2h metodo newton (1)

Prévia do material em texto

Método de Newton-Raphson (MNR) 
Independente do método de aproximação que estamos usando, a raiz deve ser 
primeiramente isolada no intervalo. Entretanto, vimos que o fato da raiz estar 
isolada num intervalo [a,b], não garante a convergência do método. 
A Dicotomia só pode ser aplicada quando temos a função f contínua no intervalo, f
(a)f(b)<0 e a raiz isolada no intervalo. No Método das Aproximações Sucessivas 
além de isolar a raiz, a função φ, obtida a partir de 
f(x)=0, 
deve verificar todas as hipóteses do teorema que garante as condições suficientes 
para a convergência das iteradas. Caso apenas uma das hipóteses não esteja 
satisfeita, devemos retornar ao ponto de partida e definir uma nova φ. Uma 
questão também importante no M.A.S. é o fato de, em princípio, termos infinitas 
maneiras de construir uma função φ. E para cada escolha todas as hipóteses do 
teorema do ponto fixo devem ser novamente verificadas. 
O Método de Newton-Raphson, fornece uma forma sistemática de construção de 
φ, que garante a hipótese (ii) de | φ' | < 1 numa vizinhança em torno da raiz.O 
problema recai agora em determinar de fato esta vizinhança. Um outro teorema 
virá em nosso socorro, para conseguirmos garantir a convergência das iteradas 
deste método. 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
Vamos ver como construir a função φ do método de Newton-Raphson, que 
garante a hipótese (ii) do teorema do ponto fixo.. 
Seja f uma função contínua, tal que f( α) = 0, com derivadas contínuas (até a 
ordem que precisarmos), e um intervalo I = [a,b] que contém αisolada. Partindo 
da equação 
f(x) = 0 
podemos escolher uma φ bastante geral : 
 
onde A(x) é uma função qualquer, contínua e com derivadas contínuas em [a,b]. 
Derivando os dois membros 
Página 1 de 5Método de Newton-Raphson
21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
, 
e substituindo αna equação: 
 
como f(α)=0, 
. 
Vamos garantir que |φ ´(x) | < 1, para x pertencente a I, impondo a condição de 
que na raiz α a derivada de φ é zero 
 . 
Isso garante que existe um intervalo
 J em torno de α, para o qual a condição (ii) do 
teorema se verifica. 
Como , a equação da função A(x) na raiz α tem a seguinte forma 
algébrica 
. 
Como estamos fazendo estes cálculos muito próximos da raiz, é razoável assumir 
que 
, 
para x em J. 
Substituindo na expressão de φ, obtemos aforma algébrica da função que gera as 
iteradas do Método de Newton-Raphson: 
. 
Interpretação geométrica - método das tangentes 
 
O Método de Newton-Raphson é também chamado de Método das Tangentes, 
pelo fato de x
n+1 ser determinado pela intersecção da tangente de f em xn+1 com o 
Página 2 de 5Método de Newton-Raphson
21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
eixo x : 
 
 
 
No Gráfico 1 temos uma seqüência decrescente, calculada pela função φ do 
método de Newton, que converge para a raiz α. 
 
Gráfico 1 
 
Nos dois exemplos abaixo, temos duas seqüências convergentes, uma crescente 
e a outra oscilante. 
 
 
Página 3 de 5Método de Newton-Raphson
21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
 
Observe que o tipo de seqüência ( crescente/decrescente ou oscilante) está muito 
vinculado à concavidade da função próxima a raiz. 
Convergência 
A convergência do método de Newton pode ser verificada com as hipóteses do 
teorema do ponto fixo. Entretanto, para a maioria das funções φN, determinar o 
máximo da derivada não é rtivial. Usaremos para este fim o Teorema da 
Convexidade. 
 
 
Um exemplo 
Vamos resolver agora o mesmo exemplo que resolvemos usando o Método das 
Aproximações Sucessivas 
f(x) = x2 - x - 2,
 
para a raiz 2 que está isolada em [1, 3]. A função φN é dada por 
 
ou seja 
 
 
 
n xn
Página 4 de 5Método de Newton-Raphson
21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
Comentários finais 
Como pode ser observado neste exemplo simples, a convergência do Método de 
Newton-Raphson é bastante rápida. 
Neste exemplo, apenas aplicamos o método sem nos preocuparmos com garantia 
da convergência. Na página
 Convergência do Método de Newton-Raphson, 
vamos analisar teoricamente as condições que garantem a convergência desse 
método. 
 
 
0 3
1 2.2
2 2.012
3 2
4 2
Página 5 de 5Método de Newton-Raphson
21/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm