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I J . QuestãoA2) (Valor:2.0)Despeja-seágua,a umataxanãoconstante,emumrecipienteemforma deumtroncodecone.Osraiossuperioreinferiordorecipientesão4cme 2cm,respectivamente,ea alturadorecipienteé 6cm.Determineataxadevariaçãodoníveldeágua(dentrodorecipiente)no instanteemqueaprofundidadedaágua(dentrodorecipiente)éde 3cm,sabendoquenesseinstante a águaédespejadaa umataxade20cm3/s.(Sugestão:estendao recipienteparabaixoparaformar umcone.) , I I ~C-c) 1(=6L.~ !..~l-t)i : . -- -I- - - - -I ...I.r E- ~/p , 12., I I , X- " - - - __o A )L::::'b =t>h,(~)==:i-['+-A(t)] :3A AbG rv A. AF'G ~ -;::. ,,+'X.. _~ 2.. ;X >t,(~)== ~+~I(-t) ;O Co ~~ M ~~ ~) V(t)~JJí~lt)[(,+~(t)]--l1í.iL., \,W '~Cc t \ 3 3 Vl-tl =+1f l * eCo + e.c-tj1;)-~~. \j) (1/') = -.L IÍ. 1- .~[ G 4- RCt)Jc? r/(-t)~ ~ ~~ to / R(-t.') =:3 L \j)(t;,') = 020__o 020 = {- ,q~ R'lt.) =b 1-R1(t.')-- QuestãoB2) (Valor:2.0)Despeja-seágua,aumataxanãoconstante,emumrecipienteemforma deumtroncodecone.Osraiossuperioreinferiordorecipientesão6cme 3cm,respectivamente,ea alturadorecipienteé 9cm.Determinea taxadevariaçãodoníveldeágua(dentrodorecipiente)no instanteemquea profundidadedaágua(dentrodorecipiente)éde 3cm,sabendoquenesseinstante a águaédespejadaa umataxade25cm3/s.(Sugestão:estendao recipienteparabaixoparaformar umcone.) G 1 f1,l-t'J I r \..-- q , ~ABC- f\J f1Att =t> ~ =- ~+À. =t>)L =- q 5 X-- - C\+ ~\(1:,1.=V C1 ~~ elo ~~ ~cLo) V(~=11\l>3tf)[C\+~(t)J-i1\'.3~9 NvO .~~ 1::) 3 3 ~li/) =-J.11' [~ (<1+ V-lt)] ~- .2:tJ .~ q ~I(-t) ~ .1'\í. 1.. -3 lC\ -\- M-t;')]o( R? (-t) r-3 C1 ~tc to j Rlto)::3 c25= ~11.LQ~~Cto') ~ C) - &- ;L 1.) - 3 ~~-r J Dfl....,.-I~'). QuestãoB3) (Valor:3.0)Calcule,casoexista, . x5sen(~)+xcos(x) (a) 11m (1)X-++00 sen(x5) - 2x4 cos "X (c) lim 3x- V4x2+5x x-+1 (x - 1)2 (b) lim (xvi4x2+ 1 +2X2)x-+ -00 ~L ~-, -=- LIW\ ;ê.. 'X..., folQ ,Â.tN\ %:6 .;x..."'4 ~5A-W\k +-:c. CA1">;:C I ~;t~ -,2;t.'" úJ>.l.-<.. (-fr)j~ (x-Jitx~-I-I ~-')- Q) + 2:o!1..)= l' -:;C..<:.O ::::::Á~ '4/x.4- 4~~-.:z.~- -- ,--:-lj ~-I / + L %3 I ()-....----:=--- Jj .L O- 2.. ;(.. Questa˜o A4) Sejam f(x) = (3x− 1) cos(x3 − 2x) 4 √ x2 + 1 , para x ∈ IR ; g(x) = | tg(5x3) | e h(x) = g(x) + 3x+ 2 , para x ∈ ] − 3 √ pi 10 , 3 √ pi 10 [ . (1.5) (a) Calcule f ′(x) , para todo x ∈ IR. (1.0) (b) A func¸a˜o g e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule g′(0). (0.5) (c) A func¸a˜o k(x) = f(x)h(x) e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule k′(0) . (a) Sejam f1(x) = (3x− 1) cos(x3 − 2x) e f2(x) = 4 √ x2 + 1 = (x2 + 1)1/4 . Enta˜o f ′(x) = f ′1(x)f2(x)− f1(x)f ′2(x) [f2(x)]2 , onde f ′1(x) = 3 cos(x3 − 2x) + (3x− 1) ( − sen(x3 − 2x) ) (3x2 − 2) ; f ′2(x) = 1 4 (x2 + 1)−3/42x = x 4 √ (x2 + 1)3 2 . Portanto f ′(x) = [ 3 cos(x3 − 2x) + (3x− 1) ( − sen(x3 − 2x) ) (3x2 − 2) ] 4 √ x2 + 1− (3x− 1) cos(x3 − 2x) [ x 4 √ (x2+1)3 2 ] [ 4 √ x2 + 1 ]2 (b) Como a func¸a˜o mo´dulo na˜o e´ deriva´vel em tg(5(x0)3) = 0, na˜o podemos usar as regras de derivac¸a˜o. Logo, precisamos usar a definic¸a˜o de derivada, isto e´, calcular lim x→0 g(x)− g(0) x− 0 = limx→0 |tg(5x3)| x . Notemos que tg(5x3) > 0 em ]0, 3 √ pi 10 [ e tg(5x 3) < 0 em ] − 3 √ pi 10 , 0 [. Dessa forma, para calcular o referido limite temos que calcular os limites laterais. Calculando esses limites temos: lim x→0+ g(x)− g(0) x− 0 = limx→0+ |tg(5x3)| x = lim x→0+ tg(5x3) x = lim x→0+ sen(5x3) cos(5x3)x = lim x→0+ [ sen(5x3) 5x3 5x2 cos(5x3) ] ; lim x→0− g(x)− g(0) x− 0 = limx→0− |tg(5x3)| x = lim x→0− −tg(5x3) x = lim x→0− −sen(5x3) cos(5x3)x = lim x→0− [ sen(5x3) 5x3 5x2 cos(5x3) (−1) ] . De lim x→0 5x2 cos(5x3) = 0 1 = 0 e lim x→0 sen(5x3) 5x3 = lim u→0 senu u = 1 ( pois, lim x→0(5x 3) = 0 e 5x3 6= 0 para x ∈ ] − 3 √ pi 10 , 3 √ pi 10 [ \ {0} ) conclu´ımos que lim x→0+ 5x2 cos(5x3) = lim x→0− 5x2 cos(5x3) = lim x→0 5x2 cos(5x3) = 0 ; lim x→0+ sen(5x3) 5x3 = lim x→0− sen(5x3) 5x3 = lim x→0 sen(5x3) 5x3 = 1 . Logo lim x→0+ [ sen(5x3) 5x3 5x2 cos(5x3) ] = 1 .0 = 0 e lim x→0− [ sen(5x3) 5x3 5x2 cos(5x3) (−1) ] = 1 .0 .(−1) = 0, ou seja lim x→0+ g(x)− g(0) x− 0 = limx→0− g(x)− g(0) x− 0 = 0 . Portanto g e´ deriva´vel em x0 = 0 e g ′(0) = lim x→0 g(x)− g(0) x− 0 = 0 . (c) Como g e´ deriva´vel em x0 = 0 temos que h e´ deriva´vel em x0 = 0. Assim, a func¸a˜o k e´ produto de func¸o˜es deriva´veis em x0 = 0. Logo, k e´ deriva´vel em x0 = 0 e k′(0) = f ′(0)h(0) + f(0)h′(0). Dos itens anteriores temos que f(0) = −1, f ′(0) = 3, h(0) = g(0) + 2 = 2 e h′(0) = g′(0) + 3 = 3. Portanto k′(0) = 3 . 