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Cálculo I Lista de Exercícios 1 2° semestre de 2014 – Prof. Claudio H. Asano 1 Revisão de Álgebra 1.1 Complete usando a propriedade especificada: (a) 13 + 32 = (comutativa). (b) 7 + (6 + 3) = (associativa). (c) 5 + 0 = (elemento neutro). (d) 3 + (−3) = (elemento oposto). (e) 7(3 + 2) = (distributiva). (f) 23 · 31 = (comutativa). (g) (12 · 34) · 5 = (associativa). (h) 7 · 1 = (elemento neutro). (i) 5 · 1 5 = (elemento inverso). (j) (9 + 7) · 4 = (distributiva). 1.2 Calcule: (a) 2 · 3 + 5 Resp: 11 (b) 2 + 3 · 5 Resp: 17 (c) 2 · 1 3 − 3 Resp: −73 (d) 1/2 + 1/3 Resp: 5/6 (e) 1/2− 1/3 Resp: 1/6 (f) 1 + 1/3 Resp: 4/3 (g) 1− 1/3 Resp: 2/3 (h) 1/3− 3 Resp: −8/3 (i) 1/2 · 4− 1 Resp: 1 (j) 2 3 4 5 Resp: 5 6 (k) 2 4 3 · 45 6 Resp: 4/5 (l) 2 4 3 · 4 5 6 Resp: 1/5 (m) 1 2 − 3 4 4 3 + 2 5 Resp: − 15 104 (n) 2 7 − 1 4 5 2 · 3 4 Resp: 2 105 (o) 2 ( 5/2 + 2/3)2 Resp: 361/18 (p) (2/3− 1/2)−2 Resp: 36 (q) 3(2 3) Resp: 6561 (r) (32)3 Resp: 729 1.3 Expanda as expressões abaixo: (a) a(b+ 2c) Resp: ab+ 2ac (b) (b− c)a Resp: ab− ac (c) (a+ b)(a− 2b) Resp: a2 − ab− 2b2 (d) (2a− b)(3a− c) Resp: 6a2 − 3ab − 2ac+ bc (e) (x+ y + z)(x+ y) Resp: x2+2xy+xz+ y2 + yz (f) 1 a+ b − 1 Resp: 1− a− b a+ b (g) (a− b)2 Resp: a2 − 2ab+ b2 (h) (a− 2b)3 Resp: a3 − 6a2b + 12ab2 − 8b3 (i) (a− b)4 Resp: a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4 (j) ( a+ 2 a− b )2 Resp: a2 + 4a+ 4 a2 − 2ab+ b2 (k) (a+ b)2(a− b)2 Resp: a4 − 2a2b2 + b4 (l) (a+ b)−2 + (a− b)−1 Resp: a2 + 2ab+ b2 + a− b a3 + a2b− ab2 − b3 (m) (a+ b+ c)2 Resp: a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc 1.4 Fatore as expressões abaixo: (a) a2 − 2a Resp: a(a− 2) (b) a2 − 16 Resp: (a+ 4)(a− 4) (c) a2 + 2a+ 1 Resp: (a+ 1)2 (d) a2 − 6a+ 9 Resp: (a− 3)2 (e) a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 Resp: (a− b)3 (f) a4+4a3+6a2+4a+1 Resp: (a+ 1)4 1.5 A fórmula F = 9C/5 + 32 dá a relação entre a temperatura em graus Fahrenheit F e graus Celsius C. (a) Se a temperatura em graus Fahrenheit variou de 69°F a 96°F, qual a correspondente variação em graus Celsius? Resp: 15 (b) Se a temperatura em graus Celsius variou de 1°C a 99°C, qual a correspondente variação em graus Fahrenheit? Resp: 882/5 1.6 A fórmula A = F (1− ni) dá a relação entre o valor de face F de uma nota promissória, o valor atual A, o número de meses até o vencimento n e a taxa de juros mensal i. (a) Se F = 100, n = 2 e i = 7/100, calcule o valor correspondente A. Resp: A = 86 (b) Se A = 100, n = 2 e i = 7/100, calcule o valor correspondente F . Resp: F = 5000/43 (c) Se F = 130, A = 100 e n = 2, calcule o valor correspondente i. Resp: i = 3/26 1.7 Resolva as inequações abaixo: (a) x+ 2 ≤ 0 Resp: S = {x ∈ R | x ≤ −2} (b) 3x− 2 ≥ 0 Resp: S = {x ∈ R | x ≥ 2/3} (c) 2x− 1 > 3(x+ 2) Resp: S = {x ∈ R | x < −7} (d) 1− 3x ≤ 4x− 1 Resp: S = {x ∈ R | x ≥ 2/7} (e) x 4 − x > x 3 Resp: S = {x ∈ R | x < 0} (f) x 2 + x 3 < x 5 + 2 Resp: S = {x ∈ R | x < 60/19} (g) x+ 3 2 < x− 1 2 Resp: S = ∅ (h) (x+ 2)(3x− 2) ≤ 0 Resp: S = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2/3} (i) (x− 2)(x+ 2) > 0 Resp: S = {x ∈ R | x < −2 ou x > 2} (j) x2(x+ 1) > 0 Resp: S = {x ∈ R | x 6= 0 e x > −1} (k) x(x+ 1)(x− 1) < 0 Resp: S = {x ∈ R | x < −1 ou 0 < x < 1} 1.8 Uma máquina copiadora tem um custo mensal de C = 800, 00 + 0, 02x reais, onde x é o número de cópias realizadas. Se quisermos vender cópias a R$0,10 cada, obtendo uma receita R = 0, 10x, qual o número mínimo de cópias que precisamos vender mensalmente para que tenhamos lucro? Quantas cópias precisamos vender se quisermos um lucro maior ou igual a R$80,00? Use que o lucro L é dado pela receita R menos o custo C. Resp: Precisamos vender mais que 10000 cópias para obtermos lucro. Precisamos vender 11000 cópias ou mais para ter um lucro maior ou igual a R$80,00. 1.9 Resolva os sistemas lineares abaixo: (a) { x+ y = 7 x− y = 3 Resp: x = 5 e y = 2 (b) { x+ 2y = 8 2x− y = 1 Resp: x = 2 e y = 3 (c) { x+ 3y = 7 2x+ y = 4 Resp: x = 1 e y = 2 (d) { 2x+ 3y = 5 3x− 2y = 1 Resp: x = 1 e y = 1 (e) { 2x+ 2y = 10 3x− y = 5 Resp: x = 5/2 e y = 5/2 (f) { x+ 2y = 1 3x+ 4y = 2 Resp: x = 0 e y = 1/2 (g) x+ 2y = 8 2x− y = 1 x− z = 2 Resp: x = 2, y = 3 e z = 0 (h) 2x+ 2y = 6 3x− y = 1 y − 2z = −4 Resp: x = 1, y = 2 e z = 3 (i) x+ y + 2z = 4 2x− y + 3z = 4 3x− y − 2z = 0 Resp: x = 1, y = 1 e z = 1 1.10 Uma gráfica de conveniência vende cópias coloridas e branco e preto. Em um mês, o custo é de C = 1000, 00+0, 02x+0, 50y reais, onde x é o número de cópias branco e preto e y é o número de cópias coloridas. Se a gráfica vender as cópias branco e preto a R$0,10 cada e as cópias coloridas a R$1,50 cada obtendo uma receita mensal R = 0, 10x+1, 50y, determine o número de cópias de cada tipo para que a receita R seja R$1700,00 e o custo C seja R$1380,00. Resp: x = 14000 cópias branco e preto e y = 200 cópias coloridas. 1.11 Um comerciante vende camisetas brancas e coloridas com um custo mensal C = 150, 00+ 2, 50x + 3, 50y, onde x é o número de camisetas brancas e y é o número de camisetas coloridas. Ele vende as camisetas brancas a R$4,00 cada e as camisetas coloridas a R$6,00 cada. (a) Quantas camisetas brancas e coloridas o comerciante precisa vender em um mês para que o custo seja de R$575,00 e a receita seja de R$700,00? Resp: x = 100 e y = 50 (b) Qual o lucro (ou prejuízo) do comerciante se ele vender x = 50 camisetas brancas e y = 20 camisetas coloridas? Resp: o prejuízo é de R$25,00. 2 Revisão de Funções 2.1 Determine o domínio de definição de cada uma das funções: (a) y = 2x2 Resp: R (b) y = 2x− 1 Resp: R (c) y = 1 x Resp: R− {0} (d) y = 1 x− 3 Resp: R− {3} (e) y = x (x+ 2)(x− 1) Resp: R− {−2, 1} (f) y = 2 x(x− 2) Resp: R− {0, 2} (g) y = 2 √ x Resp: {x ∈ R | x ≥ 0} (h) y = √ x− 2 Resp: {x ∈ R | x ≥ 2} (i) y = 1√ x− 2 Resp: {x ∈ R | x > 2} (j) y = 1 x √ x+ 3 Resp: {x ∈ R | x > −3 e x 6= 0} 2.2 Quais dos diagramas seguintes representam funções de A em B? Justifique sua resposta. (a) A B 1 −1 2 1 3 2 3 (b) A B 1 1 2 −1 3 2 4 (c) A B 1 1 2 −1 3 2 4 3 (d) A B 1 1 2 −1 3 2 4 3 (e) A B 1 1 2 −1 3 2 4 3 (f) A B 1 1 2 −1 3 2 4 Resp: Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Assim (a), (c) e (e) são funções e (b), (d) e (f) não são funções. 2.3 Encontre a função linear y = f(x) cujo gráfico tem interceptos em (0, 8) e (4, 0). Resp: y = −2x+ 8 2.4 Determine a função linear y = f(x) com gráfico que passa pelos pontos (2, 7) e (5, 22). Resp: y = 5x− 3 2.5 Calcule a função linear y = f(x) que tem um gráfico que passa pelo ponto (2, 7) e que tem coeficiente angular 3. Resp: y = 3x+ 1 2.6 Esboce o gráfico da função indicada. (a) f(x) = 3x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = −2x+ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2.7 Uma companhia de telecomunicações oferece serviços de telefonia pré-paga e pós-paga. Para o consumidor, o preço da ligação é de R$0,80 por minuto de ligação no serviço pré-pago. O preço é de R$0,10 por minuto mais uma taxa fixa de R$30,00 para o plano pós-pago. Faça um gráfico do preço em função da quantidade de minutos utilizada em cada plano. Encontre o ponto de intersecção das retas obtidas e interprete o resultado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 10 20 30 40 50 60 2.8 Em um determinada rota, uma companhia aérea transporta 8000 passageiros por mês, cobrando R$280,00 por bilhete. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$1,00 que se acrecenta ao preço da passagem, a companhia transporta 140 passageiros a menos. Descreva o número de passageiros y como uma função do preço da passagem x. Resp: y = 8000− 140(x− 280) = 47200− 140x. 2.9 Encontre a função quadrática y = ax2 + bx + c que tem interceptos em (0, 6), (2, 0) e (3, 0). Resp: y = x2 − 5x+ 6 2.10 Encontre a função quadrática y = ax2 + bx + c que tem interceptos em (0, 8), (1, 0) e (4, 0). Resp: y = 2x2 − 10x+ 8 2.11 Determine a função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c que passa pelos pontos da tabela x 0 1 2 f(x) −1 3 11 Resp: f(x) = 2x2 + 2x− 1 2.12 Determine a função quadrática y = ax2 + bx+ c que passa pelos pontos (1, 7), (2, 17) e (3, 33). Resp: y = 3x2 + x+ 3 2.13 Esboce o gráfico da função indicada. (a) f(x) = x2 − 3x+ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = −x2 + 2x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2.14 Esboce os gráficos das funções indicadas. (a) f(x) = x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = x2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (c) f(x) = (x+ 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (d) f(x) = (x− 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (e) f(x) = (x+ 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (f) f(x) = (x− 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2.15 Um objeto é lançado para o alto e sua altura (em metros) é dada em função do tempo t (segundos) pela função y = −16t2 + 48t + 4. Determine a altura máxima do objeto. Justifique sua resposta. Resp: y = 40 metros para t = 1.5 segundos. 