Gabarito PME 2330 P1 2015

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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) 
Gabarito Primeira Prova - 2015 
 
1. (4 pontos) Num duto bidimensional convergente a parede inferior é plana e a superior é curva, 
de modo que a velocidade u na direção x varia linearmente de smu /1001 = na seção (1) a 
smu /3002 = na seção (2). A massa específica ρ do ar também varia linearmente de 
3
1 /2,1 mkg=ρ na seção (1) para 
3
2 /85,0 mkg=ρ na seção (2). Considerando o escoamento 
permanente, não-viscoso e que a altura de seção (1) é de mh 21 = e o comprimento do duto é de 
mL 2= , determine: 
a) A expressão da velocidade na direção y , ( )yxvv ,= . (3,0 pontos) 
b) A altura 2h da seção (2). (1,0 ponto) 
 
(Adaptado de Çengel e Cimbala, “Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications”, McGraw 
Hill, 2006) 
Continuidade: ( ) 0. =∇+
∂
∂ Vρρ
t
 
Solução: 
a) A velocidade u e a massa específica ρ são dadas pelas expressões: 
baxu += , com 
L
uua 12 −= , 1ub= ; resultam 
1100 −= sa , smb /100= . 
dcx+=ρ , com 
L
c 12 ρρ −= , 1ρ=d ; resultam 
4/175,0 mkgc −= , 3/2,1 mkgd = . 
A equação da continuidade resulta: 
 
( ) ( ) 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u ρρ 

0
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
vv
yx
uu
x
ρ
ρ
ρ
ρ 
( ) ( ) ( )
dcx
adbcacx
y
v
y
vdcxadcxbaxc
+
++
−=
∂
∂
⇒=
∂
∂
+++++
20 
Integrando, resulta: 
L = 
( ) )(2, xfy
dcx
adbcacxyxv +
+
++
−= 
Como ( ) 00, =xv , segue que 0)( =xf ; assim, ( ) y
dcx
adbcacxyxv
+
++
−=
2, ; resulta 
ys
xm
xmv 11
1
175,02,1
5,10235 −
−
−
−
−
= 
b) Da equação de continuidade: 
222111 huhu ρρ = , que resulta 1
22
11
2 hu
uh
ρ
ρ
= 
m941,02 =h 
 
2. (6 pontos) Na lubrificação hidrostática a sustentação é obtida pela introdução do lubrificante 
dentro da área carregada do mancal a uma pressão suficiente para separar as superfícies com um 
filme de óleo, sem necessidade do movimento relativo (como acontece com a lubrificação 
hidrodinâmica). Considere o escoamento com forças de inércia e de volume desprezíveis de um 
óleo incompressível de viscosidade µ e massa específica ρ , no espaço entre um disco de raio b 
e uma superfície paralela separados por uma folga constante e pequena ( bh << ), conforme 
mostrado na figura (notar que a figura está fora de escala). No centro é injetada uma vazão 
volumétrica Q , que enche uma câmara de raio a a alta pressão e escoa radialmente através da 
folga. Nestas condições, calcular a força F vertical que suporta o mancal. 
Para resolver este problema, considerar que o campo de velocidade (em coordenadas cilíndricas) 
na folga h é da forma ( )zruu rr ,= , 0== θuuz e seguir o seguinte roteiro: 
a) Demonstrar que a velocidade radial é da forma ( ) ( )
r
zfzrur =, . (0,5 pontos) 
b) Demonstrar que a distribuição de pressão é puramente radial, isto é ( )rpp = , assim como 
que a distribuição de velocidade radial resulta localmente Couette, isto é, 
( ) 




 −−=
h
z
h
z
dr
dphzrur 12
,
2
µ
. (2 pontos) 
c) Aplicando a equação de continuidade na superfície lateral na posição r , demonstrar que o 
gradiente de pressão resulta 
rh
Q
dr
dp 16
3π
µ
−= . (1,5 pontos) 
d) Considerando como condição de contorno ( ) 0=bp , calcular a distribuição de pressão e a 
pressão na câmara ( )appa = . (0,5 pontos) 
e) Supondo que para ar ≤ a pressão é constante e igual a ap , demonstrar que a força resulta 













−=
2
3
2
13
b
a
h
bQF µ . (1,0 pontos) 
f) Considerando como termos representativos da força de inércia e força viscosa 
respectivamente a 
r
uu rr ∂
∂ e 2
2
z
ur
∂
∂
ν , fazer uma análise de ordens de grandeza e demonstrar 
que a condição para que o escoamento seja considerado de inércia desprezível é 
1<<











a
h
a
Q
ν
. Discutir as consequências desta condição. (0,5 pontos) 
Continuidade: ( ) 011 =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
uu
r
ur
rr
z
r θ
θ 
Navier-Stokes, componente r : 






