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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) Terceira Prova - 2015 1. (5 pontos) Considere o escoamento não viscoso em torno de um semicorpo de Rankine. O semicorpo é utilizado como um tubo de Pitot, onde a tomada de pressão de estagnação se encontra no nariz (ponto S, localizado a uma distância a da fonte) e a tomada de pressão estática se encontra em alguma posição na superfície superior (ponto E), como mostrado na figura. Nestas condições: a) Demonstre que a potência da fonte m para criar o nariz do semicorpo na distância a resulta aUm ∞= . b) Demonstre que o raio correspondente à superfície superior pode ser determinado de maneira paramétrica como θ θπ sen − = a r . c) Demonstre que as distribuições de velocidade e do coeficiente de pressão na superfície superior resultam ( ) 2/1 2 2sencossen21 − + − += ∞ θπ θ θπ θθ U U ; ( ) − + − −= − = ∞ ∞ 2 2 2 sencossen2 2 1 θπ θ θπ θθ ρU ppC p d) O erro na determinação da velocidade da corrente livre dependerá da localização da tomada de pressão estática. Demonstre que esse erro é nulo (isto é, a velocidade local é ∞U ) para ( )θπθ −−= 2tg . Esse ângulo é maior ou menor que 2 π ? e) Supondo que a tomada de pressão estática está localizada na vertical (na interseção do eixo y e a superfície superior), demonstre que erro relativo resulta 141 2/1 2 − += − = ∞ ∞ π ε U UU E . Função corrente para uma corrente uniforme, uma fonte na origem, velocidades e Bernoulli: cte 2 1;;1;;sen 2 =+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ === ∞ Upr v r vmrU r ρ ψ θ ψ θψθψ θ x y a U∞ E tomada de pressão de estagnação tomada de pressão estática fonte m S r θ 2. (2 pontos) (Adaptado de F. M. White, “Fluid Mechanics”, 5ª Edição, Ed. McGraw Hill): Você está pilotando seu avião sobre o oceano. Subitamente ocorre uma perda completa de potência dos motores a 5.000m de altitude (ρ = 0,74 kg/m3). Considerando que o avião tem uma asa com razão de aspecto RA=5, coeficiente de arrasto para razão de aspecto infinita CD∞ =0,025 e aerofólio simétrico, estime: a)A máxima distância que a aeronave poderá planar. b)Qual o ângulo de ataque que deve ser mantido com a direção de deslocamento? Lembre-se que a máxima relação CL/CD de uma asa ocorre para CD=2 CD∞. 3. (3 pontos) Um barco com massa m=800 kg é suportado por um hidrofólio retangular com razão de aspecto 4 e arqueamento h/c = 0,025. Por meio de um sistema de controle, o ângulo de ataque α é ajustado para as diferentes condições de operação. Se o barco navega a uma velocidade sm=U /7∞ , α = 5 o e supondo que as forças de arrasto e sustentação se devem só ao aerofólio, avalie: a) O comprimento da corda c . b) A potência efetiva em cavalos (HP) requerida se o coeficiente de arrasto para razão de aspecto infinita resulta 40,01=∞DC . c) Se o barco for reequipado com um motor que fornece uma potência efetiva de HpW 20= para a água, calcule a velocidade máxima. (2 pontos) Admita para os cálculos que a massa específica ρ = 1.000 kg / m3 , g = 9,81 m/s2 e W=HP 6741 . Formulário pD ACUD 2 2 1 ρ= pL ACUL 2 2 1 ρ= RA CCCCC LDDiDD π 2 +=+= ∞∞ (CDi →coeficiente de arrasto induzido) ( ) RA senCL 21 2 + + = βαπ onde c htgarc 2=β , h é o arqueamento (cambagem) máximo e c é a corda. pA b c bRA 2 == onde b é a envergadura, Ap é a área planiforme e c é a corda média. Solução: 1. (5 pontos) a) A função corrente resulta a soma da corrente uniforme mais a fonte: θθψ mrU += ∞ sen . O campo de velocidade resulta θψθ θ ψ θ sen;cos 1 ∞∞ −=∂ ∂ −=+= ∂ ∂ = U r v r mU r vr No nariz ( ar = , πθ = ), ( ) 0, =πθ av e ( ) a mUavr +−= ∞π, ; a condição de estagnação no nariz acontece para ( ) aUmavr ∞=⇒= 0,π . b) A função corrente na superfície superior vale θθπψ mrUm +== ∞ sen , de maneira que ( ) 0sen =−−∞ θπθ mrU na superfície superior. Substituindo m do item anterior, resulta que θ θπ sen − = a r . c) Substituindo m e a r , a distribuição de velocidade na superfície resulta − += ∞ θπ θθ sencosUvr e θθ sen∞−= Uv . A velocidade resulta: [ ] ( ) ( ) 2/1 2 22/1 2 2 2 22/122 sencossen21sensencossen2c − + − += + − + − +=+= ∞∞ θπ θ θπ θθθ θπ θ θπ θθθθ UosUvvU r ( ) 2/1 2 2sencossen21 − + − += ∞ θπ θ θπ θθ U U De Bernoulli, ( ) − + − +−= −= − =⇒+=+ ∞ ∞ ∞ ∞∞ 2 22 2 22 sencossen2111 2 12 1 2 1 θπ θ θπ θθ ρ ρρ U U U ppCUpUp p ( ) − + − −= 2 2sencossen2 θπ θ θπ θθ pC d) Para que ∞=UU , deve ser ( ) 0sencossen2 2 2 = − + − θπ θ θπ θθ ; multiplicando por 0 cossen ≠ − θθ θπ , resulta ( )θπθ −−= 2tg e) Para a tomada de pressão estática na vertical ( 2 πθ = ), resulta 2/1 2 41 += ∞ πU U E , da onde: 1411 2/1 2 − +=−= ∞ π ε U U E Alguns gráficos: ( )θ∞UU / , ( )θpC (θ em graus) e posição adimensional do corpo ( )axfay // = . 2. (3 pontos) Como visto em sala de aula, o ângulo de planeio é tal que: θsenmgD= e θcosmgL= Resulta portanto que: L D =θtan Assim, para minimizar θ, a aeronave tem que planar na condição em que a relação L/D= CL/CD é máxima. Isso ocorre para: ∞= DD CC 2 ou ∞== D L Di CRA CC π 2 Com os dados, calculamos: CD = 2 × 0,025 = 0,05 e 025,05 2 = ×π LC que resulta 63,0=LC . Assim, a máxima relação DL CC / é igual a 12,6. O ângulo θ mínimo ocorre para: 6,12 1tan =θ o que resulta θ ≅ 4,6°. Com esse ângulo, calculamos a distância percorrida a partir de 5.000 m: L o 000.5 6,12 16,4tan == que resulta uma distância km63=L O ângulo de ataque a ser mantido, lembrando que a asa é simétrica (β = 0), pode ser calculado de: ( ) 4,01 263,0 21 2 + =⇒ + + = απβαπ sen RA senCL que resulta º1,8≅α 3. (2 Pontos) a) No caso, temos α = 5° e β = arc tg (0,05) = 2,86º. Logo: 57,0 4 21 )86,7(2 = + × = senCL π Com esse resultado: 22 56,057,071000 2 181,9800 mÁreaÁrea =⇒××××=× Da razão de aspecto: mcmbb 375,05,1 56,0 4 2 ==⇒= b) O coeficiente de arrasto induzido é dado por: 026,0 4 57,0 2 = × = πDi C O coeficiente de arrasto total é dado por : 04,0=+= ∞DDiD CCC A potência é dada por: HpWCAUUDW D 15,5384204,056,0710002 1 2 1 33 ==××××==×= ρ c) A nova velocidade resultará da solução de duas equações: += ∞ RA C CAUW LD π ρ 2 3 2 1 (1) e LCAUmg 22 1 ρ= (2) Substituindo os dados do problema: += 57,12 401,03,53 2 3 LCU (1) e LCU 228= (2) Resolvendo para U e CL, resulta: U=15,2 m/s e CL= 0,12
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