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Gabarito PME 2330 P3 2015

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Mecânica dos Fluidos II (PME 2330) 
Terceira Prova - 2015 
 
1. (5 pontos) Considere o escoamento não viscoso em torno de um semicorpo de Rankine. O semicorpo é 
utilizado como um tubo de Pitot, onde a tomada de pressão de estagnação se encontra no nariz (ponto S, 
localizado a uma distância a da fonte) e a tomada de pressão estática se encontra em alguma posição na 
superfície superior (ponto E), como mostrado na figura. Nestas condições: 
a) Demonstre que a potência da fonte m para criar o nariz do semicorpo na distância a resulta aUm ∞= . 
b) Demonstre que o raio correspondente à superfície superior pode ser determinado de maneira paramétrica 
como 
θ
θπ
sen
−
=
a
r . 
c) Demonstre que as distribuições de velocidade e do coeficiente de pressão na superfície superior resultam 
( )
2/1
2
2sencossen21 





−
+
−
+=
∞ θπ
θ
θπ
θθ
U
U ; 
( ) 




−
+
−
−=
−
=
∞
∞
2
2
2
sencossen2
2
1 θπ
θ
θπ
θθ
ρU
ppC p 
d) O erro na determinação da velocidade da corrente livre dependerá da localização da tomada de pressão 
estática. Demonstre que esse erro é nulo (isto é, a velocidade local é ∞U ) para ( )θπθ −−= 2tg . Esse 
ângulo é maior ou menor que 
2
π ? 
e) Supondo que a tomada de pressão estática está localizada na vertical (na interseção do eixo y e a 
superfície superior), demonstre que erro relativo resulta 141
2/1
2 −



 +=
−
=
∞
∞
π
ε
U
UU E . 
Função corrente para uma corrente uniforme, uma fonte na origem, velocidades e Bernoulli: 
cte
2
1;;1;;sen 2 =+
∂
∂
−=
∂
∂
=== ∞ Upr
v
r
vmrU r ρ
ψ
θ
ψ
θψθψ θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
a 
U∞ 
E 
tomada de pressão 
de estagnação 
tomada de pressão 
estática 
fonte m 
S 
r 
θ 
2. (2 pontos) (Adaptado de F. M. White, “Fluid Mechanics”, 5ª Edição, Ed. McGraw Hill): Você está 
pilotando seu avião sobre o oceano. Subitamente ocorre uma perda completa de potência dos motores a 
5.000m de altitude (ρ = 0,74 kg/m3). Considerando que o avião tem uma asa com razão de aspecto RA=5, 
coeficiente de arrasto para razão de aspecto infinita CD∞ =0,025 e aerofólio simétrico, estime: 
a)A máxima distância que a aeronave poderá planar. 
b)Qual o ângulo de ataque que deve ser mantido com a direção de deslocamento? 
Lembre-se que a máxima relação CL/CD de uma asa ocorre para CD=2 CD∞. 
 
 
 
 
3. (3 pontos) Um barco com massa m=800 kg é suportado por um hidrofólio retangular com razão de aspecto 
4 e arqueamento h/c = 0,025. Por meio de um sistema de controle, o ângulo de ataque α é ajustado para as 
diferentes condições de operação. Se o barco navega a uma velocidade sm=U /7∞ , α = 5
o e supondo que 
as forças de arrasto e sustentação se devem só ao aerofólio, avalie: 
a) O comprimento da corda c . 
b) A potência efetiva em cavalos (HP) requerida se o coeficiente de arrasto para razão de aspecto 
infinita resulta 40,01=∞DC . 
c) Se o barco for reequipado com um motor que fornece uma potência efetiva de HpW 20= para a 
água, calcule a velocidade máxima. (2 pontos) 
Admita para os cálculos que a massa específica ρ = 1.000 kg / m3 , g = 9,81 m/s2 e W=HP 6741 . 
 
 
 
Formulário 
pD ACUD
2
2
1 ρ= pL ACUL
2
2
1 ρ= 
RA
CCCCC LDDiDD π
2
+=+= ∞∞ (CDi →coeficiente de arrasto induzido) 
 
