2f método aprox sucesssivas (2)

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Método das Aproximações Sucessivas (MAS) 
Introdução 
 
O método da dicotomia tem como inspiração o
 
teorema de Bolzano 
"seja f uma função contínua num intervalo [a, b] contido em R. Se f 
troca de sinal nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos 
uma raiz real de f contida em [a, b]". 
Portanto, uma limitação do método da Dicotomia é o fato de não poder ser 
aplicado para o caso de raízes de multiplicidade par, pois para podermos achar 
uma raiz α por esse método é necessário que ela esteja isolada em [a,b] , que f 
seja contínua e troque f de sinal em [a,b]. 
 
Método das aproximações sucessivas 
 
O método das aproximações sucessivas, tem como inspiração o Teorema do 
ponto fixo. 
Idéia do teorema do ponto fixo: 
Seja α uma raiz de f , isolada no intervalo [a, b], ou seja, f
(α) = 0. 
Obter uma função φ, tal que a raiz αseja ponto fixo de φ, ou 
seja, φ(α) = α. 
Logo, o problema de achar um zero de f será modificado para o de 
achar um ponto fixo de αααα. 
Como construir a função φ para calcular as iteradas do método das 
aproximações sucessivas? 
Partindo da equação 
f(x) = 0, 
através de manipulações algébricas (somando x nos dois membros, 
isolando o x em um dos lados da equação, etc. )chegamos a uma 
equação equivalente 
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φ(x) = x 
se a raiz de f é ponto fixo da função φ, temos que 
 φ(α) =α. 
Portanto, podemos construir uma seqüência de valores xk a partir da 
estrutura algébrica definida pela φ. Essa seqüência é dada pelos 
valores 
φ(xk ) = xk+1 , para k = 0, 1, 2, 3, ...para x0 uma 
aproximação (chute) inicial. 
Mas apenas encontrar uma φ dessa forma, não significa que a 
seqüência gerada por ela converge para a raiz. 
OBSERVAÇÕES: 
Para garantirmos a convergência da seqüência { xk } 
para a raiz, algumas hipóteses devem ser verificadas. 
Essas hipóteses são definidas pelo teorema do ponto 
fixo, e são hipóteses que envolvem a função φ. 
Exemplo: aplicando o método para determinar as raízes de f(x) = x2 - x 
- 2. 
Todos sabemos que as raízes são 2 e -1, mas sempre é bom 
testarmos com exemplos simples e principalmente, aqueles que 
conhecemos as respostas. 
Passo1: Isolar a raiz. 
[0, 3] é um intervalo que contém a raiz 2 e [-2,0] é um 
intervalo que contém a raiz -1. 
Passo2: definir a função φ através de manipulações algébricas e 
verificar se φ(α) =α. 
Observação: verificar se a raiz é ponto fixo da função φ é 
algo que não poderemos testar em problemas onde de fato 
não conhecemos a raiz exata. Isso só poderá ser feito a 
posteriori, ou seja, se encontramos um valor que é ponto 
fixo da φ devemos verificar se ele é também raiz da f. 
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f(x) = x2 - x -2 <=> x2 - x -2 = 0 
a) - x = 2- x2 => φ1 (x) = x2 - 2 (esta é apenas uma das 
possibilidades) 
φ1(2) = 22- 2 = 2 ( 2 é ponto fixo de φ1)
 
φ1(-1) = (-1)2 - 2 =-1 (-1 é ponto fixo de φ1)
 
b) x ( x-1) = 2 => x = 2/(x-1) => φ2 (x) = 2/(x-1) 
φ2 (2) = 2/(2-1) = 2 ( 2 é ponto fixo de φ2 )
 
φ2 (-1) = 2/(-1-1) = -1 ( -1 é ponto fixo de φ2 )
 
Neste caso, para as duas funções que construímos, as duas 
raizes são pontos fixos de ambas. Isso nem sempre ocorre. 
Passo3: para um chute inicial, dentro do intervalo que contém a 
raiz, efetuar as iteradas 
Calculando as iteradas para o caso (a)φ1 (x) = x2 - 2, com valores 
diferentes de chute inicial, valores em negrito nas colunas dos xk 
para 
k = 0 temos 
Para o chute inicial xk = 0 observamos que a seqüência das 
iteradas de φ1 converge para a raiz 2 e para os demais chutes 
iniciais não temos a convergência. 
chute 
inicial x0
0 3 2.1
x1 -2 7 2.41
x2 2 47 3.808
x3 2
2.207 X 
103 12.502
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Calculando agora as iteradas para o caso (b) φ2 (x) = 2/(x-1), com 
valores diferentes de chute inicial (as colunas dos xk ) 
 
 
No caso do chute xk = 0, também observamos que a seqüência 
das iteradas de φ2 converge para a raiz -1. Complete a tabela 
com os outros chutes iniciais e verifique o que ocorreu. 
Observe, como neste caso a convergência é muito mais lenta que 
no caso anterior. 
 
Passo4: definir o critério de parada 
O critério de parada que usamos nesses exmplos foi certamente nada 
profissional, pois ficamos calculando as iteradas até atingir uma das 
raizes. 
Raramente saberemos o valor da raiz e portanto NUNCA devemos 
deixar um algoritmo em loop ATÉ QUE UM DETERMINADO VALOR 
SEJA ATINGIDO. Qualquer que seja o método iterativo, implemente 
chute 
inicial x0
0 -1.2 -2
x1 -2 
x2 -0.667 
x3 -1.2 
x4 -0.909 
x5 -1.048 
x6 -0.977 
x7 -1.012 
x8 -0.994 
x9 -1.003 
x10 -0.999 
x11 -1 
x12 -1 
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sempre um critério de parada por número máximo de iterações 
(ITMAX). Mas lembre-se que se o algoritmo parou por atingir ITMAX o 
resultado precisa ser analisado com cuidado, pois não atingiu uma 
precisão pré-definida para ela. 
Este é um caso típico onde vamos usar delimitações do erro absoluto 
ou do relativo para estabelecer a parada. 
Antes de definir as condições sobre f e φ, que garantem a convergência 
das iteradas, é importante observar que: 
1. isolar a raiz em um intervalo deve ser feito, independente do 
método iterativo que vamos usar e isto nem sempre é uma tarefa 
fácil; 
2. diferentes valores do chute inicial, levam a seqüências com 
comportamentos diferentes (convergêntes ou não); 
3. nem sempre a função φ adequada para uma raiz é para outra. 
 
 
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