Buscar

Exercícios de Cálculo I

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Cálculo I
Lista de Exercícios 1
2° semestre de 2014 – Prof. Claudio H. Asano
1 Revisão de Álgebra
1.1 Complete usando a propriedade especificada:
(a) 13 + 32 = (comutativa).
(b) 7 + (6 + 3) = (associativa).
(c) 5 + 0 = (elemento neutro).
(d) 3 + (−3) = (elemento oposto).
(e) 7(3 + 2) = (distributiva).
(f) 23 · 31 = (comutativa).
(g) (12 · 34) · 5 = (associativa).
(h) 7 · 1 = (elemento neutro).
(i) 5 · 1
5
= (elemento inverso).
(j) (9 + 7) · 4 = (distributiva).
1.2 Calcule:
(a) 2 · 3 + 5
Resp: 11
(b) 2 + 3 · 5
Resp: 17
(c) 2 · 1
3
− 3
Resp: −73
(d) 1/2 + 1/3
Resp: 5/6
(e) 1/2− 1/3
Resp: 1/6
(f) 1 + 1/3
Resp: 4/3
(g) 1− 1/3
Resp: 2/3
(h) 1/3− 3
Resp: −8/3
(i) 1/2 · 4− 1
Resp: 1
(j)
2
3
4
5
Resp:
5
6
(k)
2
4
3
· 45
6
Resp: 4/5
(l)
2
4
3
·
4
5
6
Resp: 1/5
(m)
1
2
− 3
4
4
3
+
2
5
Resp: − 15
104
(n)
2
7
− 1
4
5
2
· 3
4
Resp:
2
105
(o) 2
(
5/2 + 2/3)2
Resp: 361/18
(p) (2/3− 1/2)−2
Resp: 36
(q) 3(2
3)
Resp: 6561
(r) (32)3
Resp: 729
1.3 Expanda as expressões abaixo:
(a) a(b+ 2c)
Resp: ab+ 2ac
(b) (b− c)a
Resp: ab− ac
(c) (a+ b)(a− 2b)
Resp: a2 − ab− 2b2
(d) (2a− b)(3a− c)
Resp: 6a2 − 3ab −
2ac+ bc
(e) (x+ y + z)(x+ y)
Resp: x2+2xy+xz+
y2 + yz
(f)
1
a+ b
− 1
Resp:
1− a− b
a+ b
(g) (a− b)2
Resp: a2 − 2ab+ b2
(h) (a− 2b)3
Resp: a3 − 6a2b +
12ab2 − 8b3
(i) (a− b)4
Resp: a4 − 4a3b +
6a2b2 − 4ab3 + b4
(j)
(
a+ 2
a− b
)2
Resp:
a2 + 4a+ 4
a2 − 2ab+ b2
(k) (a+ b)2(a− b)2
Resp: a4 − 2a2b2 + b4
(l) (a+ b)−2 + (a− b)−1
Resp:
a2 + 2ab+ b2 + a− b
a3 + a2b− ab2 − b3
(m) (a+ b+ c)2
Resp: a2 + b2 + c2 +
2ab+ 2ac+ 2bc
1.4 Fatore as expressões abaixo:
(a) a2 − 2a
Resp: a(a− 2)
(b) a2 − 16
Resp: (a+ 4)(a− 4)
(c) a2 + 2a+ 1
Resp: (a+ 1)2
(d) a2 − 6a+ 9
Resp: (a− 3)2
(e) a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
Resp: (a− b)3
(f) a4+4a3+6a2+4a+1
Resp: (a+ 1)4
1.5 A fórmula F = 9C/5 + 32 dá a relação entre a temperatura em graus Fahrenheit F e
graus Celsius C.
(a) Se a temperatura em graus Fahrenheit variou de 69°F a 96°F, qual a correspondente
variação em graus Celsius?
Resp: 15
(b) Se a temperatura em graus Celsius variou de 1°C a 99°C, qual a correspondente
variação em graus Fahrenheit?
