P1 2009

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Questão 1: (4,0) Seja f(x) = x - 3 .
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a) Determine o domínio de f e, caso existam, as assíntotas.
b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, bem como os
pontos de máximo e de mínimo locais.
c) Mostre que o gráfico de f tem um único ponto de inflexão a > 5. Estude a
concavidade de f em função de a.
d) Use (a), (b) e (c) para esboçar o gráfico de f.
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Lluestão 2: (Os dois itens são independentes.)
4(2,0) a) Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de j(x) = 2 (figura
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abaixo) e sua reta tangente no ponto de abscissa x = 1.
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Questão 2: (Os dois itens são independentes.)
(2,0) a) Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f(x) =
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4 (figura .5
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abaixo) e sua reta tangente no ponto de abscissa x = -1.
(1,0) b) Calcule, caso existam, lim (lnx)1/(X3-1) e lim (lnx)1/(x3-1).
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Questa˜o 3-a): (1,5) Prove que tg(x) ≥ x + x
3
3
, para todo x ∈ [0, pi
2
[.
Resoluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o g(x) = tg(x)− x− x
3
3
, com x ∈ [0, pi
2
[.
Como g(0) = 0, basta mostrar que g e´ estritamente crescente, ou seja, que g′(x) > 0,
∀x ∈]0, pi
2
[.
De fato, g′(x) = sec2(x)− 1− x2 = tg2(x)− x2 = (tg(x)− x)(tg(x) + x).
Como tg(x) > 0 e x > 0, para x ∈]0, pi
2
[, basta mostrar que h(x) = tg(x)−x > 0, para
x ∈]0, pi
2
[.
Mas h(0) = 0 e h′(x) = sec2(x)− 1 = tg2(x) > 0, para x ∈]0, pi
2
[. cqd
Questa˜o 3-b): (1,5) Calcule, se existir, lim
x→0
[
1
x
− 1
ln(x + 1)
]
.
Resoluc¸a˜o:
lim
x→0
[
1
x
− 1
ln(x + 1)
]
=lim
x→0
ln(x + 1)− x
x ln(x + 1)
=
Como a indeterminada e´ do tipo 0
0
, aplicando as regras de L’Hospital, temos:
=lim
x→0
1
x+1
− 1
ln(x + 1) + x
x+1
=lim
x→0
1−x−1
x+1
(x+1) ln(x+1)+x
x+1
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x→0
1− x− 1
(x + 1) ln(x + 1) + x
=lim
x→0
−x
(x + 1) ln(x + 1) + x
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∀x ∈]0, pi
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.
Questão 1: (4,0) Seja f(x) = x2- 2
.
x - 3
a) Determine o domínio de f e, caso existam, as assÍntotas.
b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, bem como os
pontos de máximo e de mínimo locais.
c) Mostre que o gráfico de f tem um único ponto de inflexão a > 3. Estude a
concavidade de f em função de a.
d) Use (a), (b) e (c) para esboçar o gráfico de f.
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