Gabarito PME 3330 P1 2017

Prévia do material em texto

Mecânica dos Fluidos II (PME 3330) 
Gabarito Primeira Prova - 2017 
 
1. (2 pontos) Considere um campo de velocidade estacionário e bidimensional cuja componente u da velocidade na 
direção x é dada por: 
yxDxCyBxAu −++= 2 
onde A , B , C e D são constantes com dimensões apropriadas. Gere uma expressão para o componente v da 
velocidade na direção y e restrições nas constantes, de forma que o escoamento seja incompressível, irrotacional e 
tenha velocidade nula na origem de coordenadas. 
Divergente: 
z
w
y
v
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ V ; rotacional: kjiV







∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
 
 
Solução: 
Da condição de incompressibilidade e bidimensionalide, 
x
u
y
v
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
⇒=
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ 0V 
yDxCA
y
v
+−−=
∂
∂ 2 ; integrando parcialmente, resulta ( )xfyDyxCyAv ++−−= 2
2
12 
Da condição de irrotacionalidade: 
y
u
x
v
∂
∂
=
∂
∂ ; ( ) 02 =⇒−=′+− CxDBxfyC e ( ) xDBxf −=′ 
Integrando, resulta: ( ) ExDxBxf +−= 2
2
1 , onde E é uma constante. Da condição de velocidade nula na 
origem de coordenadas, resulta 0=E . Substituindo, temos finalmente: 
yxDyBxAu −+= 
22
2
1
2
1 yDxDyAxBv +−−= 
 
2. (3 pontos) Se a velocidade de aproximação não for alta demais, uma saliência de altura H no fundo de um canal 
de água bi-dimensional de espessura h causará um afundamento h∆ do nìvel da água, que pode servir para a 
medição da vazão Q por unidade de comprimento na direção normal ao papel. Desprezando as perdas e supondo uma 
velocidade uniforme na seção de passagem, determinar as velocidades 1V , 2V e a vazão Q em função das variáveis 
anteriores e da aceleração gravitacional g . 
Dica: a superfície livre de água está a pressão atmosférica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. de Bernoulli em uma linha de corrente, incompressível e permanente: cte
2
1 2 =++ zgVp ρρ 
 
Δh 
 
H 
 
h 
g 
 
V2 
Conservação de massa, permanente: ( )dA
A∫= nV
.0 ρ 
 (Adaptado de Mecânica dos Fluidos, F. M. White, McGraw-Hill, 2011) 
 
Solução: 
Da equação de continuidade entre as seções 1 e 2, resulta: 
( ) 11221 VVHhh
hVHhhVhV β=
−∆−
=⇒−∆−= , onde 1
1
1
≥
−
∆
−
=
h
H
h
hβ
 
Da equação de Bernuolli para a linha de corrente da superfície, resulta: 
( ) hgVVhhgVphgVp aa ∆=−⇒∆−++=++ 22
1
2
1 2
1
2
2
2
2
2
1 ρρρρ 
Eliminando 2V , resultam 
2/1
21 1
2






−
∆
=
β
hgV , 
2/1
22 1
2






−
∆
=
β
β
hgV , 
2/1
21 1
2






−
∆
==
β
hghhVQ 
 
3. (5 pontos) Um líquido escoa em regime laminar sob cisalhamento com velocidade U entre uma placa fixa e outra 
móvel separadas uma distância h2 , como mostrado na figura. A gravidade é desprezada e o escoamento é 
completamente desenvolvido (não há variação da velocidade com x ). Supondo viscosidade µ conhecida, queremos 
encontrar o gradiente de pressão constante 
dx
dp
 necessário para que a vazão de líquido que escoe para a esquerda (em 
valor absoluto)
 