Resp: 882/5
1.6 A fórmula A = F (1− ni) dá a relação entre o valor de face F de uma nota promissória,
o valor atual A, o número de meses até o vencimento n e a taxa de juros mensal i.
(a) Se F = 100, n = 2 e i = 7/100, calcule o valor correspondente A.
Resp: A = 86
(b) Se A = 100, n = 2 e i = 7/100, calcule o valor correspondente F .
Resp: F = 5000/43
(c) Se F = 130, A = 100 e n = 2, calcule o valor correspondente i.
Resp: i = 3/26
1.7 Resolva as inequações abaixo:
(a) x+ 2 ≤ 0
Resp: S = {x ∈ R | x ≤ −2}
(b) 3x− 2 ≥ 0
Resp: S = {x ∈ R | x ≥ 2/3}
(c) 2x− 1 > 3(x+ 2)
Resp: S = {x ∈ R | x < −7}
(d) 1− 3x ≤ 4x− 1
Resp: S = {x ∈ R | x ≥ 2/7}
(e)
x
4
− x > x
3
Resp: S = {x ∈ R | x < 0}
(f)
x
2
+
x
3
<
x
5
+ 2
Resp: S = {x ∈ R | x < 60/19}
(g)
x+ 3
2
<
x− 1
2
Resp: S = ∅
(h) (x+ 2)(3x− 2) ≤ 0
Resp: S = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2/3}
(i) (x− 2)(x+ 2) > 0
Resp: S = {x ∈ R | x < −2 ou x >
2}
(j) x2(x+ 1) > 0
Resp: S = {x ∈ R | x 6= 0 e x > −1}
(k) x(x+ 1)(x− 1) < 0
Resp: S = {x ∈ R | x < −1 ou 0 <
x < 1}
1.8 Uma máquina copiadora tem um custo mensal de C = 800, 00 + 0, 02x reais, onde x é o
número de cópias realizadas. Se quisermos vender cópias a R$0,10 cada, obtendo uma
receita R = 0, 10x, qual o número mínimo de cópias que precisamos vender mensalmente
para que tenhamos lucro? Quantas cópias precisamos vender se quisermos um lucro
maior ou igual a R$80,00? Use que o lucro L é dado pela receita R menos o custo C.
Resp: Precisamos vender mais que 10000 cópias para obtermos lucro. Precisamos vender
11000 cópias ou mais para ter um lucro maior ou igual a R$80,00.
1.9 Resolva os sistemas lineares abaixo:
(a) {
x+ y = 7
x− y = 3
Resp: x = 5 e y = 2
(b) {
x+ 2y = 8
2x− y = 1
Resp: x = 2 e y = 3
(c) {
x+ 3y = 7
2x+ y = 4
Resp: x = 1 e y = 2
(d) {
2x+ 3y = 5
3x− 2y = 1
Resp: x = 1 e y = 1
(e) {
2x+ 2y = 10
3x− y = 5
Resp: x = 5/2 e y = 5/2
(f) {
x+ 2y = 1
3x+ 4y = 2
Resp: x = 0 e y = 1/2
(g) 

x+ 2y = 8
2x− y = 1
x− z = 2
Resp: x = 2, y = 3 e z = 0
(h) 

2x+ 2y = 6
3x− y = 1
y − 2z = −4
Resp: x = 1, y = 2 e z = 3
(i) 

x+ y + 2z = 4
2x− y + 3z = 4
3x− y − 2z = 0
Resp: x = 1, y = 1 e z = 1
1.10 Uma gráfica de conveniência vende cópias coloridas e branco e preto. Em um mês, o
custo é de C = 1000, 00+0, 02x+0, 50y reais, onde x é o número de cópias branco e preto
e y é o número de cópias coloridas. Se a gráfica vender as cópias branco e preto a R$0,10
cada e as cópias coloridas a R$1,50 cada obtendo uma receita mensal R = 0, 10x+1, 50y,
determine o número de cópias de cada tipo para que a receita R seja R$1700,00 e o custo
C seja R$1380,00.
Resp: x = 14000 cópias branco e preto e y = 200 cópias coloridas.
