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Cálculo Diferencial E Integral (11)

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I
J
.
QuestãoA2) (Valor:2.0)Despeja-seágua,a umataxanãoconstante,emumrecipienteemforma
deumtroncodecone.Osraiossuperioreinferiordorecipientesão4cme 2cm,respectivamente,ea
alturadorecipienteé 6cm.Determineataxadevariaçãodoníveldeágua(dentrodorecipiente)no
instanteemqueaprofundidadedaágua(dentrodorecipiente)éde 3cm,sabendoquenesseinstante
a águaédespejadaa umataxade20cm3/s.(Sugestão:estendao recipienteparabaixoparaformar
umcone.)
,
I
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020 = {- ,q~ R'lt.) =b 1-R1(t.')--
QuestãoB2) (Valor:2.0)Despeja-seágua,aumataxanãoconstante,emumrecipienteemforma
deumtroncodecone.Osraiossuperioreinferiordorecipientesão6cme 3cm,respectivamente,ea
alturadorecipienteé 9cm.Determinea taxadevariaçãodoníveldeágua(dentrodorecipiente)no
instanteemquea profundidadedaágua(dentrodorecipiente)éde 3cm,sabendoquenesseinstante
a águaédespejadaa umataxade25cm3/s.(Sugestão:estendao recipienteparabaixoparaformar
umcone.)
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QuestãoB3) (Valor:3.0)Calcule,casoexista,
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(a) 11m
(1)X-++00 sen(x5) - 2x4 cos "X
(c) lim 3x- V4x2+5x
x-+1 (x - 1)2
(b) lim (xvi4x2+ 1 +2X2)x-+ -00
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Questa˜o A4) Sejam f(x) =
(3x− 1) cos(x3 − 2x)
4
√
x2 + 1
, para x ∈ IR ;
g(x) = | tg(5x3) | e h(x) = g(x) + 3x+ 2 , para x ∈
]
− 3
√
pi
10
, 3
√
pi
10
[
.
(1.5) (a) Calcule f ′(x) , para todo x ∈ IR.
(1.0) (b) A func¸a˜o g e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule g′(0).
(0.5) (c) A func¸a˜o k(x) = f(x)h(x) e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule k′(0) .
(a) Sejam f1(x) = (3x− 1) cos(x3 − 2x) e f2(x) = 4
√
x2 + 1 = (x2 + 1)1/4 . Enta˜o
f ′(x) =
f ′1(x)f2(x)− f1(x)f ′2(x)
[f2(x)]2
, onde f ′1(x) = 3 cos(x3 − 2x) + (3x− 1)
(
− sen(x3 − 2x)
)
(3x2 − 2) ;
f ′2(x) =
1
4
(x2 + 1)−3/42x =
x
4
√
(x2 + 1)3 2
. Portanto
f ′(x) =
[
3 cos(x3 − 2x) + (3x− 1)
(
− sen(x3 − 2x)
)
(3x2 − 2)
]
4
√
x2 + 1− (3x− 1) cos(x3 − 2x)
[
x
4
√
(x2+1)3 2
]
[
4
√
x2 + 1
]2
(b) Como a func¸a˜o mo´dulo na˜o e´ deriva´vel em tg(5(x0)3) = 0, na˜o podemos usar as regras de derivac¸a˜o.
Logo, precisamos usar a definic¸a˜o de derivada, isto e´, calcular lim
x→0
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0
|tg(5x3)|
x
. Notemos
que tg(5x3) > 0 em ]0, 3
√
pi
10 [ e tg(5x
3) < 0 em ] − 3
√
pi
10 , 0 [. Dessa forma, para calcular o referido limite
temos que calcular os limites laterais. Calculando esses limites temos:
lim
x→0+
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0+
|tg(5x3)|
x
= lim
x→0+
tg(5x3)
x
= lim
x→0+
sen(5x3)
cos(5x3)x
= lim
x→0+
[
sen(5x3)
5x3
5x2
cos(5x3)
]
;
lim
x→0−
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0−
|tg(5x3)|
x
= lim
x→0−
−tg(5x3)
x
= lim
x→0−
−sen(5x3)
cos(5x3)x
= lim
x→0−
[
sen(5x3)
5x3
5x2
cos(5x3)
(−1)
]
.