2.16 Um projétil foi disparado a partir de uma superfície plana e tem uma trajetória para- bólica dada pela função y = −3x2 + 21x − 30, onde y é a altura em metros e x é a posição horizontal a partir de um ponto de referência no solo. Calcule a altura máxima e a distância horizontal percorrida pelo projétil. Justifique sua resposta. Resp: A altura máxima é y = 6.75 metros e a distância horizontal percorrida é x = 3 metros. 2.17 Queremos construir uma horta retangular cercada com 60 metros de cerca aprovei- tando o muro do vizinho como na figura ao lado. Encontre as dimensões da horta para que ela tenha área máxima. Resp: x = 15 metros e y = 30 metros muro x y 2.18 Um pomar com caquis produz um lucro de R$40,00 por árvore quando for plantado com 1000 árvores. Com o aumento do número de árvores e diminuição de produtividade, o lucro por árvore diminui em R$0,02 para cada árvore adicional plantada. Quantas árvores devem ser plantadas para maximizar o lucro total do pomar? Justifique sua resposta. Resp: O lucro por árvore é l = 40− 0.02(x− 1000) = 60− 0.02x e o lucro total do pomar é L = −0.02x2 + 60x. O lucro máximo ocorre para x = 1500 árvores. 2.19 Esboce o gráfico da função indicada. (a) f(x) = |x+ 1| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = |x− 1| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (c) f(x) = (x− 1)(x+ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (d) f(x) = |(x− 1)(x+ 2)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (e) f(x) = (x+ 1)(3− x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (f) f(x) = |(x+ 1)(3− x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2.20 Faça o gráfico das funções abaixo. (a) f(x) = { 0 se x < 0 1 se x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = { x se x < 0 x+ 1 se x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (c) f(x) = −1 se x ≤ −1 3x+ 2 se −1 < x < 1 7− 2x se x ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (d) f(x) = x+ 7 se x ≤ −2 x2 + 1 se −2 < x < 0 1− 3x se x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2.21 A tabela progressiva para o cálculo anual do imposto de renda de pessoa física para o exercício de 2010, ano-calendário de 2009, foi a seguinte: Base de cálculo Alíquota Parcela a deduzir Até R$17.215,08 Isento – De R$17.215,09 a R$25.800,00 7,5% R$1.291,13 De R$25.800,01 a R$34.400,40 15% R$3.226,13 De R$34.400,41 a R$42.984,00 12,5% R$5.806,16 Acima de R$42.984,00 27,50% R$7.955,36 (a) Faça um gráfico da alíquota de imposto como função do rendimento anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: 0 5 10 15 20 25 30 0 10000 20000 30000 40000 50000 (b) Faça um gráfico do imposto a pagar como função do rendimento anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 10000 20000 30000 40000 50000 3 Revisão de Exponenciais e logaritmos 3.1 Utilize as propriedades da exponencial e do logaritmo para calcular as expressões dadas. (a) log2(32) Resp: 5 (b) log5(25) Resp: 2 (c) log25(5) Resp: 1/2 (d) log10(1000) Resp: 3 (e) log10(0.01) Resp: −2 (f) 3−2+log3 2 Resp: 2/9 (g) log4(2) + log4(32) Resp: 3 (h) log2(80)− log2(5) Resp: 4 (i) log 1 2 4 Resp: −2 (j) log√2( 3 √ 8 5 √ 