Mecânica II - POli - P1 2010

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 06 de abril de 2010 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
 
No sistema mostrado na figura ao lado, a 
barra ABC tem diâmetro desprezível e os 
trechos AB e BC têm massa m e 
comprimento L. Ao longo da barra BD de 
massa desprezível, pode-se ajustar a posição 
a de uma partícula de massa concentrada de 
valor 2m. O sistema gira com vetor de 
rotação k
rr
ww = constante. Pede-se: 
 
a) uma expressão que correlacione a posição 
da partícula a e o valor de w, tal que a 
reação em A seja nula; 
b) a reação na articulação B, em função de a, 
para a condição do item anterior. 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
O disco A rola sem escorregar sobre o disco fixo B em torno do eixo 
AD, de comprimento L, o qual está articulado em D (por meio de um 
pino) a um eixo vertical DE que gira com velocidade angular w1 
constante. A haste AD tem peso desprezível, o disco A tem massa m e 
raio r e o disco B tem raio R. Sugere-se a adoção de um sistema de 
eixos passantes pelo ponto A, mas não solidário ao corpo do disco. 
Nestas condições, pede-se: 
 
(a) o vetor de rotação do disco A; 
(b) a quantidade de movimento angular do disco A em relação ao pólo 
D; 
(c) utilizando o TMA, determine o valor de w1 para que a reação 
normal no contato entre os discos A e B seja nula. 
 
 
 
 
 
 
z 
w 
A 
m, L 
g 
m, L C B 
D 
y 
2m 
45° 
P 
a 
w2 
w1 
A 
D 
E 
B 
q 
 
 
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3ª Questão (3,0 pontos) 
 
No primeiro Exercício de Modelagem e Simulação 
Computacional foi considerado um disco de raio R e 
massa 2m, que gira em torno do mancal O. Na 
extremidade do disco está fixada uma partícula de 
massa m, conforme mostrado na figura 1. Pede-se: 
 
 
a) faça o diagrama de forças sobre o corpo livre; 
 
b) Considerando o sistema Oxyz, solidário ao disco, 
obtenha novamente a equação de movimento 
dinâmico do sistema em função da coordenada 
angular q; que você utilizou na simulação de movimentos. 
 
c) Esboce os gráficos obtidos para posição e velocidade angular durante a simulação numérica para 
condições iniciais de posição para qo = -0.001 rad e de velocidade angular para wo = 0.0 rad/s. 
 
 
 
 
Y 
X 
y 
x 
O 
q 
R 
2m 
m 
g 
 
 
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PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – Resolução - 06/04/2010 
 
Resolução da 1ª Questão (3,5 pontos) 
 
No sistema mostrado na figura ao lado, a 
barra ABC tem diâmetro desprezível e os 
trechos AB e BC têm massa m e 
comprimento L. Ao longo da barra BD de 
massa desprezível, pode-se ajustar a posição 
a de uma partícula de massa concentrada de 
valor 2m. O sistema gira com vetor de 
rotação k
rr
ww = constante. Pede-se: 
 
a) uma expressão que correlacione a posição 
da partícula a e o valor de w, tal que a 
reação em A seja nula; 
b) a reação na articulação B, em função de a, 
para a condição do item anterior. 
 
Baricentro: 
 ( ) ( )GGG z,y,xBG =- 0xG = ; 2
a
8
L
m4
ma22
Lm
yG -=
-
= ; 
2
a
8
L
m4
ma22
Lm
zG +=
+
= (0,5) 
TMB: 4 ( ) ( ) ( )kmg4ZjYYiXXam BBABAG
rrrr
-++++= 
( ) ( )[ ] ( )[ ]kzjyixkk00)BGBGaa GGG2BG rrrrrrrrr&rrr ++ÙÙw++=-ÙwÙw+-Ùw+= 
j
2
a
8
L
a 2G
rr
w÷
ø
ö
ç
è
æ --= (0,5) 
Para 0YX AA == : 0XB = ; 
2
B 2
a
8
L
m4Y w÷
ø
ö
ç
è
æ --= ; mg4ZB = (0,5) 
TMA em relação ao pólo B (ponto fixo): BB MH
r&r = 
[ ][ ] kJjJiJ0
0
JkjiH zyzxzBxyzB
rrrrrrr
w+w-w-=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
w
= (0,5) 
sendo 0J xz = , ( )( ) 2yz ma2aam2J -=-= e 0k
r&r = , têm-se: 
( ) ima2jkma2jma2H 2222B
rrr&r&r w-=Ùww=w= 
( )iLmgmgaM B rr 22 -= (0,5) 02
L
gga2a2 22 =-+w (0,5) (0,5) 
 
