Simulado Matematica 4

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SIMULADO DE MATEMÁTICA IME-04 
Professor Marcos José Pio 
 
01)(IME-88) Para que valores de x a função 
2ln
1
ln||)( 4 xxxf x ⋅= assume o valor de 41e . 
Obs. ln denota logaritmo neperiano. 
 
02)(IME-88) Calcule o lado c de um triângulo 
ABC , em função de sua área S, do ângulo C e de 
cbak −+= . 
 
03)(IME-88) Mostre que se: 
a) 40312210)( xaxaxaxaaxp ++++= , então 
existe um polinômio )(xg do 2º grau, tal que 
)()( 12 −+= xxgxxp . 
b) Determine todas as raízes do polinômio 
432 4541)( xxxxxp ++++= . 
 
04)(IME-88) Seja o semicírculo de diâmetro 
RAB 2= e r sua tangente em A . Liga-se um 
ponto P da reta r ao ponto B , interceptando o 
semicírculo no ponto C . 
a) Demonstre que o produto PCPB ⋅ é constante. 
b) Determine o lugar geométrico do ponto médio de 
AC , quando P desloca-se sobre a tangente. 
c) Seja 
2
PBAP = , calcule a área da porção do 
triângulo PAB , situada no exterior do semicírculo. 
 
05)(IME-88) Considere os seguintes conjuntos de 
números complexos: 
0)Im(,1||/{ >=∈= zzxA C e 
}0)Im(,1)Re(/{ >=∈= zzxB C 
onde )Re(z e )Im(z são as partes real e imaginária 
do número complexo z , respectivamente. 
a) Mostre que para cada AZ ∈ , o número 
1
2
+z
z
 
pertence a B . 
b) Mostre que para cada B∈ω pode ser escrito da 
forma 
1
2
+z
z
 para algum Az ∈ . 
 
06)(IME-84) Determine os ângulos de um triângulo, 
dado o perímetro p2 , o lado a e a altura 
correspondente ao lado a , ah 
07) Sendo D , E e F os pontos de contato dos lados 
de um triângulo ABC com o círculo inscrito, 
demonstrar que a razão entre as áreas dos triângulos DEF e 
ABC é dado por: 
2
sen
2
sen
2
sen2 CBA
S
S
ABC
DEF
⋅⋅⋅= 
 
08) Determinar o produto da multiplicação abaixo: 






 +
+





 +
+


 

 +
+

 

 +
+
n
iiii
222
2
11
2
11
2
11
2
11
2
�
 
09) Determinar as raízes 321 ,, rrr e 4r da equação 
054 234 =+−+− cxbxaxx sabendo que são raízes 
positivas e que 1
8542
4321
=+++
rrrr
. 
 
10) Seja P um ponto no interior de um triângulo eqüilátero 
ABC tal que 5=PA , 7=PB e 8=PC . Determine o 
comprimento do lado do triângulo ABC . 
 
11) Determine todos os termos de números inteiros ),,( cba 
tais que: 



=⋅⋅
=++
=++
440
210
24
222
cba
cba
cba
 
 
12) Se r , s e t são raízes da equação 2)73)(2( =−− xxx 
a) demonstre que r , s e t são positivas; 
b) calcule tsr arctanarctanarctan ++ ; 
OBS: xarctan denota o arco compreendido entre 0 e pi cuja 
tangente é x . 
 
13) As medidas dos ângulos de um triângulo estão em 
progressão aritmética e os comprimentos das alturas do 
mesmo triângulo também estão em progressão aritmética. 
Demonstre que o triângulo é eqüilátero. 
 
14) As cem raízes do polinômio 
01
98
98
99100 600)( axaxaxxxP ++++−= � são reais, 
e 1)7( >P . 
Demonstre que )7(P tem alguma raiz maior que 7. 
 
15) A circunferência inscrita no triângulo ABC é tangente 
aos lados AC e BC nos pontos M e N , respectivamente. 
As bissetrizes dos ângulos A e B interceptam MN nos 
pontos P e Q , respectivamente. Seja O o incentro do 
triângulo ABC . Provar que: OQBCOAMP ⋅=⋅ .