De lim
x→0
5x2
cos(5x3)
=
0
1
= 0 e lim
x→0
sen(5x3)
5x3
= lim
u→0
senu
u
= 1
(
pois, lim
x→0(5x
3) = 0 e 5x3 6= 0 para
x ∈
]
− 3
√
pi
10 ,
3
√
pi
10
[
\ {0}
)
conclu´ımos que
lim
x→0+
5x2
cos(5x3)
= lim
x→0−
5x2
cos(5x3)
= lim
x→0
5x2
cos(5x3)
= 0 ; lim
x→0+
sen(5x3)
5x3
= lim
x→0−
sen(5x3)
5x3
= lim
x→0
sen(5x3)
5x3
= 1 .
Logo lim
x→0+
[
sen(5x3)
5x3
5x2
cos(5x3)
]
= 1 .0 = 0 e lim
x→0−
[
sen(5x3)
5x3
5x2
cos(5x3)
(−1)
]
= 1 .0 .(−1) = 0, ou seja
lim
x→0+
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0−
g(x)− g(0)
x− 0 = 0 . Portanto g e´ deriva´vel em x0 = 0 e g
′(0) = lim
x→0
g(x)− g(0)
x− 0 = 0 .
(c) Como g e´ deriva´vel em x0 = 0 temos que h e´ deriva´vel em x0 = 0. Assim, a func¸a˜o k e´ produto
de func¸o˜es deriva´veis em x0 = 0. Logo, k e´ deriva´vel em x0 = 0 e k′(0) = f ′(0)h(0) + f(0)h′(0). Dos
itens anteriores temos que f(0) = −1, f ′(0) = 3, h(0) = g(0) + 2 = 2 e h′(0) = g′(0) + 3 = 3. Portanto
k′(0) = 3 . 2 + (−1) . 3 = 6− 3 = 3 .
Questa˜o B4) Sejam f(x) =
(2x− 1) cos(x3 − 4x)
4
√
x2 + 1
, para x ∈ IR ;
g(x) = | tg(4x3) | e h(x) = g(x) + 5x+ 3 , para x ∈
]
− 3
√
pi
8
, 3
√
pi
8
[
.
(1.5) (a) Calcule f ′(x) , para todo x ∈ IR.
(1.0) (b) A func¸a˜o g e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule g′(0).
(0.5) (c) A func¸a˜o k(x) = f(x)h(x) e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule k′(0).
(a) Sejam f1(x) = (2x− 1) cos(x3 − 4x) e f2(x) = 4
√
x2 + 1 = (x2 + 1)1/4 . Enta˜o
f ′(x) =
f ′1(x)f2(x)− f1(x)f ′2(x)
[f2(x)]2
, onde f ′1(x) = 2 cos(x3 − 4x) + (2x− 1)
(
− sen(x3 − 4x)
)
(3x2 − 4) ;
f ′2(x) =
1
4
(x2 + 1)−3/42x =
x
4
√
(x2 + 1)3 2
. Portanto
f ′(x) =
[
2 cos(x3 − 4x) + (2x− 1)
(
− sen(x3 − 4x)
)
(3x2 − 4)
]
4
√
x2 + 1− (2x− 1) cos(x3 − 4x)
[
x
4
√
(x2+1)3 2
]
[
4
√
x2 + 1
]2
(b) Como a func¸a˜o mo´dulo na˜o e´ deriva´vel em tg(4(x0)3) = 0, na˜o podemos usar as regras de derivac¸a˜o.
Logo, precisamos usar a definic¸a˜o de derivada, isto e´, calcular lim
x→0
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0
|tg(4x3)|
x
. Notemos
que tg(4x3) > 0 em ]0, 3
√
pi
8 [ e tg(4x
3) < 0 em ]− 3
√
pi
8 , 0 [. Dessa forma, para calcular o referido limite temos
que calcular os limites laterais. Calculando esses limites temos:
lim
x→0+
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0+
|tg(4x3)|
x
= lim
x→0+
tg(4x3)
x
= lim
x→0+
sen(4x3)
cos(4x3)x
= lim
x→0+
[
sen(4x3)
4x3
4x2
cos(4x3)
]
;
lim
x→0−
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0−
|tg(4x3)|
x
= lim
x→0−
−tg(4x3)
x
= lim
x→0−
−sen(4x3)
cos(4x3)x
= lim
x→0−
[
sen(4x3)
4x3
4x2
cos(4x3)
(−1)
]
.
