Gabarito PME 2330 P1 2014

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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) 
Gabarito Primeira Prova - 2014 
 
1. (4 pontos) Um escoamento bidimensional, em regime permanente e não-viscoso é dado, num 
sistema cilíndrico de coordenadas, pelo campo de velocidades: 
r
Cur 1= ; r
Cu 2=θ ; 0=zu , onde C1 e C2 são constantes. 
Os efeitos gravitacionais são desprezíveis. Observando as expressões, para 0→r temos que 
0→u , e nessa condição temos que a pressão ∞→ pp , onde ∞p é um valor arbitrário. Se o 
fluido tem massa específica ρ, pedem-se: 
a) Verifique se o escoamento é incompressível; (0,5 pontos) 
b) Verifique se o escoamento é irrotacional; (0,5 pontos) 
c) Usando a equação de Euler, determine o gradiente de pressão ∇p e obtenha p=p(r,θ) por 
integração; (2 pontos) 
d) Usando a equação de Bernoulli, verifique o resultado da distribuição de pressão do item 
anterior. (1 ponto) 
 
Dados: 
Continuidade: ( ) 0=⋅∇+
∂
∂ u
t

ρρ 
Divergente da velocidade: 
( )
z
uu
rr
ur
r
u zr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
θ
θ11.  
Rotacional da velocidade: z
zr
zr
e
r
u
uuu
zrr
eee
uurot 

 θ
θ
θ
θ
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇= 
Equação de Euler: 
r
r
z
rr
r
r g
r
p
r
u
z
uu
r
uu
r
uu
t
u
ρ
θ
ρ θθ +∂
∂
−=





−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 2
 
θ
θθθ
θ
θθ ρ
θθ
ρ g
r
p
r
uu
z
uu
r
uu
r
uu
t
u r
zr +∂
∂
−=





+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
z
z
z
zz
r
z g
z
p
z
uu
r
uu
r
uu
t
u
ρ
θ
ρ θ +∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
Equação de Bernoulli: 
constzgdpu =++ ∫ ρ
1
2
2
 
 
Solução: 
a) Para um escoamento incompressível, temos da continuidade que 0=⋅∇ u . Mas o divergente 
da velocidade é dado por: 
0111 2
11
0
21 =




 −=





∂
∂
+





∂
∂
=⋅∇
r
Cr
r
C
rr
C
rr
Cr
rr
u


θ
 
Logo, o escoamento é incompressível. 
b) Calculando o rotacional da velocidade: 
 
 
00
0
2
2
2
2
2
2
21
=+




 −−=+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇= zzz
zr
e
r
C
r
Cee
r
C
r
C
r
C
zrr
eee
uurot 


θ
θ
 
Logo, o escoamento é irrotacional. 
c) Da equação de Euler, para escoamento permanente, bidimensional e sem efeitos 
gravitacionais: 
r
p
r
u
r
uu
r
uu rrr ∂
∂
−=





−
∂
∂
+
∂
∂ 2θ
θ θ
ρ 
θθ
ρ θθθ
θ
∂
∂
−=





+
∂
∂
+
∂
∂
r
p
r
uu
r
uu
r
uu rr 
0=
∂
∂
z
p 
Substituindo as velocidades: 
( )22213 CCrr
p
+=
∂
∂ ρ ; 0=
∂
∂
θ
p 
Logo, a pressão é função apenas do raio r, e temos: 
( )22213 CCrdr
dp
+=
ρ 
Que resulta: 
( )222122)( CCrprp +−= ∞
ρ 
d) Da equação de Bernoulli, para ρ uniforme, escoamento irrotacional e ignorando efeitos 
gravitacionais: 

( )
ρρ
θ puupu r ++=+ ∞∞
22
22
0
2
 
Resulta, como seria de se esperar: 
( )222122)( CCrprp +−= ∞
ρ 
2. (6 pontos) Considerar o escoamento em lubrificação em um mancal bidimensional de 
comprimento L , onde existe um degrau na posição Lβ ( 10 ≤≤ β ) que separa duas regiôes com 
espessuras 1h ( Lx β<≤0 ) e 12 hh > ( LxL ≤<β ), como mostra a figura. Podemos considerar 
a superfície do mancal fixa e a superfície inferior em movimento com velocidade 
( ) Uzxu −== 0, . Na aproximação de escoamento de inércia desprezível de um óleo 
incompressível de viscosidade µ e massa específica ρ e desprezando a força de volume, 
calcular a carga por unidade de comprimento normal W que pode sustentar o dispositivo. Para 
resolver este problema, seguir o seguinte roteiro: 
a) Demonstrar que os gradientes de pressão 
dx
dp1 e 
dx
dp2 são constantes nas correspondentes 
regiões. (1 ponto) 
b) Considerando as condições de contorno ( ) ( ) 00 ==== Lxpxp e a continuidade da pressão 
em Lx β= , demonstrar que são satisfeitas as seguintes relações: (1,5 pontos) 
dx
dp
dx
dp 12
1 β
β
−
−= ; ( )
( )