2 + (−1) . 3 = 6− 3 = 3 . Questa˜o B4) Sejam f(x) = (2x− 1) cos(x3 − 4x) 4 √ x2 + 1 , para x ∈ IR ; g(x) = | tg(4x3) | e h(x) = g(x) + 5x+ 3 , para x ∈ ] − 3 √ pi 8 , 3 √ pi 8 [ . (1.5) (a) Calcule f ′(x) , para todo x ∈ IR. (1.0) (b) A func¸a˜o g e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule g′(0). (0.5) (c) A func¸a˜o k(x) = f(x)h(x) e´ deriva´vel em x0 = 0? Em caso afirmativo, calcule k′(0). (a) Sejam f1(x) = (2x− 1) cos(x3 − 4x) e f2(x) = 4 √ x2 + 1 = (x2 + 1)1/4 . Enta˜o f ′(x) = f ′1(x)f2(x)− f1(x)f ′2(x) [f2(x)]2 , onde f ′1(x) = 2 cos(x3 − 4x) + (2x− 1) ( − sen(x3 − 4x) ) (3x2 − 4) ; f ′2(x) = 1 4 (x2 + 1)−3/42x = x 4 √ (x2 + 1)3 2 . Portanto f ′(x) = [ 2 cos(x3 − 4x) + (2x− 1) ( − sen(x3 − 4x) ) (3x2 − 4) ] 4 √ x2 + 1− (2x− 1) cos(x3 − 4x) [ x 4 √ (x2+1)3 2 ] [ 4 √ x2 + 1 ]2 (b) Como a func¸a˜o mo´dulo na˜o e´ deriva´vel em tg(4(x0)3) = 0, na˜o podemos usar as regras de derivac¸a˜o. Logo, precisamos usar a definic¸a˜o de derivada, isto e´, calcular lim x→0 g(x)− g(0) x− 0 = limx→0 |tg(4x3)| x . Notemos que tg(4x3) > 0 em ]0, 3 √ pi 8 [ e tg(4x 3) < 0 em ]− 3 √ pi 8 , 0 [. Dessa forma, para calcular o referido limite temos que calcular os limites laterais. Calculando esses limites temos: lim x→0+ g(x)− g(0) x− 0 = limx→0+ |tg(4x3)| x = lim x→0+ tg(4x3) x = lim x→0+ sen(4x3) cos(4x3)x = lim x→0+ [ sen(4x3) 4x3 4x2 cos(4x3) ] ; lim x→0− g(x)− g(0) x− 0 = limx→0− |tg(4x3)| x = lim x→0− −tg(4x3) x = lim x→0− −sen(4x3) cos(4x3)x = lim x→0− [ sen(4x3) 4x3 4x2 cos(4x3) (−1) ] . De lim x→0 4x2 cos(4x3) = 0 1 = 0 e lim x→0 sen(4x3) 4x3 = lim u→0 senu u = 1 ( pois, lim x→0(4x 3) = 0 e 4x3 6= 0 para x ∈ ] − 3 √ pi 8 , 3 √ pi 8 [ \ {0} ) conclu´ımos que lim x→0+ 4x2 cos(4x3) = lim x→0− 4x2 cos(4x3) = lim x→0 4x2 cos(4x3) = 0 ; lim x→0+ sen(4x3) 4x3 = lim x→0− sen(4x3) 4x3 = lim x→0 sen(4x3) 4x3 = 1 . Logo lim x→0+ [ sen(4x3) 4x3 4x2 cos(4x3) ] = 1 .0 = 0 e lim x→0− [ sen(4x3) 4x3 4x2 cos(4x3) (−1) ] = 1 .0 .