1.11 Um comerciante vende camisetas brancas e coloridas com um custo mensal C = 150, 00+
2, 50x + 3, 50y, onde x é o número de camisetas brancas e y é o número de camisetas
coloridas. Ele vende as camisetas brancas a R$4,00 cada e as camisetas coloridas a
R$6,00 cada.
(a) Quantas camisetas brancas e coloridas o comerciante precisa vender em um mês
para que o custo seja de R$575,00 e a receita seja de R$700,00?
Resp: x = 100 e y = 50
(b) Qual o lucro (ou prejuízo) do comerciante se ele vender x = 50 camisetas brancas
e y = 20 camisetas coloridas?
Resp: o prejuízo é de R$25,00.
2 Revisão de Funções
2.1 Determine o domínio de definição de cada uma das funções:
(a) y = 2x2
Resp: R
(b) y = 2x− 1
Resp: R
(c) y =
1
x
Resp: R− {0}
(d) y =
1
x− 3
Resp: R− {3}
(e) y =
x
(x+ 2)(x− 1)
Resp: R− {−2, 1}
(f) y =
2
x(x− 2)
Resp: R− {0, 2}
(g) y = 2
√
x
Resp: {x ∈ R | x ≥ 0}
(h) y =
√
x− 2
Resp: {x ∈ R | x ≥ 2}
(i) y =
1√
x− 2
Resp: {x ∈ R | x > 2}
(j) y =
1
x
√
x+ 3
Resp: {x ∈ R | x > −3 e x 6= 0}
2.2 Quais dos diagramas seguintes representam funções de A em B? Justifique sua resposta.
(a) A B
1 −1
2 1
3 2
3
(b) A B
1 1
2 −1
3 2
4
(c) A B
1 1
2 −1
3 2
4 3
(d) A B
1 1
2 −1
3 2
4 3
(e) A B
1 1
2 −1
3 2
4 3
(f) A B
1 1
2 −1
3 2
4
Resp: Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa a
cada elemento de A um único elemento de B. Assim (a), (c) e (e) são funções e (b), (d) e
(f) não são funções.
2.3 Encontre a função linear y = f(x) cujo gráfico tem interceptos em (0, 8) e (4, 0).
Resp: y = −2x+ 8
2.4 Determine a função linear y = f(x) com gráfico que passa pelos pontos (2, 7) e (5, 22).
Resp: y = 5x− 3
2.5 Calcule a função linear y = f(x) que tem um gráfico que passa pelo ponto (2, 7) e que
tem coeficiente angular 3.
Resp: y = 3x+ 1
2.6 Esboce o gráfico da função indicada.
(a) f(x) = 3x− 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) = −2x+ 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.7 Uma companhia de telecomunicações oferece serviços de telefonia pré-paga e pós-paga.
Para o consumidor, o preço da ligação é de R$0,80 por minuto de ligação no serviço
pré-pago. O preço é de R$0,10 por minuto mais uma taxa fixa de R$30,00 para o plano
pós-pago.
Faça um gráfico do preço em função da quantidade de minutos utilizada em cada plano.
Encontre o ponto de intersecção das retas obtidas e interprete o resultado.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
 0
 5
 10
 15
 20
 25
 30
 35
 40
 45
 50
 0 10 20 30 40 50 60
2.8 Em um determinada rota, uma companhia aérea transporta 8000 passageiros por mês,
cobrando R$280,00 por bilhete. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$1,00 que
se acrecenta ao preço da passagem, a companhia transporta 140 passageiros a menos.
Descreva o número de passageiros y como uma função do preço da passagem x.
Resp: y = 8000− 140(x− 280) = 47200− 140x.
2.9 Encontre a função quadrática y = ax2 + bx + c que tem interceptos em (0, 6), (2, 0) e
(3, 0).
Resp: y = x2 − 5x+ 6
2.10 Encontre a função quadrática y = ax2 + bx + c que tem interceptos em (0, 8), (1, 0) e
(4, 0).