16) Resp: 18/5 Dado: Definição: loga x = y ⇐⇒ ay = x, onde x > 0, a > 0, a 6= 1 Propriedades: abac = ab+c loga(bc) = loga(b) + loga(c) ab ac = ab−c loga ( b c ) = loga(b)− loga(c) an = 1 · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸ n vezes loga(b n) = n loga(b) a 1 n = n √ a loga( n √ b) = 1 n loga(b)( ab )c = abc loga(b) = logc(b) logc(a) 3.2 Determine o valor de x ∈ R nas equações exponenciais dadas. (a) 3x = 81 Resp: x = 4 (b) 23x+1 = 1 4x Resp: x = −1/5 (c) 4/x √ 64 = 4 Resp: x = 4/3 (d) 2x+1 + 2x−1 + 2x+2 = 26 Resp: x = 2 3.3 Determine o valor de x ∈ R nas equações logarítmicas dadas. (a) log4(x) = 2 Resp: x = 16 (b) logx(81) = 2 Resp: x = 9 (c) log(2x2 + 5)− log(−10x− 3) = 0 Resp: x = −1 e x = −4 (d) log3(x+ 2) = 3 + log3(3x− 1) Resp: x = 29/80 3.4 Utilize uma calculadora para resolver as equações abaixo. (a) 2x = 10 Resp: x = log2(10) = log(10) log(2) ≈ 3.321928095 (b) (1.3)x = 2 Resp: x = log1.3(2) ≈ 2.641926796 (c) (1.02)x = 3 Resp: x = log1.02(3) ≈ 55.478107639 (d) log3 ( x 2 ) = 1.75 Resp: x = 13.677042342 3.5 Esboce o gráfico da função exponencial dada. (a) f(x) = 3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: 0 2 4 6 8 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (b) f(x) = 2−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: 0 2 4 6 810 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3.6 Esboce o gráfico da função logaritmo dada. (a) f(x) = log3(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 20 40 60 80 100 (b) f(x) = log10(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -3 -2 -1 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 3.7 Esboce o gráfico das funções f(x) = 2x e g(x) = log2(x) no mesmo gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resp: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3.8 Se investirmos um capital C a juros compostos por n meses a uma taxa de juros i ao mês, obteremos o montante M = C(1 + i)n. (a) Se C = 100, i = 0.01 e n = 12, calcule M . Resp: M ≈ 112.68 (b) Se M = 110, i = 0.01 e n = 12, calcule C. Resp: C ≈ 97.62 (c) Se M = 110, C = 100, n = 12, calcule i. Resp: i ≈ 0.007974 ou 0.7974% (d) Se M = 110, C = 100, i = 0.01, calcule n. Resp: n ≈ 9.6 3.9 Quanto tempo um capital C deve ser aplicado a uma taxa de juros de 0.5% ao mês para que ele dobre de valor? Dado: M = C(1 + i)n. Resp: Para um capital C dobrar de valor devemos ter um fator de capitalização igual a 2. Como i = 0.005 e o fator de capitalização depois de n meses é (1 + i)n, nós resolvemos a equação (1 + i)n = 2 1.005n = 2 log(1.005n) = log 2 n log(1.005) = log 2 n = log 2 log(1.005) n ≈ 138.976 Assim, para dobrar de valor, um capital C deve ser aplicado por 139 meses a uma taxa de 0.5% ao mês. 3.10 A massa de um material radioativo em função do tempo é dada pela função y = 10e−2x. Determine o valor de x para que y = 5. Forneça a resposta exata junto com sua respectiva aproximação com 2 casas decimais. Resp: x = −12 ln ( 1 2 ) ≃ 0.3466 3.11 A massa y de um determinado material radioativo é dada em função do tempo x