seja igual à que escoe para a direita. Resolver o exercício seguindo os seguintes passos: 
a) Determinar o perfil de velocidade na região hyh ≤≤− em função de U , 
dx
dp
 e do resto dos parâmetros 
aplicando condições de contorno adequadas de velocidade nas paredes e na interface; (1.5 pontos) 
b) Encontrar 
dx
dp
 em função de U e do resto dos parâmetros aplicando ao perfil de velocidade a condição adequada; 
(1.5 pontos) 
c) Eliminar 
dx
dp
 e reescrever o perfil de velocidade adimensional na forma ( )*** yuu = , onde 
U
uu =* , 
h
yy =* ; 
(1 ponto) 
d) Encontrar a posição onde a velocidade troca de sinal e calcular a vazão adimensional por unidade de comprimento 
na direção normal que escoa para a esquerda ou direita 
hU
Q
Q de,* = . (1 ponto) 
Equação de Navier-Stokes direção x : 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
−= 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uG
x
p
Dt
Du
x µρρ 
Ajudas para o cálculo: ( )
3
41
1
1
*2* =−∫− dyy ; ( ) 21
1
1
** =+∫− dyy ; ( ) 81
801
3/1
1
*2* =−∫− dyy ; ( ) 9
81
3/1
1
** =+∫− dyy 
Raízes da equação 0123 *2* =−+ yy : 1* −=y e 
3
1* =y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
h 
h 
x 
y 
dp/dx 
U 
 
a) O perfil de velocidade para a região hyh ≤≤− surge de resolver: 
dx
dp
dy
ud
dy
ud
dx
dp
µ
µ
10 2
2
2
2
=⇒=+− 
ByAy
dx
dpuAy
dx
dp
dy
du
++=+= 2
2
1;1
µµ 
com condições de contorno: 
( ) 0
2
10 2 =+−⇒=− BhAh
dx
dphu
µ 
( ) UBhAh
dx
dpUhu =++⇒= 2
2
1
µ 
Resolvendo para A e B , obtemos: 
2
2
1
2
;
2
h
dx
dpUB
h
UA
µ
−== 
O perfil de velocidade resulta: 
( ) 




 ++













−−=
h
yU
h
y
dx
dphyu 1
2
1
2
22
µ
 
b) Se a vazão para a direita e para a esquerda são iguais (em valor absoluto), então a vazão total Q (soma algébrica) 
deve ser zero: 
( ) ( ) ( ) 01
2
1
2
;0
1
1
**1
1
*2*
3
=++−−== ∫∫ ∫ −− − dyy
hUdyy
dx
dphdyyuQ
h
h µ
 
 ( ) 2
3
2
302
23
4
2 h
U
dx
dphU
dx
dph µ
µ
=⇒=+




− 
c) Substituindo no perfil de velocidade calculado no item a), obtemos o perfil adimensional: 
( ) ( ) ( )
4
1
2
1
4
31
2
11
4
3 *2**2*** −+=++−−= yyyyyu 
d) A posição onde a velocidade adimensional é zero resulta de resolver a equação de segundo grau: 
01230
4
1
2
1
4
3 *2**2* =−+⇒=−+ yyyy 
As raízes da equação anterior são 0* =y (parede inferior) e 
3
1* =y . Integrando o perfil de velocidade, 
determinamos as vazões para a esquerda e direita: 
( ) ( )∫∫ −− ==
3/1
1
***3/ dyyuhUdyyuQ
h
he
 
( ) ( )
2963,0
27
8
27
8
9
8
2
1
81
80
4
31
2
11
4
3
,
*
3/1
1
**3/1
1
*2*
===⇒
−=




+




−=++−−= ∫∫ −−
hU
Q
hU
Q
dyydyy
hU
Q
de
e
 
Miscelâneas: 
O gráfico do perfil de velocidade resulta: 
 
 
 
A máxima velocidade para a esquerda e calculada da condição de extremo local 0*
*
=
dy
du
, resultando 
3
1* −=y e 
3
1
3
1* −=




−u . 
 
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y* 
u*