Exercícios de Matrizes

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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
FONTE: Provas do IME de 85 a 2001
01) Determine o valor de 
 para que o sistema abaixo tenha mais de uma solução e resolva-o neste caso.
02) Sejam 
, 
 e 
 matrizes 
 com elementos reais. Denotando-se por 
 a matriz transposta de 
:
a) Mostre que se 
, então 
.
b) Mostre que se 
, então 
03) Sejam 
 e 
 duas matrizes de elementos inteiros. Verifique se a matriz 
 é inversível.
04) Seja 
 uma matriz 
.
a) Mostre que 
 comuta com todas as matrizes 
 se e somente se comuta com as matrizes:
b) Calcule todas as matrizes 
, 
, do tipo acima, isto é, que comuta com qualquer matriz 
.
c) Diga quais destas matrizes 
 são inversíveis e determine a inversa.
05) Determine todas as matrizes 
 reais, de dimensões 
, tais que 
, para toda matriz 
 real 
.
06) Determine todas as matrizes 
 reais, 
, tais que: 
07) Discuta o sistema 
08) Calcule o determinante da matriz:
09)(A) Mostre que toda matriz 
, com 
 reais satisfaz a equação: 
, onde 
 é a matriz identidade 
.
(B) determine todas as matrizes reais 
 cujo cubo seja igual a matriz nula.
10) Calcule o valor do determinante abaixo:
11) Dada a matriz 
 , determine 
 e 
 de modo que o determinante 
, associado a matriz 
, seja divisível por 7.
12) Determine o parâmetro 
 de modo que o sistema seja compatível:
13) Considere as matrizes reais 
 
 e 
, onde 
 é uma permutação de 
. Determine as permutações para as quais:
a) 
;
b) 
Considere que os valores 
 e 
 são genéricos.
14) Calcule o determinante:
15) Determine os valores de a e b para que a equação matricial abaixo seja impossível.
16) Determine 
 para que seja impossível o sistema:
17) Considere a matriz 
, onde:
k-ésimo termo do desenvolvimento de 
, com 
; 
 e 
.
a) Calcule 
b) Determine o somatório dos elementos da coluna 55.
c) Obtenha uma fórmula geral para os elementos da diagonal principal.
�http://www.geocities.com/penbadu
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