03 Erros absoluto e relativo

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Erros absoluto e relativo
Erros absoluto e relativo
Considere um problema qualquer, como por exemplo, o de resolver um sistema de equações 
lineares ou determinar a raiz quadrada de um número. 
Sejam os números
X = valor exato (a solução exata do problema)
e
Xa = valor aproximado (obtido através de uma solução numérica).
Podemos mensurar se a nossa aproximação Xa é boa, ou está dentro de determinados 
parâmetros de precisão analisando os valores do erro absoluto ou do erro relativo.
Definição de Erro Absoluto
EAx = | X - Xa | = | valor exato - valor aproximado |
Definição: Erro relativo
Se
 X é diferente de zero, o erro relativo é definido por
 ERx = | (X - Xa ) / X | = | (valor exato - valor aproximado)/valor exato |
É óbvio que só é possível delimitar valores para os erros, ou seja, definir qual o maior erro 
que será admitido, independente do fato de serem absolutos ou relativos, pois nunca 
conhecemos o valor exato. 
Portanto, delimitar o erro significa identificar um intervalo de tamanho igual ou menor 
que a precisão definida para a solução do problema, que contém o valor aproximado.
EAx = | X - Xa | < µ, onde µ > 0 é uma precisão pré-fixada para o problema
ou
ERx = | (X - Xa ) / X | < µ, onde µ > 0.
Por exemplo, queremos calcular raiz de 2 com precisão de 0.001. Temos que identificar um 
intervalo J tal que qualquer valor da solução aproximada Xa escolhido dentro desse 
intervalo verifique a desigualdade
| sqr(2) - Xa | < 0.001,
Observações:
1) Cada técnica numérica (algoritmo) está baseada em resultados teóricos e é através desse 
suporte teórico que esse intervalo é delimitado. Portanto, não há uma fórmula "mágica" que 
sirva para qualquer algoritmo.
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Erros absoluto e relativo
2) Na prática os erros relativos têm uma "vantagem" sobre os absolutos por causa de sua 
maior independência das escalas. Veja o exemplo,
a) Vamos supor que, para um problema qualquer, o valor exato é dado por X1 
=
 10 e o valor aproximado por X1a = 11. Calculando os erros pelas definições 
acima temos que
erro absoluto é :
 EAx =1
enquanto que o erro relativo é 
 ERx =1/10= 0.1
b) Num outro problema, o valor exato é dado por X2 = 1000 e o valor 
aproximado por X2a= 1001.Calculando os erros temos
erro absoluto : EAx =1 (igual ao do exemplo anterior)
enquanto que o erro relativo é 
 ERx =1/1000 = 0.001
No exemplo (b) estamos muito mais próximos da solução exata do que em (a). A 
comparação entre os erros relativos elimina o problema das diferenças das duas escalas, o 
que não acontece com os erros absolutos.
Estes erros, absoluto e relativo, surgirão com frequência nos tópicos que iremos estudar na 
disciplina de Cálculo Numérico.
Precisão da máquina : eps
eps : é a menor diferença entre dois valores que o computador reconhece.
Esta medida de acurácia da máquina é definida como o menor número em ponto flutuante 
que quando somado ao número de ponto flutuante 1.0 (um), produz um resultado diferente 
de 1.0 (um). Isto significa que números inferiores a eps, são efetivamente zeros no 
computador.
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