Matematica Financeira 3

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Unidade III
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Maurício Manzalli
Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos
 São desenvolvidos, basicamente, para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo 
pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. 
Abaixo segue relação de alguns sistemas:
 Sistema de amortização constante.
 Sistema de amortização francês.
 Sistema de amortização misto.
 Sistema de amortização americano.
 Sistema de amortização crescente.
Definições básicas
 Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno 
para o credor.
 Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida 
em um determinado período (data).
 Saldo devedor: valor principal da dívida.
 Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série 
de pagamentos.
 Carência: prazo concedido nas operações de financiamento 
em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal 
da dívida contraída.
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 As amortizações do principal são sempre iguais em todo 
o prazo da operação. 
 O valor da amortização é obtido pela divisão do capital 
emprestado pelo número de prestações. 
 Os juros que incidem sobre o saldo devedor assumem valores 
decrescentes nos períodos.
 As prestações são decrescentes em progressão aritmética.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Exemplo.
Construa a tabela do SAC: 
 Considere um empréstimo de R$ 100.000,00, concedido dentro 
de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre.
Amortização = valor empréstimo
nº de prestações 
Amortização = 100.000 = 5000
20 
Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Fonte: livro-texto
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
 Amortização (Amort): valores sempre iguais.
Em que: 
 PV = principal (valor do financiamento).
 n = número de prestações.
 Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor 
constante da amortização.
Amort = PV 
n
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. 
Sendo i a taxa de juros, temos:
J = PV . (n – t + 1) . i
n
Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos 
administrativos, que deve ser analisada em cada situação de 
empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos 
nesse modelo).
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 1: 
 Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com 
pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros
de 30% a.a. Calcular o valor do juros no 3º semestre.
 Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano 
em uma taxa semestral.
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
 Anual Semestral iq = (1 + i)
1/q – 1
 1 ano = 2 semestres 
iq = (1 + 0,30)
1/2 – 1 
iq = (1,30)
1/2 – 1
iq = 1,140175 – 1 
iq = 0,140175
Multiplicando por 100 para apresentar a taxa em percentual: 
Iq = 14,0175% a.s.
Portanto, a taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 
14,0175% 
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000
n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. 
J = PV . (n – t + 1) . i
n
J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175
10
J = 10000 . 8 . 0,140175 
J = R$ 11.214,00
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 2: 
Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o 
valor da prestação no 5º semestre.
PMT = PV . [1+ (n – t + 1) . i]
n
PMT = 100000 . [1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [1 + (6) . 0,140175]
PMT = 10000 . [1 + 0,84105] 
PMT = 10000 . 1,84105
PMT = R$ 18.410,50
Interatividade 
Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o 
valor do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo 
de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 
30% ao ano.
a) R$ 15.607,00.
b) R$ 28.035,00.
c) R$ 13.233,50.
d) R$ 20.460,00.
e) R$ 24.831,50.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência
 Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência 
para amortização do empréstimo.
 A próxima tabela demonstra uma situação em que os 
juros são pagos durante a carência estipulada. 
 Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, 
constituída unicamente dos encargos financeiros, é de 
R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. 
 A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do 
principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste 
momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Amortização: R$ 10.000,00 a.s. Juros: 14,0175% a.s.
Períodos
Saldo devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75
TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25
Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência 
– exemplo quando os juros não são pagos na carência
SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) 
capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
Períodos
Saldo devedor 
(R$)
Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,64 - - -
4 168.999.75 - - -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88
14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93
TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22
Sistema de Amortização Francês (SAF) 
 Prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas.
 Juros: incidem sobre o saldo devedor e são decrescentes. 
 Parcelas: assumem valores crescentes em função da 
amortização do principal.
 Prestação: é a soma dos juros com o valor da amortização. 
 Para compor a planilha financeira: 
 vamos partir da última coluna para a primeira: calcula 
inicialmente as prestações e, a seguir, os juros, as parcelas 
de amortização e o respectivo saldo devedor.
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Construindo a tabela do SAF: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
 As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: 
PMT = PV
FPV
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i)–n
i
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT) = PMT = PV
FPV
Em que: FPV = 1 – (1+ i)–n
i
Informaçõesdo exemplo: 
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s.