por uma função exponencial do tipo y = aebx. Sabendo-se que para x = 0 temos y = 100 e que para x = 2 temos y = 25, determine a e b. Forneça a resposta exata junto com sua respectiva aproximação com 2 casas decimais. Resp: a = 100 e b = ln 12 ≃ −0.69 3.12 A carga y de um capacitor é dada em função do tempo x por uma função do tipo y = 500 − ae−bx. Sabendo-se que quando x = 0 temos y = 0 e que quando x = 1 temos y = 300, determine a e b. Forneça a resposta exata junto com sua respectiva aproximação com 2 casas decimais. Resp: a = 500 e b = − ln 25 = ln 52 ≃ 0.92 4 Revisão de Trigonometria 4.1 Medida de ângulos: Um ângulo de 1 minuto (1’) corresponde a 1/60 de um grau. Um ângulo de 1 segundo (1”) corresponde a 1/60 de 1 minuto. Simplifique as medidas abaixo. (a) 61′′ Resp: 1′1′′ (b) 200′ Resp: 3°20′ (c) 3500′′ Resp: 58′20′′ (d) 25°65′70′′ Resp: 26°6′10′′ (e) 45°59′62′′ Resp: 46°0′2′′ (f) 59°123′75′′ Resp: 61°4′15′′ 4.2 Efetue as operações a seguir: (a) 45°59′2′′ + 5°5′47′′ Resp: 51°4′49′′ (b) 32°43′2′′ + 65°55′55′′ Resp: 98°38′57′′ (c) 21°02′5′′ − 6°10′36′′ Resp: 14°51′29′′ (d) 5°39′22′′ − 1°54′46′′ Resp: 3°44′36′′ (e) 2× 3°21′26′′ Resp: 6°42′52′′ (f) 5× 3°45′6′′ Resp: 18°45′30′′ (g) 2°14′52′′ : 2 Resp: 1°07′26′′ (h) 6°43′24′′ : 3 Resp: 2°14′28′′ 4.3 Exprima os ângulos abaixo em radianos: (a) 150° Resp: 5pi/6 rad (b) 15° Resp: pi/12 rad (c) 36° Resp: pi/5 rad (d) 120° Resp: 2pi/3 rad (e) 60° Resp: pi/3 rad (f) 210° Resp: 7pi/6 rad 4.4 Converta os ângulos abaixo em graus: (a) 3pi/2. Resp: 270° (b) 3pi/4. Resp: 135° (c) 5pi/3. Resp: 300° (d) pi/3. Resp: 60° (e) 7pi/2. Resp: 630° (f) pi/6. Resp: 30° 4.5 No triângulo ao lado, calcule o lado b. Resp: b = 8 . 6 10 b 4.6 Na figura ao lado, determine os lados a e b. Resp: a = 2 √ 3 e b = 2 .30° a 4 b 4.7 Calcule a e c no triângulo da figura. Resp: a = 5 √ 3 e c = 10 . 60° a c 5 4.8 No triângulo da figura ao lado, temos a = 4 e b = 5. Calcule c e em seguida calcule sen θ e cos θ. Resp: c = √ 41, sen θ = 5√ 41 e cos θ = 4√ 41 .θ a c b 4.9 Sabendo-se que sen θ = 1 3 , utilize a identidade fundamental para calcular cos θ. Resp: cos θ = 2 √ 2 3 4.10 Para cada função f abaixo, calcule f(pi/2) e f(pi): (a) f(x) = sen(2x). Resp: f(pi/2) = 0 e f(pi) = 0. (b) f(x) = cos(x/3). Resp: f(pi/2) = √ 3/2 e f(pi) = 1/2. (c) f(x) = cos(2x/3)− sen(4x/3). Resp: f(pi/2) = 1− √ 3 2 e f(pi) = −1− √ 3 2 . (d) f(x) = sen2(x/2) + cos2(x/2). Resp: f(pi/2) = 1 e f(pi) = 1. 4.11 Seja f(x) = sen(3x) + 2 cos(x)− 2 sen(2x). Calcule f(pi/2). Resp: f(pi/2) = sen(3pi/2) + 2 cos(pi/2)− 2 sen(pi) = −1 + 0− 0 = −1 4.12 Seja f(x) = sen(2x) + cos(4x)− 2 sen(4x). Calcule f(pi/2), f(pi/3) e f(pi/6). Resp: f(pi/2) = 1, f(pi/3) = 3 √ 3−1 2 e f(pi/6) = −1− √ 3 2 . 