12. convergencia quadratica newton

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Convergência quadrática do Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é um caso particular do Método das Aproximações Sucessivas, onde a função φ é
dada pela expressão φ x( ) x f x( )
x
f x( )d
d






−= , quando queremos determinar os valores de x tais que f(x) = 0.
A derivada da função φ é dada por 
x
φ x( )d
d
f x( ) 2
x
f x( )d
d
2





⋅
1
x
f x( )d
d






2
⋅= que confirma a hipótese para a construção da
φ onde 
x
φ x( )d
d
0.=
Para determinar a ordem de convergência do Métodod e Newton suponha que 2
x
φ x( )d
d
2
 seja contínua no intervalo
[a,b] que contém a raiz de f(x) isolada. O polinômio de Taylor (com resto) de φ(x) em torno de x = α truncando na
primeira ordem, é dado por: 
φ x( ) φ α( )
x
φ α( )d
d
x α−( )⋅+ 2
x
φ ζ( )d
d
2 x α−( )2
2!
⋅+= onde ζ está entre x e α.
para x = xn:
φ x
n( ) φ α( ) xφ α( )dd xn α−( )⋅+ 2x φ ζn( )dd
2 xn α−( )2
2!
⋅+= onde ζn está entre xn e α.
Como x
n 1+ φ xn( )= , α φ α( )= e xφ α( )dd 0=
a expressão acima fica: x
n 1+ α 2
x
φ ζn( )d
d
2 xn α−( )2
2!
⋅+=
em módulo x
n 1+ α− 2
x
φ ζn( )d
d
2 xn α−( )2
2!
⋅=
portanto, E
n 1+ 2
x
φ ζn( )d
d
2 En( )2
2!
⋅= ⇔
E
n 1+
E
n( )2
1
2 2x
φ ζn( )d
d
2
⋅=
∞n
E
n 1+
E
n( )2
lim
→
1
2 2x
φ α( )d
d
2
⋅= C=quando n tende a infinito:
Se a derivada de segunda ordem em α é diferente de zero a convergência do método de Newton é quadrática, ou
seja 
E
n 1+ ≈ C En( )2⋅
que significa que, dependendo do valor de C o número de casas decimais corretas dobra a cada iteração.
 Isso sempre ocorre quando a raiz é real e simples.