Vejamos os cálculos e o resultado: 
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT) = PMT = PV
FPV
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175)-10
0,140175
100000 = PMT . 1 – (1,140175)-10
0,140175
100000 = PMT . 1 – 0,26933
0,140175
100000 = PMT . 5,212556
PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Fonte: livro-texto
Interatividade 
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de 
Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior 
valor como total das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos 
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação 
e os juros.
Amort = PMT – J
Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90
A amortização em um momento t qualquer é calculada:
 Amort = Amort1 . (1 + i)
t – 1
Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre?
Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175)4 – 1
Amort = 5166,90 . (1,140175)3
Amort = 5166,90 . 1,482226
Amort = 7658,51
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais
são determinadas pela fórmula: PMT = PV / FPV
Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação 
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i)–n
i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de 
cada período (ou ao final de cada período imediatamente 
anterior).
J1 = SD0 . i
J2 = SD1 . i
J3 = SD2 . i e assim por diante.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela 
diferença entre o valor devido no início do intervalo de 
tempo e a amortização do período. 
SDt = PMT . FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é:
SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6)
FPV = 1 – (1+ i)–n = 1 – (1+0,140175)-4 
i 0,140175
FPV = 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,912667 
0,140175 0,140175
SD6=19184,40 . 2,912667 = 55877,76: arredondando, 55878,00
Sistema Price de Amortização (Tabela Price) 
 O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês).
 Envolve prestações fixas e juros decrescentes a cada período.
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Construindo a Tabela Price: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais 
durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. 
 As prestações anuais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i)–n
i
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i)–n
i
Informações do exemplo.
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 25% a.a.
Vejamos o cálculo e o resultado.
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25)-10
0,25
100000 = PMT . 1 – (1,25)-10
0,25
100000 = PMT . 1 – 0,107374
0,25
100000 = PMT . 3,570503
PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Taxa de juros: 25% ao ano Fonte: livro-texto
Interatividade 
Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo 
sistema francês em 5 prestações semestrais, considerando 
uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação 
a ser paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro 
semestre é de R$ 147.701,70; calcule a amortização no 
terceiro semestre.
a) R$ 180.328,43.
b) R$ 159.754,16.
c) R$ 233.431,50.
d) R$ 201.552,00.
e) R$ 141.733,18.
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 Desenvolvido originalmente para operações de financiamento 
do Sistema Financeiro de Habitação.
 Representa a média aritmética entre o sistema francês 
e o sistema de amortização constante.
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97
2
SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53
2
SAC
SAF
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
 A devolução do capital emprestado é efetuada no final do 
período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez.
 Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo 
não estão previstas.
 Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Construindo a tabela do SAA – Sistema de Amortização 
Americano: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Devolução do capital ao final do período.
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Períodos
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00
Sinking fund ou fundo de amortização 
 No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund
ou fundo de amortização.
 Consiste em acumular poupanças periódicas durante o 
prazo do empréstimo para que, no final do período, o 
montante do fundo seja igual ao valor da dívida.
 Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse 
uma grande quantia de uma só vez.
 R = S / k em que:
R = depósito do período
S = montante igual ao principal 
k = fator de valor presente
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros 
de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar qual
fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano com k = 4,641?
i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.
S = montante igual ao principal = 100.000,00
R = depósito anual
k = fator de valor presente = 4,641 (constante para uma taxa de 
10% a.a e para um período de 4 anos).
Temos: R = S / k
R = 100000 / 4,641 
R = R$ 21.547,08 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Anos
Saldo credor 
(R$)
Depósito
(R$)
Juros
(R$)
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
TOTAL - 86.188,32 13.811,68
Sistema de amortização crescente (SACRE) 
 O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito 
utilizado pela Caixa Econômica Federal.
 Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior 
amortização do valor emprestado, reduzindo-se 
simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor.
 O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price 
as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de 
um momento, as prestações começam a diminuir.
Interatividade 
Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, qual alternativa 
apresenta o valor da prestação do período 2, no sistema de 
amortização misto?
SAC
SAF
a)R$ 21.600,97.
b) R$ 92.416,53.
c) R$ 20.900,10.
d) R$ 19.184,44.
e) R$ 22.615,75.
ATÉ A PRÓXIMA!