exercicios de geometria plana Lista 1

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Disciplina: Matemática
Assunto: Geometria Plana
Professor: Marco Antônio
Turmas: Militares
Nível 1
01 Dois círculos tangentes entre si tem raios R e r, sendo R>r . As tangentes exteriores a esses dois círculos formam um ângulo 2. Exprimir R em função de r e da tangente de /2.
02 – Demonstrar que um triângulo 
 no qual os ângulos 
 e 
 verificam a relação: 
,
é um triângulo retângulo ou isósceles.
03 – Seja um círculo de centro O e raio R igual a (4a). Por um ponto A sobre O um diâmetro DE, tal que AO igual a (3a), traça-se uma corda BAC fazendo com AO um ângulo de 60º (OAB = 60º). Calcular os segmentos AB e AC (AB>AC).
04 – Provar que os pontos médios das bases e das diagonais de um trapézio qualquer são vértices de um paralelogramo.
05 – Demonstrar que num polígono convexo não se pode ter mais de três ângulos agudos.
06 – Da extremidade de um triângulo AB traça-se a tangente BX. De um ponto D desta tangente traça-se a segunda tangente DE, e a seguir AE até encontrar BX no ponto C. Provar que BD e DC são iguais.
07 – Prove que se A, B, C e D são vértices sucessivos de um contorno poligonal regular, então: AC2-AB2=AB x AD.
08 – Dado que o perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p, demonstre que nesse triângulo, a altura relativa a hipotenusa é p(
).
09 – Mostre que num losango 
, se a soma das medidas dos ângulos obtusos é o triplo da soma dos ângulos agudos então para sua diagonal menor que vale
, sua aresta medirá:
10 – Mostre que nas circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo eqüilátero de lado 
 a área da coroa circular formada por estas circunferências é dada por: 
.
11 – Mostre que a área de um hexágono convexo ABCDEF inscrito em um círculo de raio R onde AC
BE, CE
AD, EA
CF, A= e B = e 4R2sen(/2)=sen(180-).sem(-/2).
12 – Calcule o perímetro do hexágono eqüiângulo com lados 10, 6, 12, 14, x e y nesta ordem.
13 – O círculo de centro O, inscrito no triângulo ABC é cortado pela mediana AD nos pontos x e y. Sabendo que AC=AB + AD, determine a media do ângulo XOY.
Nível 2
(IME-66) Determinar a bissetriz do ângulo maior de um triângulo cujo perímetro é 38m e cujos lados são proporcionais a 4, 6 e 9.
(IME-66) Em um círculo de 
cm de diâmetro temos duas cordas de 2cm e 10cm. Achar a corda do arco soma dos arcos das cordas anteriores.
(IME – 67) A figura mostra o octógono regular mnpqrstu, e um quadrado construído tendo como base o lado MN. Sabendo-se que a distância entre o centro do círculo circunscrito no octógono e o ponto de interseção das diagonais do quadrado é a calcule o lado do quadrado em função de a .
(IME – 65) Divida a área de um círculo de raio R em n partes equivalentes, por meio de circunferências concêntricas de raios r1, r 2, r 3, r (n-1), estabelecer o valor de r​i em função de R , n e i.
(IME – 88) Numa circunferência de centro O e diâmetro AB=2R prolonga-se o diâmetro BA até (m) tal que BM=R, traça-se uma secante MNS tal que MN=NS, onde N e S são pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS.
(IME-85) Demonstre que a diferença entre o quadrado de dois lados de um triângulo é igual ao dobro do produto do terceiro lado pela projeção, sobre ele, da mediana correspondente.
(IME-87) Se
 e 
 são ângulos de um triângulo qualquer, prove que: 
.
(IME-87) Seja o semi-círculo de diâmetro AB=2R e r sua tangente em A. Liga-se um ponto P da reta r ao ponto B, interceptando o semi círculo no ponto C. Demonstre que o produto PB.BC é constante.
(IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º. Demonstre que a soma dos quadrados dos segmentos aditivos “m” e “n” em que a corda fica dividida, é igual ao dobro do quadrado do círculo.
(IME-68) Em um quadrilátero qualquer ABCD, P é o ponto médio de AD e M é o ponto médio de BC. Unindo-se P a C e M a A, obtém-se o quadrilátero APCM. Sendo a área de ABCD=18m², calcule a área de APCM.
(IME-87) Dado um círculo de raio R e centro O, constrói-se 3 círculos de raio r, tangentes dois a dois, nos pontos E, F e G e tangentes interiormente ao círculo dado. Determinar em função de R, o raio destes círculos e a área da superfície AFG, compreendida entre os três círculos e limitada pelos arcos Eg, GF e FE.
(IME-76) Traçam-se dois círculos de raio r e centros O e O’ (OO’ = r) que se cortam em I e J. Com centro em I e raio 2R traça-se um arco de círculo que tangencia (O) em A e (O’) em A’. Com centro em J e raio 2r traça-se um arco de círculo que tangencia (O) em B e (O’) em B’. Em (O) o diâmetro OO’ tem a outra extremidade em C; em O’ o diâmetro OO’ em outra extremidade em C’. Os arcos AA’, A’B’C’, BB’ e BCA formam uma oval com quatro centros. Pede-se a área desta oval.
Nível 3
Os problemas a seguir foram retirados de vários exames olímpicos na condição de problemas de treinamento para as equipes nacionais ou simplesmente formulados por equipes examinadoras com o propósito de montar provas com estes desafios.
Problemas cuja solução são verdadeiras provas de genialidade.
(Torneio de matemática recreativa do M.I.T.) Determine uma simples fração contínua de F10n+1/F10n onde Fk é o k-ésimo número de Fibonacci.
(Exame de qualificação da Olimpíada Municipal de Garches, França) Seja 
 um triângulo, 
 seu ortocentro e 
 seu incentro. Se 
 é um ponto tal que 
 e 
, mostre que 
 e 
 não estão no interior do círculo com centro em 
 e raio 
.
(Proposto por Fu-Chem Chang no exame da Nacional Sun Yat-Sem, Taiwan) Prove que se: 
 é um polinômio com coeficientes reais e 
. Suponha que as raízes deste polinômio são menores que 1. Prove que:
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