∂
∂
−−
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
−=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θθ
ν
ρθ
θθθ u
rr
u
z
uu
rr
ur
rr
G
r
p
r
u
z
uuu
r
u
r
uu
t
u rrrr
r
r
z
rr
r
r
222
2
2
2
2
2 2111
Navier-Stokes, componente z : 






∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
111
z
uu
rr
ur
rr
G
z
p
z
uuu
r
u
r
uu
t
u zzz
z
z
z
zz
r
z
θ
ν
ρθ
θ 
Ajudas para o cálculo: ctexxxdxxx +−=∫ 22 4
1ln
2
1ln ; ( )
6
11
1
0
=−∫ dxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) Da equação de continuidade: ( ) ( ) ( )
r
zfuzfurur
rr rrr
=⇒=⇒=
∂
∂ 01 . Notar que 
∞→ru para 0→r , mas a origem não forma parte do recinto. 
b) Da equação de Navier-Stokes na componente z , resulta 0=
∂
∂
z
p ; como o problema tem 
simetría de revolução, resulta ( )rpp = . 
Calculamos os termos para substituir na equação de Navier-Stokes, componente r : 
22 ;; r
f
r
ur
rr
f
r
ur
r
f
r
u rrr =





∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂ 
Substituindo, com a condição de escoamento de inércia desprezível, resulta: 
cteA
dz
fd
r
pr
dz
fd
rr
f
dz
fd
rr
f
r
p
===
∂
∂
⇒=





−+=
∂
∂
2
2
2
2
32
2
3
1
µ
µµ 
Para calcular ( )zf , integramos a expressão anterior, obtendo: 
( ) CzBzAzf ++= 2
2
1 
disco 
superfície 
F 
ur r z h 
b 
a 
Q 
Da condição de contorno ( ) ( ) 0,0, == hruru rr resulta ( ) ( ) 00 == hff ; daqui resultam 
0=C , hAB
2
1
−= . Substituindo, obtemos: 
( ) 




 −−=




 −−=
h
z
h
z
dr
dphr
h
z
h
zhAzf 1
2
11
2
1 22
µ
 
( ) 




 −−=
h
z
h
z
dr
dphzrur 12
1,
2
µ
 
c) Calculamos a vazão volumétrica: 
( )
rh
Q
dr
dp
dr
dprhdzzz
dr
dprhdzruQ
h
r
16
6
12 3
3
*1
0
**
3
0 π
µ
µ
π
µ
π
π −=⇒−=−−== ∫∫ 
d) Integrando entre r e b , com a condição de contorno ( ) 0=bp , calculamos a distribuição de 
pressão e a pressão na câmara: 
( ) ( ) ( ) 




−=⇒




=−
b
r
h
Qrp
b
r
h
Qrpbp ln6ln6 33 π
µ
π
µ 
( ) 




−==
b
a
h
Qpap a ln
6
3π
µ 
e) A força resulta, integrando a distribuição de pressão: 
( ) ( ) ∫∫∫ −



−=+==
1
/
***
3
2
3
2
2
0
ln26ln622
ba
b
aa
b
drrr
h
bQ
b
a
h
aQdrrrpapdrrrpF µµπππ 













−=













+










−−










−=⇒





+










−−=∫
2
3
2222
3
2
22
1
/
***
13
2
1ln
2
1ln6
4
1ln
2
1
4
1ln
b
a
h
bQ
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
h
bQF
b
a
b
a
b
adrrr
ba
µµ
 
f) Fazendo uma análise de ordens de grandeza, temos que: 
322
2
23
2
;
hr
Q
hhr
Q
z
u
hr
Q
rhr
Q
hr
Q
r
uu
hr
Qu rrrr ννν =∝∂
∂
=∝
∂
∂
⇒∝ 
12323
2
2
2
<<⇒<<⇒
∂
∂
<<
∂
∂
r
hQ
hr
Q
hr
Q
z
u
r
uu rrr ν
νν 
O valor máximo da expressão anterior é para ar = , resultando finalmente 1<<











a
h
a
Q
ν
. Osignificado da expressão anterior é que a aproximação de inércia desprezível deixa de ser 
válida para valores de raio da câmara muito pequenos.