≤≤−
−
≤≤
=
LxLβxL
dx
dp
Lβxx
dx
dp
xp
para
1
0para
1
1
β
β 
c) Determinar os perfis de velocidades ( )zu1 e ( )zu2 nas correspondentes regiões e demonstrar 
que as velocidades médias 1u e 2u resultam: (1 ponto) 
dx
dphUu
dx
dphUu 2
2
2
2
1
2
1
1 122
;
122 µµ
−−=−−= 
d) Aplicando a equação de continuidade no degrau do mancal, demonstrar que: (1,5 pontos) 
( )( )
( ) 3231
121
1
16
hh
hhU
dx
dp
ββ
βµ
+−
−−
= 
e) Finalmente, integrar a distribuição de pressão e demonstrar que: (1 ponto) 
( ) ( )
( ) 3231
12
2
1
13
hh
hhLUW
ββ
ββµ
+−
−−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade: 0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
w
y
v
x
u 
Navier-Stokes, componente x : 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
21
z
u
y
u
x
uG
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x ρ
µ
ρ
 
Solução: 
a) Fazendo uma análise de ordens de grandeza na equação de Navier-Stokes, resulta ( )xpp ≅ e: 
2
2
z
u
dx
dp
∂
∂
≅ µ 
Integrando parcialmente em z , com a condição de contorno ( ) Uu −=0 e ( ) 0=hu resulta: 
( ) 




 −−




 −−=
h
zU
h
z
h
z
dx
dphzu 11
2
2
µ
 (1) 
Como h é constante nas duas regiões do mancal, então 
dx
dp1 e 
dx
dp2 são constantes nas 
correspondentes regiões. 
b) Integrando o gradiente de pressão pressão 
dx
dp1 para Lx β<≤0 com a condição de 
contorno ( ) 00 =p resulta: 
z 
x β L 
L 
h1 
h2 
U 
( ) x
dx
dpxp 11 = 
Integrando o gradiente de pressão pressão 
dx
dp2 para LxL ≤<β com a condição de 
contorno ( ) 0=Lp resulta: 
( ) ( )Lx
dx
dpxp −= 22 
Da continuidade da pressão em Lx β= , ( ) ( )LpLp ββ 21 = , resulta: 
( )
dx
dp
dx
dpLL
dx
dpL
dx
dp 1221
1 β
βββ
−
−=⇒−= (2) 
Assim, a distribuição de pressão resulta: 
( )
( )






≤≤−
−
≤≤
=
LxLβxL
dx
dp
Lβxx
dx
dp
xp
para
1
0para
1
1
β
β 
c) A velocidade média pode ser calculada integrando a Eq. (1) como: 
( )
dx
dphUdzzu
h
u
h
µ122
1 2
0
−−== ∫ 
Assim, para cada uma das regiões resulta: 
dx
dphUu 1
2
1
1 122 µ
−−= 
dx
dphUu 2
2
2
2 122 µ
−−= 
d) Aplicando a equação de continuidade no degrau resulta: 
( ) 




 −=−⇒
−−=−−⇒=
dx
dph
dx
dphhhU
dx
dphhU
dx
dphhUhuhu
23
2
13
112
2
3
221
3
11
2211
6
122122
µ
µµ
 (3) 
Substituindo a Eq. (2) em (3), resulta: 
( ) ( )( )( ) 3231
12113
2
13
112 1
16
1
6
hh
hhU
dx
dp
dx
dph
dx
dphhhU
ββ
βµ
β
βµ
+−
−−
=⇒





−
+=− (4) 
e) Integrando a distribuição de pressão, obtemos a carga por unidade de comprimento normal: 
( ) ( ) ( )
( ) ββ
β
ββ
β
β
ββ
β
β
212221
21221
0 21
2
11
12
1
2
1
12
1
L
dx
dpL
dx
dp
LL
dx
dpL
dx
dpdxxpdxxpW
L L
L
==





−
−
+=
−
−
+=+= ∫ ∫
 (5) 
Substituindo a Eq. (4) em (5), resulta finalmente: 
( ) ( )
( ) 3231
12
2
1
13
hh
hhLUW
ββ
ββµ
+−
−−
=