Resp: y = 2x2 − 10x+ 8
2.11 Determine a função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c que passa pelos pontos da tabela
x 0 1 2
f(x) −1 3 11
Resp: f(x) = 2x2 + 2x− 1
2.12 Determine a função quadrática y = ax2 + bx+ c que passa pelos pontos (1, 7), (2, 17) e
(3, 33).
Resp: y = 3x2 + x+ 3
2.13 Esboce o gráfico da função indicada.
(a) f(x) = x2 − 3x+ 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) = −x2 + 2x+ 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.14 Esboce os gráficos das funções indicadas.
(a) f(x) = x2 + 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) = x2 − 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(c) f(x) = (x+ 1)2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(d) f(x) = (x− 1)2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(e) f(x) = (x+ 2)2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(f) f(x) = (x− 2)2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.15 Um objeto é lançado para o alto e sua altura (em metros) é dada em função do tempo
t (segundos) pela função y = −16t2 + 48t + 4. Determine a altura máxima do objeto.
Justifique sua resposta.
Resp: y = 40 metros para t = 1.5 segundos.
2.16 Um projétil foi disparado a partir de uma superfície plana e tem uma trajetória para-
bólica dada pela função y = −3x2 + 21x − 30, onde y é a altura em metros e x é a
posição horizontal a partir de um ponto de referência no solo. Calcule a altura máxima
e a distância horizontal percorrida pelo projétil. Justifique sua resposta.
Resp: A altura máxima é y = 6.75 metros e a distância horizontal percorrida é x = 3
metros.
2.17 Queremos construir uma horta retangular
cercada com 60 metros de cerca aprovei-
tando o muro do vizinho como na figura ao
lado. Encontre as dimensões da horta para
que ela tenha área máxima.
Resp: x = 15 metros e y = 30 metros
muro
x
y
2.18 Um pomar com caquis produz um lucro de R$40,00 por árvore quando for plantado com
1000 árvores. Com o aumento do número de árvores e diminuição de produtividade,
o lucro por árvore diminui em R$0,02 para cada árvore adicional plantada. Quantas
árvores devem ser plantadas para maximizar o lucro total do pomar? Justifique sua
resposta.
Resp: O lucro por árvore é l = 40− 0.02(x− 1000) = 60− 0.02x e o lucro total do pomar
é L = −0.02x2 + 60x. O lucro máximo ocorre para x = 1500 árvores.
2.19 Esboce o gráfico da função indicada.
(a) f(x) = |x+ 1|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) = |x− 1|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(c) f(x) = (x− 1)(x+ 2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(d) f(x) = |(x− 1)(x+ 2)|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(e) f(x) = (x+ 1)(3− x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(f) f(x) = |(x+ 1)(3− x)|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.20 Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) =
{
0 se x < 0
1 se x ≥ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) =
{
x se x < 0
x+ 1 se x ≥ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(c) f(x) =


−1 se x ≤ −1
3x+ 2 se −1 < x < 1
7− 2x se x ≥ 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(d) f(x) =


x+ 7 se x ≤ −2
x2 + 1 se −2 < x < 0
1− 3x se x ≥ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.21 A tabela progressiva para o cálculo anual do imposto de renda de pessoa física para o
exercício de 2010, ano-calendário de 2009, foi a seguinte:
Base de cálculo Alíquota Parcela a deduzir
Até R$17.215,08 Isento –
De R$17.215,09 a R$25.800,00 7,5% R$1.291,13
De R$25.800,01 a R$34.400,40 15% R$3.226,13
De R$34.400,41 a R$42.984,00 12,5% R$5.806,16
Acima de R$42.984,00 27,50% R$7.955,36
(a) Faça um gráfico da alíquota de imposto como função do rendimento anual.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
 0
 5
 10
 15
 20
 25
 30
 0 10000 20000 30000 40000 50000
(b) Faça um gráfico do imposto a pagar como função do rendimento anual.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