4.13 Esboce o gráfico de y = sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.14 Esboce o gráfico de y = cos(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.15 Esboce o gráfico de y = sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.16 Esboce o gráfico de y = 2 sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 2 1 0 −1 −2 4.17 Esboce o gráfico de y = 2 sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 2 1 0 −1 −2 4.18 Esboce o gráfico de y = cos(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.19 Esboce o gráfico de y = 1 + sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.20 Esboce o gráfico de y = sen(x− pi/4), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.21 Esboce o gráfico de y = sen(x+ pi/4), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.22 Esboce o gráfico de y = sen2(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.23 Esboce o gráfico de y = cos2(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.24 Esboce o gráfico de y = cos(2x) sen(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.25 Esboce o gráfico de y = cos(3x) sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.26 Esboce o gráfico de y = 4 pi sen(x) + 4 3pi sen(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.27 Esboce o gráfico de y = 4 pi sen(x) + 4 3pi sen(3x) + 4 5pi sen(5x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.28 Esboce o gráfico de y = 4 pi sen(x)+ 4 3pi sen(3x)+ 4 5pi sen(5x)+ 4 7pi sen(7x), para 0 ≤ x ≤ 2pi. Resp: x pi 2pi y 1 0 −1 4.29 Determine o período das funções periódicas abaixo. (a) f(x) = sec(x) Resp: 2pi (b) f(x) = cossec(x) Resp: 2pi (c) f(x) = cotg(x) Resp: pi (d) f(x) = sen(x+ 3) Resp: 2pi (e) f(x) = 3 cos(2x− 5) Resp: pi (f) f(x) = −5 sen(10x) Resp: pi/5 4.30 Determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função f : R→ R dada por f(x) = 1 + sen(2x). Resp: O período da função é pi, a imagem é o intervalo[0, 2]. x pi/2 pi y 2 1 0 −1 4.31 Sabendo que sen x = − 5 13 e pi < x < 3pi 2 , determine tg x. Resp: 5/12 4.32 Sabendo que cosx = 2 5 e 0 < x < pi 2 , determine sen x e tg x. Resp: senx = √ 21 5 e tg x = √ 21 2 4.33 Resolva as equações para 0 ≤ x ≤ pi. (a) cos x = −1/2 Resp: x = 2pi/3 (b) cos2 x− sen2 x = √3/2 Resp: x = pi/12 4.34 Utilize que sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± cos(a) sen(b) e cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b) para calcular sen(75°) e cos(75°). Resp: sen(75°) = √ 2+ √ 6 4 e cos(75°) = √ 6− √ 2 4 . 4.35 Mostre as identidades abaixo (a) sen2 x = 1− cos(2x) 2 . (b) sen(x+ y) = 2 sen x+ y 2 cos x+ y 2 . (c) cos4 x− sen4 x = cos(2x). (d) sec x+ 1 secx− 1 = (cossecx+ cotg x) 2. Referências [1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo: McGraw-Hill, 2006. [2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo: McGraw-Hill, 2006. [3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005. [4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005. [5] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003. [6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003. [7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982. [8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982. [9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996. [10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.
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