( )
RA
senCL 21
2
+
+
=
βαπ onde 
c
htgarc 2=β , h é o arqueamento (cambagem) máximo e c é a corda. 
pA
b
c
bRA
2
== onde b é a envergadura, Ap é a área planiforme e c é a corda média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1. (5 pontos) 
 
a) A função corrente resulta a soma da corrente uniforme mais a fonte: θθψ mrU += ∞ sen . 
O campo de velocidade resulta θψθ
θ
ψ
θ sen;cos
1
∞∞ −=∂
∂
−=+=
∂
∂
= U
r
v
r
mU
r
vr 
No nariz ( ar = , πθ = ), ( ) 0, =πθ av e ( ) a
mUavr +−= ∞π, ; a condição de estagnação no nariz acontece 
para ( ) aUmavr ∞=⇒= 0,π . 
b) A função corrente na superfície superior vale θθπψ mrUm +== ∞ sen , de maneira que 
( ) 0sen =−−∞ θπθ mrU na superfície superior. Substituindo m do item anterior, resulta que θ
θπ
sen
−
=
a
r . 
c) Substituindo m e 
a
r , a distribuição de velocidade na superfície resulta 





−
+= ∞ θπ
θθ sencosUvr e 
θθ sen∞−= Uv . A velocidade resulta: 
[ ]
( ) ( )
2/1
2
22/1
2
2
2
22/122 sencossen21sensencossen2c 





−
+
−
+=





+
−
+
−
+=+= ∞∞ θπ
θ
θπ
θθθ
θπ
θ
θπ
θθθθ UosUvvU r 
( )
2/1
2
2sencossen21 





−
+
−
+=
∞ θπ
θ
θπ
θθ
U
U 
De Bernoulli, 
( ) 




−
+
−
+−=





−=
−
=⇒+=+
∞
∞
∞
∞∞ 2
22
2
22 sencossen2111
2
12
1
2
1
θπ
θ
θπ
θθ
ρ
ρρ
U
U
U
ppCUpUp p 
( ) 




−
+
−
−= 2
2sencossen2
θπ
θ
θπ
θθ
pC 
d) Para que ∞=UU , deve ser ( )
0sencossen2 2
2
=
−
+
− θπ
θ
θπ
θθ ; multiplicando por 0
cossen
≠
−
θθ
θπ , resulta 
( )θπθ −−= 2tg 
e) Para a tomada de pressão estática na vertical (
2
πθ = ), resulta 
2/1
2
41 


 +=
∞ πU
U E , da onde: 
1411
2/1
2 −



 +=−=
∞ π
ε
U
U E 
 
Alguns gráficos: ( )θ∞UU / , ( )θpC (θ em graus) e posição adimensional do corpo ( )axfay // = . 
 
 
 
 
 
2. (3 pontos) 
 
 
Como visto em sala de aula, o ângulo de planeio é tal que: 
 
θsenmgD= e θcosmgL= 
 
Resulta portanto que: 
 
L
D
=θtan 
 
Assim, para minimizar θ, a aeronave tem que planar na condição em que a relação L/D= CL/CD é 
máxima. Isso ocorre para: 
 
∞= DD CC 2 ou ∞== D
L
Di CRA
CC
π
2
 
 
Com os dados, calculamos: 
 
CD = 2 × 0,025 = 0,05 e 025,05
2
=
×π
LC que resulta 63,0=LC . 
 
Assim, a máxima relação DL CC / é igual a 12,6. O ângulo θ mínimo ocorre para: 
 
6,12
1tan =θ o que resulta θ ≅ 4,6°. Com esse ângulo, calculamos a distância percorrida a partir de 5.000 m: 
 
L
o 000.5
6,12
16,4tan == que resulta uma distância km63=L 
 
O ângulo de ataque a ser mantido, lembrando que a asa é simétrica (β = 0), pode ser calculado de: 
 
 
( )
4,01
263,0
21
2
+
=⇒
+
+
=
απβαπ sen
RA
senCL que resulta º1,8≅α 
 
 
3. (2 Pontos) 
 
 
a) No caso, temos α = 5° e β = arc tg (0,05) = 2,86º. Logo: 
 
57,0
4
21
)86,7(2
=
+
×
=
senCL
π 
 
Com esse resultado: 
 
22 56,057,071000
2
181,9800 mÁreaÁrea =⇒××××=× 
 
Da razão de aspecto: 
 
mcmbb 375,05,1
56,0
4
2
==⇒= 
 
b) O coeficiente de arrasto induzido é dado por: 
 
026,0
4
57,0 2
=
×
=
πDi
C 
 
O coeficiente de arrasto total é dado por : 
 
04,0=+= ∞DDiD CCC 
 
A potência é dada por: 
 
HpWCAUUDW D 15,5384204,056,0710002
1
2
1 33 ==××××==×= ρ 
 
c) A nova velocidade resultará da solução de duas equações: 
 
 








+= ∞ RA
C
CAUW LD π
ρ
2
3
2
1 (1) e LCAUmg 22
1
ρ= (2) 
Substituindo os dados do problema: 
 






+=
57,12
401,03,53
2
3 LCU (1) e LCU
228= (2) 
 
Resolvendo para U e CL, resulta: 
 
U=15,2 m/s e CL= 0,12

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