14 Exercícios resolvidos Newton

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Aplicação: Método de Newton-Raphson 
Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação da solução positiva 
da equação abaixo com uma precisão . Justifique a sua escolha para a 
aproximação inicial e a convergência do método. 
 
Comentário: Justificar significa que a convergência deve ser garantida a 
priori. Não basta apenas isolar a raiz, fazer as iteradas até que convirja. Neste 
caso, para a função 
 
devemos verificar todas as hipóteses do teorema que garante a 
convergência a priori da seqüência gerada pela de Newton 
 
Solução: 
Achar um tal que , é equivalente a encontrar um tal 
que , com 
 
Para calcular tal , vamos usar o Método de Newton. 
Passo1: isolar a raiz 
Uma forma de determinar um 
intervalo que contém a raiz 
pode ser através de um esboço 
dos gráficos de cada uma das 
funções. Em azul a exponencial 
e em vermelho o polinômio de 
grau 3. Logo escolheremos o 
intevalo [0,1]. 
comentário: este método 
gráfico pode não ser 
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conveniente quando não 
temos idéia dos gráficos das funções ou mesmo quando elas 
possuem várias raízes, que podem não ficar claramente definidas 
por um esboço grosseiro. 
 
Passo2: determinar 
 
 
Logo, 
 
comentário: nesta parte basta construir função que gera as 
iteradas de Newton. 
 
Passo3: verificação das hipóteses do teorema 
Vamos conferir que a satisfaz as condições para a convergência do 
Método de Newton. 
Para . Temos que 
� , e portanto . 
� . 
�
 não troca de sinal em . 
Então a sequência obtida ao aplicar o Método de Newton a converge para a 
única raiz . 
comentário: primeiro são verificadas as hipóteses. Caso seja necessário, o 
intervalo I pode ser diminuído para um subintervalo onde as hipóteses 
estejam satisfeitas. Lembre que ao isolarmos a raiz, fizemos de modo 
grosseiro. 
Escolhendo e fazendo 3 iterações para determinar o comportamento da 
sequência, temos 
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Observamos que a sequência é decrescente, logo a escolha do valor inicial 
 é correta. 
 
comentário: ao fazer as três primeiras iterações, estamos 
identificando se a seqüência é oscilante ou monótona crescente 
ou decrescente. 
1) No caso dela ser oscilante: a raiz fica confinada entre duas 
iteradas consecutivas, le o valor aproximado é definido por (xn+1+ 
xn)/2 e o erro por | xn+1- xn| /2; 
2) No caso de seqüências crescentes ou decrescentes temos que 
usar a aceleração do processo, ou seja somar (subtrair) antes de 
calcular a próxima iterada 2 se ela for crescente (decrescente). 
Calculamos agora a solução aproximada, com uma precisão pre-fixada de 
, 
 
 
Logo, . 
n
0 1.00000 0.592659
1 0.592659 0.415889
2 0.415889 0.386772
3 0.386772
 
n
0 1.00000 0.980000 0.581698 Sim
1 0.581698 0.561698 0.408006 Sim
2 0.408006 0.388006 0.386096 Sim
3 0.386096 0.366096 0.386409 Não
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