Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (70)

Prévia do material em texto

A ~ -B-
Questão 2. (2,5 pontos) Considere a região
{
V3 1 1
}R = (x, y) E 1R2 : O $ x $ _2 ' - . $ y $ ..../1 _".2 .../1 _".2
a) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y = 2.
b) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo Oy.
y
2
~
1
-1
,"-
~
I{3
,'/,=.'~- ~~
~I
I
I
I
-2 ~
- - - - - - - - -1y=-
"l_x2
x
()
o
_ Oo~c:.. no')"'"
~
ITd-
,
..Q.
cio 0..~X\~
li
( ~ y~
d~ Q QJ:~Á"', c- c1 / ~1J rvoÀ- Q &CL bCh.-L
- ~ 1\
-
~
;L
'~8Lt 0<\ ~
I
O '-J ~ 'N'\ e- tJL~dD Jt -À
~
v...G9- O-
02 (-;" -
~)~ ,:)1\
Questão 3 - A
a) Calcule
∫ 3√3
3
1
x2
√
x2 + 9
dx
b) Mostre que o gráfico da função F :]0,+∞[−→ R dada por
F(x) =
∫ 1/x3
1
(
1
1 + t4
+ t−4/3
)
dt − 3
∫ 0
x
t8
1 + t12
dt
é parte de uma reta. Determine o coeficiente angular dessa reta.
Solução:
a) Fazendo a substituição x = 3 tan(θ) e, em seguida, u = sen(θ) obtemos∫ 3√3
3
1
x2
√
x2 + 9
dx =
∫ pi/3
pi/4
3 sec2(θ)
9 tan2(θ)
√
9 tan2(θ) + 9
dθ =
1
9
∫ pi/3
pi/4
sec(θ)
tan2(θ)
dθ
=
1
9
∫ pi/3
pi/4
cos(θ)
sen2(θ)
dθ =
1
9
∫ √3/2
√
2/2
1
u2
du = (− 1
9u
)
√
3/2
√
2/2
=
2
9
(
1√
2
− 1√
3
)
b) A derivada da função F é constante
F′(x) =
 11 + ( 1x3 )4 + x4
 (− 3x4
)
+ 3
x8
1 + x12
= − 3x
8
1 + x12
− 3 + 3x
8
1 + x12
= −3
Portanto F(x) = −3x + c. O gráfico de F é uma reta com coeficiente angular −3.
4uestao 4. ~~,U pontos)
a) Seja n ~ 1 um inteiro. Determine Pn(x) o Polinômio de Taylor de ordem n de f(x) = e2x em
torno do ponto x = O. Obtenha uma expressão para o erro En(x) = f(x) - Pn(x), em que
x E IR.
1
b) Use o polinômio do item anterior para estimar 12 xlOe2xdx com erro menor que 10-5.
~ ) f (x) =:. 122>< =p- I ( () ) '='- I
I 'l..X ()/ ( )f {x} -::: :llt .:::V- r é) ::::: l
f 'I ) 2- LV 2,(x .::::;l~ =J-f//{D}=.Z
/
(Ih)/ ) _ 1)" 2.>< ,p("nl/ } 'h(X - ~ ~ ~J> I (O =-2
o
.. ..
- 1 :l.. + :l
-
-t - 1'2.__
11 . ,;2." I~.;;' 1'>'21'"