De lim
x→0
4x2
cos(4x3)
=
0
1
= 0 e lim
x→0
sen(4x3)
4x3
= lim
u→0
senu
u
= 1
(
pois, lim
x→0(4x
3) = 0 e 4x3 6= 0 para
x ∈
]
− 3
√
pi
8 ,
3
√
pi
8
[
\ {0}
)
conclu´ımos que
lim
x→0+
4x2
cos(4x3)
= lim
x→0−
4x2
cos(4x3)
= lim
x→0
4x2
cos(4x3)
= 0 ; lim
x→0+
sen(4x3)
4x3
= lim
x→0−
sen(4x3)
4x3
= lim
x→0
sen(4x3)
4x3
= 1 .
Logo lim
x→0+
[
sen(4x3)
4x3
4x2
cos(4x3)
]
= 1 .0 = 0 e lim
x→0−
[
sen(4x3)
4x3
4x2
cos(4x3)
(−1)
]
= 1 .0 .(−1) = 0, ou seja
lim
x→0+
g(x)− g(0)
x− 0 = limx→0−
g(x)− g(0)
x− 0 = 0 . Portanto g e´ deriva´vel em x0 = 0 e g
′(0) = lim
x→0
g(x)− g(0)
x− x0 = 0 .
(c) Como g e´ deriva´vel em x0 = 0 temos que h e´ deriva´vel em x0 = 0. Assim, a func¸a˜o k e´ produto
de func¸o˜es deriva´veis em x0 = 0. Logo, k e´ deriva´vel em x0 = 0 e k′(0) = f ′(0)h(0) + f(0)h′(0). Dos
itens anteriores temos que f(0) = −1, f ′(0) = 2, h(0) = g(0) + 3 = 3 e h′(0) = g′(0) + 5 = 5. Portanto
k′(0) = 2 . 3 + (−1) . 5 = 6− 5 = 1 .
MAT 2453 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I
1°semestrede2007- lUPROVA - 10/04/2007
TURMA:
Nome
Assinatura
NúmeroUSP Professor:
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Nesta prova, não se pode usar a Regra de L'Hospital
,
QuestãoAI) (Valor:2.0)Dentreasretasquesão,simultaneamente,tangentesaográficodafunção
f (x)=x3+3x2+3x+5 eparalelasàretay=3x+1, determine,casoexistam,aquelasquepassam
peloponto(-1,6).
flx.) ~ ;C -\:3 -i!;+ 3?\. +-5
(h,'): 't ~ 37L -\- .i-
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Questão Nota
1
2
3
4
A-Total
f r (-4,''>'7-
· (-I \ (:') 4:- t ) F =--1
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MAT 2453- Cálculo Diferenciale Integral para EngenhariaI
1Q semestrede2007- 1aPROVA - 10/04/2007
TURMA:
Nome
Assinatura
NúmeroUSP Professor:
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Nesta Drova.não se pode usar a Regra de L'Hospital
,
-
QuestãoBl) (Valor:2.0)Dentreasretasquesão,simultaneamente,tangentesaográficodafunção
f (x)=x3+3x2+4x+8 eparalelasàretay= 4x+1, determine,casoexistam,aquelasquepassam
peloponto(-1,8). .
fL"A..) = 3x..~+(.,Á-+4
CJI.-'): ~ -::- Lt /L + i
t: JU/b- ~ eM)G~f lt): tA -- fC~)~f)C~)(À-~
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49:> 3 (~ +21-0') ~O ~ ~ ~ O ~ "tv~ --g
~tCV\A.~ f(O) = ~ ~ f (-02) = 4-
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MA:L ~ck ti =t> C1 ~ Lf
~~~1z-:9) ~=~
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Questão Nota
1
2
3
4
B-Total

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