 
 
z 
w 
A 
m, L 
g 
m, L C B 
D 
y 
2m 
45° 
P 
a 
YA XA 
2mg 
mg 
mg 
YB 
XB 
ZB 
 
 
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Resolução da 2ª Questão (3,5 pontos) 
O disco A rola sem escorregar sobre o disco fixo B em torno do eixo AD, 
de comprimento L, o qual está articulado em D (por meio de um pino) a 
um eixo vertical DE que gira com velocidade angular w1 constante. A 
haste AD tem peso desprezível, o disco A tem massa m e raio r e o disco 
B tem raio R. Sugere-se a adoção de um sistema de eixos passantes pelo 
ponto A, mas não solidário ao corpo do disco. Nestas condições, pede-se: 
(a) o vetor de rotação do disco A; 
(b) a quantidade de movimento angular do disco A em relação ao pólo D; 
(c) utilizando o TMA, determine o valor de w1 para que a reação normal 
 no contato entre os discos A e B seja nula. 
 
Sendo o referencial móvel a barra AD e C o ponto de contato entre os discos: 
1221rel,Carr,CC r
R
0iriRvvv w=wÞ=w+w-=+=
rrrrrr
 (0,5) 
O vetor de rotação do disco fica então: ( ) Þw+q+qw=w+w=W kkcosjsen 2121
rrrrrr
 
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +q+qw=W k
r
R
cosjsen1
rrr
 (0,5) 
Sendo 
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
2
mr
00
0
4
mr
0
00
4
mr
J
2
2
2
A e assim 
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
=
2
mr
00
0mL
4
mr
0
00mL
4
mr
J
2
2
2
2
2
D . (0,5) 
Sendo D ponto fixo: 
[ ] [ ]
( )
Þ
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+qw
qw=
r
Rcos
sen
0
JkjiH
1
1DxyzD
rrrr ( )krRcos2
mr
jsenmL
4
mr
H 1
2
1
2
2
D
rrr
+qw+qw÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+= (0,5) 
Pelo TMA: DD MH
r&r = . 
Sendo a normal nula, a única força que resta causando momento em relação ao pólo D é o peso do 
disco. Assim: imgLsenM D
rr
q-= . (0,5) 
( ) ( )( ) kkcosjsenrRcos2
mr
jkcosjsensenmL
4
mr
H 111
2
111
2
2
D
rrrrrr&r Ùqw+qw+qw+Ùqw+qwqw÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+= 
( ) irRcossen2
mr
cossenmL
4
mr
H 21
2
2
1
2
2
D
r&r
ú
û
ù
ê
ë
é
+qqw+qqw÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-= (0,5) 
Substituindo no TMA, resulta em: 
2
mrR
cos
4
mr
mL
mgL
2
2
1
-q÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
±=w (0,5) 
w2 
w1 
A 
D
E 
B 
q 
 
 
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Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos)No primeiro Exercício de Modelagem e Simulação 
Computacional foi considerado um disco de raio R e 
massa 2m, que gira em torno do mancal O. Na 
extremidade do disco está fixada uma partícula de 
massa m, conforme mostrado na figura 1. Pede-se: 
 
 
 
 
 
 
a) faça o diagrama de forças sobre o corpo livre: 
 
forças externa: na articulação O e peso próprio; (0,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerando o sistema Oxyz, solidário ao disco, obtenha novamente a equação de movimento 
dinâmico do sistema em função da coordenada angular q; que você utilizou na simulação de 
movimentos. Tomando o pólo O: 
 
 
ext
ozz MJ =w& ® gmOGmRmR
r& 3)()2/2( 22 Ù-=+ w ® qw sen
2R
g
=& (1,5) 
 
 
Y 
X 
y 
x 
O 
q 
R 
2m 
m 
g 
 
Y 
X 
y 
x 
O 
q 
R 
2m 
m 
g 
YO 
XO 
G 
3 mg 
 
 
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c) Esboce os gráficos obtidos para posição e velocidade angular durante a simulação numérica para 
condições iniciais de posição para qo = -0.001 rad e de velocidade angular para wo = 0.0 rad/s. 
(1,0) 
 
 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
 
Figura 1 – Posição angular em função do tempo 
 
 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
 
Figura 2 – Velocidade angular em função do tempo