P1, P2, P3, PSub de MAP2121 2008

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Neste arquivo se encontram algumas observações sobre algumas 
questões das Provas P1, P2, P3 e PSUB de MAP2121 de 2008. 
Os gráficos presentes podem ajudar na resolução da questão ou 
podem servir de auxílio para saber se a questão está correta. 
 
 
P1 
 
Q1) A solução exata do sistema é: (x,y,z) = (0.5 , 1 , -0.5). 
 
Obs: Saber disso com auxílio de uma calculadora que resolva sistemas lineares 
durante a resolução da questão pode ajudar a perceber se há algum erro de 
conta. 
 
P2 
 
Q1) g(x) = a.3bx � g(x) = 3(200x+9)/200 
g(x): 
 
 
Obs: Note que nesse exercício se pede para aproximar uma função. Ou seja, a 
função obtida não passará necessariamente pelos pontos dados (diferente da 
Interpolação Polinomial, em que nela a função passa pelos pontos dados). 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) g(x) 
0 1 1,05 
1 3,3 3,15 
2 9,9 9,46 
3 27 28,4 
 
Q3) f(x) = e|2x-5|/3 
 
f(x): 
 
p(x) = (e-1) + ((30e – 75)/4).(((2x-5)/3)2 – 1/3) 
p(x): 
 
Obs: Nesse tipo de questão, o uso de uma calculadora gráfica durante a prova é 
interessante, pois, caso se sobreponham os gráficos, pode-se ter uma noção se 
houve erro de conta ou se o polinômio aproximador pode estar correto. 
 
 
 
 
 
 
 
p(x) e f(x): 
 
 
 
P3 
 
Q1) f(x) = |x| , [-1,1] 
f(x): 
g(x) = 0.5 + (4cos(pi(x + 1))/pi2) 
g(x): 
 
Obs: Assim como na ‘Q3’ da ‘P2’, nesse tipo de questão, o uso de uma 
calculadora gráfica durante a prova é interessante, pois, caso se sobreponham os 
gráficos, pode-se ter uma noção se houve erro de conta ou se a função 
aproximadora pode estar correta. 
 
 
 
 
f(x) e g(x): 
 
 
Q3) O polinômio interpolador é: 
p(x) ≈ 9,1+(x +2)(-5,1)+(x +2)(x +1)(1,1)+(x +2)(x +1)(x)(-0,083)+(x +2)(x +1)(x)(x -
1)(0,0415) 
 
Portanto: p(x) ≈ 0,0415x4 + 0,8095x2 – 2,049x + 1,1 
p(x): 
 
Obs: Nesse exercício deve-se usar um polinômio interpolador. Diferentemente das 
funções aproximadoras, o polinômio interpolador deve necessariamente passar 
pelos pontos dados. Nesse caso, como as contas não são exatas, existe pouca 
diferença entre f(x) e p(x) em alguns dos pontos dados. Porém, caso as contas 
fossem exatas, essas diferenças seriam inexistentes. 
 
 
 
 
 
x f(x) p(x) 
-2 9,1 9,1 
-1 4 4 
0 1,1 1,1 
1 -0,1 -0,1 
2 0,9 0,9 
 
Q4) f(x) = 1/√(1 – x2) 
f(x): e 
-1∫
1f(x)dx: 
 
f(t) = 1/√(1-(t/2 -1)2) 
f(t): e 1∫3f(t)dt: 
 
Obs: A integral de f(t) vai de 1 até 3 devido ao enunciado do exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PSUB (P4) 
 
 
Q1) Do enunciado, temos: x(α) > 0 e y(β) > 0. 
 
a) I) x < 3 ; II) y < 0.5 ; III) y < x -2 
 
 
 
Da intersecção dos gráficos, temos que a região pedida é: 
 
 
 
 
 
 
 
b) I) x < 3 ; II) y < 2/(x +1) ; III) y < (20x -32)/(9x +9) 
 
 
 
 
Da intersecção dos gráficos, temos que a região pedida é: 
 
 
 
 
 
Obs: O uso de uma calculadora gráfica seria importante para se saber como são 
os gráficos das funções II e III do item b). 
 
Q2) f(x) = x2/4 – sen(x) 
f(x): 
 
Obs: Caso esse gráfico fosse feito com auxílio de uma calculadora gráfica e 
usando argumentos de Cálculo I para a construção de gráficos, TALVEZ pudesse 
servir como resolução da questão 2, item a) da prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3) f(t) = √|2t -9| , [4,5] 
p(x) = (20x2 -180x +408)/7 
f(t): e p(x): 
 
f(t) e p(x): 
 
Obs: A comparação dos gráficos com auxílio de uma calculadora gráfica é 
importante para se saber se não há algum erro na resolução do exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q4) f(x) = ex/√x ; f(t) = 2.et.t 
f(x): e 0∫1f(x)dx: 
 
f(t): e 0∫1f(t)dt: 
 
Obs: Se for possível fazer essa comparação durante a prova ela é interessante 
porque com ela pode-se perceber se foi cometido algum erro, como o da mudança 
de variável, e corrigi-lo.