 0
 1000
 2000
 3000
 4000
 5000
 6000
 0 10000 20000 30000 40000 50000
3 Revisão de Exponenciais e logaritmos
3.1 Utilize as propriedades da exponencial e do logaritmo para calcular as expressões dadas.
(a) log2(32)
Resp: 5
(b) log5(25)
Resp: 2
(c) log25(5)
Resp: 1/2
(d) log10(1000)
Resp: 3
(e) log10(0.01)
Resp: −2
(f) 3−2+log3 2
Resp: 2/9
(g) log4(2) + log4(32)
Resp: 3
(h) log2(80)− log2(5)
Resp: 4
(i) log 1
2
4
Resp: −2
(j) log√2(
3
√
8 5
√
16)
Resp: 18/5
Dado:
Definição: loga x = y ⇐⇒ ay = x, onde x > 0, a > 0, a 6= 1
Propriedades:
abac = ab+c loga(bc) = loga(b) + loga(c)
ab
ac
= ab−c loga
(
b
c
)
= loga(b)− loga(c)
an = 1 · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n vezes
loga(b
n) = n loga(b)
a
1
n = n
√
a loga(
n
√
b) =
1
n
loga(b)(
ab
)c
= abc loga(b) =
logc(b)
logc(a)
3.2 Determine o valor de x ∈ R nas equações exponenciais dadas.
(a) 3x = 81
Resp: x = 4
(b) 23x+1 =
1
4x
Resp: x = −1/5
(c)
4/x
√
64 = 4
Resp: x = 4/3
(d) 2x+1 + 2x−1 + 2x+2 = 26
Resp: x = 2
3.3 Determine o valor de x ∈ R nas equações logarítmicas dadas.
(a) log4(x) = 2
Resp: x = 16
(b) logx(81) = 2
Resp: x = 9
(c) log(2x2 + 5)− log(−10x− 3) = 0
Resp: x = −1 e x = −4
(d) log3(x+ 2) = 3 + log3(3x− 1)
Resp: x = 29/80
3.4 Utilize uma calculadora para resolver as equações abaixo.
(a) 2x = 10
Resp: x = log2(10) =
log(10)
log(2) ≈
3.321928095
(b) (1.3)x = 2
Resp: x = log1.3(2) ≈ 2.641926796
(c) (1.02)x = 3
Resp: x = log1.02(3) ≈ 55.478107639
(d) log3
(
x
2
)
= 1.75
Resp: x = 13.677042342
3.5 Esboce o gráfico da função exponencial dada.
(a) f(x) = 3x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
 0
 2
 4
 6
 8
 10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b) f(x) = 2−x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
 0
 2
 4
 6
 810
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.6 Esboce o gráfico da função logaritmo dada.
(a) f(x) = log3(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 0 20 40 60 80 100
(b) f(x) = log10(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 0 5 10 15 20 25
3.7 Esboce o gráfico das funções f(x) = 2x e g(x) = log2(x) no mesmo gráfico.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Resp:
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.8 Se investirmos um capital C a juros compostos por n meses a uma taxa de juros i ao
mês, obteremos o montante M = C(1 + i)n.
(a) Se C = 100, i = 0.01 e n = 12, calcule M .
Resp: M ≈ 112.68
(b) Se M = 110, i = 0.01 e n = 12, calcule C.
Resp: C ≈ 97.62
(c) Se M = 110, C = 100, n = 12, calcule i.
Resp: i ≈ 0.007974 ou 0.7974%
(d) Se M = 110, C = 100, i = 0.01, calcule n.
Resp: n ≈ 9.6
3.9 Quanto tempo um capital C deve ser aplicado a uma taxa de juros de 0.5% ao mês para
que ele dobre de valor? Dado: M = C(1 + i)n.
Resp: Para um capital C dobrar de valor devemos ter um fator de capitalização igual a
2. Como i = 0.005 e o fator de capitalização depois de n meses é (1 + i)n, nós resolvemos
a equação
(1 + i)n = 2
1.005n = 2
log(1.005n) = log 2
n log(1.005) = log 2
n =
log 2
log(1.005)
n ≈ 138.976
Assim, para dobrar de valor, um capital C deve ser aplicado por 139 meses a uma taxa de
0.5% ao mês.