(−1) = 0, ou seja lim x→0+ g(x)− g(0) x− 0 = limx→0− g(x)− g(0) x− 0 = 0 . Portanto g e´ deriva´vel em x0 = 0 e g ′(0) = lim x→0 g(x)− g(0) x− x0 = 0 . (c) Como g e´ deriva´vel em x0 = 0 temos que h e´ deriva´vel em x0 = 0. Assim, a func¸a˜o k e´ produto de func¸o˜es deriva´veis em x0 = 0. Logo, k e´ deriva´vel em x0 = 0 e k′(0) = f ′(0)h(0) + f(0)h′(0). Dos itens anteriores temos que f(0) = −1, f ′(0) = 2, h(0) = g(0) + 3 = 3 e h′(0) = g′(0) + 5 = 5. Portanto k′(0) = 2 . 3 + (−1) . 5 = 6− 5 = 1 . MAT 2453 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I 1°semestrede2007- lUPROVA - 10/04/2007 TURMA: Nome Assinatura NúmeroUSP Professor: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS Nesta prova, não se pode usar a Regra de L'Hospital , QuestãoAI) (Valor:2.0)Dentreasretasquesão,simultaneamente,tangentesaográficodafunção f (x)=x3+3x2+3x+5 eparalelasàretay=3x+1, determine,casoexistam,aquelasquepassam peloponto(-1,6). flx.) ~ ;C -\:3 -i!;+ 3?\. +-5 (h,'): 't ~ 37L -\- .i- 1: : ~ ~'G.. CLO G~f (-1:;): l\- f(~)~ f)C"to)(~-)(o) -VYY\ (:to, fl~)) cr -r~ -t li h.- 4=t>fC7tc) =-3 ~ 3(~+2-to+i)~3<1=t> -F(-L) ~ 3 (1-1)~- S " :.'>(~- D) (tI) : ~=- 3 IL + 5 lt~)~- 3 == 3 lÃ.1-2-) lt7-') " ~ ~ 3)L + q Questão Nota 1 2 3 4 A-Total f r (-4,''>'7- · (-I \ (:') 4:- t ) F =--1 W o (- 1, c,) 8 t z- , )L =- - 1 MAT 2453- Cálculo Diferenciale Integral para EngenhariaI 1Q semestrede2007- 1aPROVA - 10/04/2007 TURMA: Nome Assinatura NúmeroUSP Professor: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS Nesta Drova.não se pode usar a Regra de L'Hospital , - QuestãoBl) (Valor:2.0)Dentreasretasquesão,simultaneamente,tangentesaográficodafunção f (x)=x3+3x2+4x+8 eparalelasàretay= 4x+1, determine,casoexistam,aquelasquepassam peloponto(-1,8). . fL"A..) = 3x..~+(.,Á-+4 CJI.-'): ~ -::- Lt /L + i t: JU/b- ~ eM)G~f lt): tA -- fC~)~f)C~)(À-~ »W\ (~,iCK.o)) (f, -l~ -t/J l'v 4==t>f'C:to ') =- 4- ~ 3~+ Co~+ 4- ==-4- 49:> 3 (~ +21-0') ~O ~ ~ ~ O ~ "tv~ --g ~tCV\A.~ f(O) = ~ ~ f (-02) = 4- ~ ~n~ ~/I-~ ) (ti) {J - í? : Lf (À -O) 't"-'- f>"'<N~<V~- - I lJ- = h- + g lt2-) ~ -4 = 4(X+02) ~ ~ Lt/L -1- f~ f~ r (:-11g) ? . (-, \ ~') ~ t, 1 F ~ ::-- ~ o l-I, g') E- t02-I ~ )L ::-- ~ L~ I lÀ ~- ~ MA:L ~ck ti =t> C1 ~ Lf ~~~1z-:9) ~=~ ~ CÀ- ~ olJL Questão Nota 1 2 3 4 B-Total
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