma velocidade de rotação praticamente 
constante. Os gráficos abaixo ilustram os resultados correspondentes a essas situações. 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
FI0 (rad)
W
 
(ra
d/
s) 
 
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((0.5) para cada par de gráficos) 
 
 Gráfico de )(tϕ na situação em que o torque é insuficiente; o disco partiu com 
10
50 piϕ =)( e estabilizou em um valor próximo de 1.4 rad. O gráfico de )(tϕ& correspondente é 
 
 
A seguir são mostrados os gráficos correspondentes à 2ª situação descrita. 
0 5 10 15
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
time (s)
fip
 
(ra
d/
s) 
0 5 10 15
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
time (s)
fi 
(ra
d) 
 
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Gráfico de )(tϕ , mostrando que o disco gira sempre no mesmo sentido. 
 
Gráfico de )(tϕ& , mostrando que a velocidade angular do disco aumenta até estabilizar com 
valores muito próximos de opω . 
 
 
 
 
 
0 5 10 15
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
time (s)
fip
 
(ra
d/
s) 
0 5 10 15
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
time (s)
fi 
(ra
d)