3.10 A massa de um material radioativo em função do tempo é dada pela função y = 10e−2x.
Determine o valor de x para que y = 5. Forneça a resposta exata junto com sua respectiva
aproximação com 2 casas decimais.
Resp: x = −12 ln
(
1
2
) ≃ 0.3466
3.11 A massa y de um determinado material radioativo é dada em função do tempo x por
uma função exponencial do tipo y = aebx. Sabendo-se que para x = 0 temos y = 100 e
que para x = 2 temos y = 25, determine a e b. Forneça a resposta exata junto com sua
respectiva aproximação com 2 casas decimais.
Resp: a = 100 e b = ln 12 ≃ −0.69
3.12 A carga y de um capacitor é dada em função do tempo x por uma função do tipo
y = 500 − ae−bx. Sabendo-se que quando x = 0 temos y = 0 e que quando x = 1
temos y = 300, determine a e b. Forneça a resposta exata junto com sua respectiva
aproximação com 2 casas decimais.
Resp: a = 500 e b = − ln 25 = ln 52 ≃ 0.92
4 Revisão de Trigonometria
4.1 Medida de ângulos: Um ângulo de 1 minuto (1’) corresponde a 1/60 de um grau. Um
ângulo de 1 segundo (1”) corresponde a 1/60 de 1 minuto. Simplifique as medidas abaixo.
(a) 61′′
Resp: 1′1′′
(b) 200′
Resp: 3°20′
(c) 3500′′
Resp: 58′20′′
(d) 25°65′70′′
Resp: 26°6′10′′
(e) 45°59′62′′
Resp: 46°0′2′′
(f) 59°123′75′′
Resp: 61°4′15′′
4.2 Efetue as operações a seguir:
(a) 45°59′2′′ + 5°5′47′′
Resp: 51°4′49′′
(b) 32°43′2′′ + 65°55′55′′
Resp: 98°38′57′′
(c) 21°02′5′′ − 6°10′36′′
Resp: 14°51′29′′
(d) 5°39′22′′ − 1°54′46′′
Resp: 3°44′36′′
(e) 2× 3°21′26′′
Resp: 6°42′52′′
(f) 5× 3°45′6′′
Resp: 18°45′30′′
(g) 2°14′52′′ : 2
Resp: 1°07′26′′
(h) 6°43′24′′ : 3
Resp: 2°14′28′′
4.3 Exprima os ângulos abaixo em radianos:
(a) 150°
Resp: 5pi/6 rad
(b) 15°
Resp: pi/12 rad
(c) 36°
Resp: pi/5 rad
(d) 120°
Resp: 2pi/3 rad
(e) 60°
Resp: pi/3 rad
(f) 210°
Resp: 7pi/6 rad
4.4 Converta os ângulos abaixo em graus:
(a) 3pi/2.
Resp: 270°
(b) 3pi/4.
Resp: 135°
(c) 5pi/3.
Resp: 300°
(d) pi/3.
Resp: 60°
(e) 7pi/2.
Resp: 630°
(f) pi/6.
Resp: 30°
4.5 No triângulo ao lado, calcule o lado b.
Resp: b = 8
.
6
10
b
4.6 Na figura ao lado, determine os lados a e b.
Resp: a = 2
√
3 e b = 2
.30°
a
4
b
4.7 Calcule a e c no triângulo da figura.
Resp: a = 5
√
3 e c = 10
.
60°
a
c
5
4.8 No triângulo da figura ao lado, temos a = 4
e b = 5. Calcule c e em seguida calcule sen θ
e cos θ.
Resp: c =
√
41, sen θ = 5√
41
e cos θ = 4√
41
.θ
a
c
b
4.9 Sabendo-se que sen θ = 1
3
, utilize a identidade fundamental para calcular cos θ.
Resp: cos θ = 2
√
2
3
4.10 Para cada função f abaixo, calcule f(pi/2) e f(pi):
(a) f(x) = sen(2x).
Resp: f(pi/2) = 0 e f(pi) = 0.
(b) f(x) = cos(x/3).
