Cálculo Diferencial E Integral (28)

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A
Questão 1: Considerea parábolay = bx2,comb~ 1. Façaumesboçodaregiãocompreen-
didaentrea parábolae a retay =x, comO~x ~ 1.
a) (1,5)Calculea áreadestaregiãoemtermosdeb.
b) (1,5)Determine,seexistir,bE [1,3]parao quala áreaémáxima.Justifique.
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Questão 1: Considerea parábolay =bx2,comb 2:: 1. Façaum esboçoda regiãocompreen-
didaentreaparábolaearetay= x, comO:::;x :::;1.
a) (1,5)Calculea áreadestaregiãoemtermosdeb.
b) (1,5)Determine,seexistir,bE [1,2]parao quala áreaémáxima.Justifique.
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1(-)-60
f(x)
MAT2453 - POLI
Gabarito - P2 - Questa˜o 3
Prova Tipo A
(a) Temos que (1 + 3x)1/arctan x = e
ln(1+3x)
arctan x . Ale´m disso, pela regra de
L’Hospital,
lim
x→0
ln(1 + 3x)
arctan x
= lim
x→0
3
1+3x
1
1+x2
= 3 .
Logo, limx→0(1 + 3x)
1
arctan x = e3.
(b) Como f ′(x) = 5x4 + 9x2 + 3 ≥ 3 para todo x ∈ R, segue que
g′(y) =
1
f ′(g(y))
≤ 1
3
,
para qualquer y ∈ R. Pelo teorema do valor me´dio, concluı´mos que
dados a, b ∈ R com a < b, existe c ∈ (a, b) tal que
g(b) − g(a) = g′(c)(b − a) ≤ 1
3
(b − a) ,
como querı´amos.
1
MAT2453 - POLI
Gabarito - P2 - Questa˜o 3
Prova Tipo B
(a) Temos que (1 + 2x)1/arctan x = e
ln(1+2x)
arctan x . Ale´m disso, pela regra de
L’Hospital,
lim
x→0
ln(1 + 2x)
arctan x
= lim
x→0
2
1+2x
1
1+x2
= 2 .
Logo, limx→0(1 + 2x)
1
arctan x = e2.
(b) Como f ′(x) = 5x4 + 3x2 + 2 ≥ 2 para todo x ∈ R, segue que
g′(y) =
1
f ′(g(y))
≤ 1
2
,
para qualquer y ∈ R. Pelo teorema do valor me´dio, concluı´mos que
dados a, b ∈ R com a < b, existe c ∈ (a, b) tal que
g(b) − g(a) = g′(c)(b − a) ≤ 1
2
(b − a) ,
como querı´amos.
1