Resp: f(pi/2) =
√
3/2 e f(pi) = 1/2.
(c) f(x) = cos(2x/3)− sen(4x/3).
Resp: f(pi/2) = 1−
√
3
2 e f(pi) = −1−
√
3
2 .
(d) f(x) = sen2(x/2) + cos2(x/2).
Resp: f(pi/2) = 1 e f(pi) = 1.
4.11 Seja f(x) = sen(3x) + 2 cos(x)− 2 sen(2x). Calcule f(pi/2).
Resp: f(pi/2) = sen(3pi/2) + 2 cos(pi/2)− 2 sen(pi) = −1 + 0− 0 = −1
4.12 Seja f(x) = sen(2x) + cos(4x)− 2 sen(4x). Calcule f(pi/2), f(pi/3) e f(pi/6).
Resp: f(pi/2) = 1, f(pi/3) = 3
√
3−1
2 e f(pi/6) =
−1−
√
3
2 .
4.13 Esboce o gráfico de y = sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.14 Esboce o gráfico de y = cos(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.15 Esboce o gráfico de y = sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.16 Esboce o gráfico de y = 2 sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
2
1
0
−1
−2
4.17 Esboce o gráfico de y = 2 sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
2
1
0
−1
−2
4.18 Esboce o gráfico de y = cos(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.19 Esboce o gráfico de y = 1 + sen(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.20 Esboce o gráfico de y = sen(x− pi/4), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.21 Esboce o gráfico de y = sen(x+ pi/4), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.22 Esboce o gráfico de y = sen2(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.23 Esboce o gráfico de y = cos2(x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.24 Esboce o gráfico de y = cos(2x) sen(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.25 Esboce o gráfico de y = cos(3x) sen(2x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.26 Esboce o gráfico de y = 4
pi
sen(x) + 4
3pi
sen(3x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.27 Esboce o gráfico de y = 4
pi
sen(x) + 4
3pi
sen(3x) + 4
5pi
sen(5x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.28 Esboce o gráfico de y = 4
pi
sen(x)+ 4
3pi
sen(3x)+ 4
5pi
sen(5x)+ 4
7pi
sen(7x), para 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resp:
x
pi 2pi
y
1
0
−1
4.29 Determine o período das funções periódicas abaixo.
(a) f(x) = sec(x)
Resp: 2pi
(b) f(x) = cossec(x)
Resp: 2pi
(c) f(x) = cotg(x)
Resp: pi
(d) f(x) = sen(x+ 3)
Resp: 2pi
(e) f(x) = 3 cos(2x− 5)
Resp: pi
(f) f(x) = −5 sen(10x)
Resp: pi/5
4.30 Determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função
f : R→ R dada por f(x) = 1 + sen(2x).
Resp: O período da função é pi, a imagem é o intervalo[0, 2].
x
pi/2 pi
y
2
1
0
−1
4.31 Sabendo que sen x = − 5
13
e pi < x <
3pi
2
, determine tg x.
Resp: 5/12
4.32 Sabendo que cosx =
2
5
e 0 < x <
pi
2
, determine sen x e tg x.
Resp: senx =
√
21
5 e tg x =
√
21
2
4.33 Resolva as equações para 0 ≤ x ≤ pi.
(a) cos x = −1/2
Resp: x = 2pi/3
(b) cos2 x− sen2 x = √3/2
Resp: x = pi/12
4.34 Utilize que sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± cos(a) sen(b) e cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓
sen(a) sen(b) para calcular sen(75°) e cos(75°).
Resp: sen(75°) =
√
2+
√
6
4 e cos(75°) =
√
6−
√
2
4 .
4.35 Mostre as identidades abaixo
(a) sen2 x =
1− cos(2x)
2
.
(b) sen(x+ y) = 2 sen
x+ y
2
cos
x+ y
2
.
(c) cos4 x− sen4 x = cos(2x).
(d)
sec x+ 1
secx− 1 = (cossecx+ cotg x)
2.
Referências
[1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[5] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982.
[8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982.
[9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996.
[10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.

Outros materiais