matematica3ano 2006

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COMANDO DA AERONÁUTICA 
DEPARTAMENTO DE ENSINO DA AERONÁUTICA 
ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES-DO-AR 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO 3O ANO DO CPCAR 2006 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
 
20 de AGOSTO de 2005 
 
Transcreva este dado para o seu cartão de respostas 
VERSÃO: A 
 
ATENÇÃO! ESTA PROVA CONTÉM 25 QUESTÕES. 
 
 
01 - Sejam os números a g (ý – ü), b i (þ – ý), c i ü* e d i û. 
Assinale a opção correta. 
 
a) (a . b + d) i ü c) 
a
b
 i (þ – ý) 
b) c . d i û* d) b . d i (þ – ý) 
 
 
02 - Em uma pesquisa realizada num grupo de 100 alunos do 
CPCAR, constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e 
francês, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e 
francês. O número de alunos que falam espanhol é, 
precisamente, 50% maior que o número daqueles que falam 
francês. 
Com base nessas informações, julgue os itens abaixo, 
classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos. 
 
( ) O número de alunos que falam francês é igual a 60, 
do número dos que falam espanhol. 
( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três línguas e 5 
não falam nenhuma dessas línguas, então mais da 
metade dos alunos falam francês. 
( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três línguas, 
espanhol, inglês e francês, enquanto 5 deles não falam 
nenhuma dessas línguas, então exatamente 24 desses 
alunos falam apenas inglês. 
 
A seqüência correta é: 
 
a) V – V – F c) V – F – F 
b) F – V – V d) F – F – V 
 
 
03 - O custo médio para a fabricação de x unidades de um 
produto é 
x
1001Cm += unidades de moeda. 
Se o preço de venda for igual ao custo médio acrescido de 
seus 30%, então o preço de venda 
 
a) para 100 unidades é de 1,3 unidades de moeda. 
b) é constante, independente do número de unidades 
vendidas. 
c) é decrescente somente para x > 130 
d) é de 131,30 unidades de moeda para 1 unidade vendida. 
 
 
04 - Os valores de x i þ, para os quais a função real dada por 
61x25)x(f −−−= está definida, formam o conjunto 
 
a) [0, 1] c) [–5, 0] N [1, 6] 
b) [–5, 6] d) [–5, 0] N [1, +∞[ 
 
05 - Considere a função real cujo gráfico está representado 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se afirmar que os valores de x para os quais 
0 P f(x) R h são: 
 
a) ]a, g[ – ( ]c, d[ N ]f, g[ N ]a, b] N {e} ) 
b) ]b, f] – {e} 
c) ]a, g[ – ( [c, d] N [f, g[ ) 
d) ]a, g[ – ( ]a, b] N [f, g[ N {e} ) 
 
 
06 - Uma função f é definida em A e tem imagem em B. Sabe-se 
que o conjunto A tem 2k – 2 elementos e o conjunto B tem 
k + 3 elementos, com k Q 1. Neste caso, é correto afirmar 
que 
 
a) se f é injetora, então k é estritamente igual a 5 
b) o número máximo de funções injetoras que podem ser 
definidas de A em B é dado pelo arranjo de (k + 3) 
elementos tomados (2k – 2) a (2k – 2) elementos. 
c) se f é sobrejetora, então 1 P k R 5 
d) f é bijetora para todo k 
 
 
07 - Dada a função real f, tal que f(5x + 3) = x. Sendo 1f− a 
inversa de f, pode-se afirmar que 
 
a) 28)5)(fof( 1 =− c) (fof)(–7) = 1 
b) 1f− é função ímpar. d) x)x)(fof( 1 =− 
 
 
08 - Um laboratório de informática tem 6 computadores 
C1, C2, C3, ..., C6, que podem estar ligados ou desligados, 
independentes uns dos outros. Existem várias combinações 
de computadores desligados. Cada uma dessas 
combinações é identificada por um conjunto M diferente. Se, 
por exemplo, M = {C1, C3} significa que os computadores 
C1 e C3 estão desligados e M = ∅, quando nenhum está 
desligado. Seja F o conjunto das funções do tipo 
f(M) = m1m2m3m4m5m6, em que mi = 0 se Ci i M e mi = 1 se 
Ci h M. Com base nisso, julgue os itens abaixo em 
(V) verdadeiros ou (F) falsos. 
 
(01) Se M = {C2, C4, C6}, então f(M) = 101010 
(02) f(∅) = 111111 
(04) Se f(M) = 000111, então os computadores C4, C5 e C6 
estão desligados. 
(08) Se f(M) = 100100, então os computadores C2, C3, C5 e 
C6 estão desligados. 
 
A soma dos itens verdadeiros é 
 
a) 15 c) 10 
b) 11 d) 3 
 
 CPCAR 2006 MATEMÁTICA – 3o ANO – VERSÃO A 2
09 - Uma loja anuncia a seguinte promoção: para uma compra de 
até 500 reais, nenhum desconto. Nas compras acima de 
500 reais, desconto de 20% sobre o que exceder a esse 
valor. Seja f a função que fornece o valor a pagar f(x), em 
reais, para uma compra x (x S 0), em reais. Com base nisso, 
pode-se dizer que uma pessoa que 
 
a) fizer uma compra de 1200 reais vai pagar 1060 reais. 
b) fizer uma compra de 1000 reais economizará 250 reais. 
c) pagar 1000 reais fez uma compra de 1225 reais. 
d) pagar 1200 reais economizou 300 reais. 
 
 
10 - Um empresário produz e comercializa dois modelos de 
aeronaves. Sua função custo total é estimada em 
C = x2 + 2y2 – xy, em que x é o número de unidades do 
modelo T-27 e y é o número de unidades do modelo AMX 
produzidas. A capacidade de produção anual é de 
8 aeronaves, independente de quais modelos são 
produzidos. Quantas aeronaves de cada modelo devem ser 
produzidas anualmente para minimizar o custo, sabendo que 
ele deve produzir o máximo de aeronaves? 
 
a) A mesma quantidade de cada um dos modelos 
fabricados. 
b) O triplo do modelo AMX em relação ao T-27. 
c) Duas do modelo T-27 a mais que do AMX. 
d) Apenas uma aeronave do modelo T-27 e as demais, do 
modelo AMX. 
 
 
11 - Dada a função quadrática 
2
3
n
4
16nx
3
2
nx)x(f 2 lll −+= 
pode-se afirmar que 
 
a) o valor máximo de f é 
2n3n
3n2n
ll
ll
−
 
b) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o 
gráfico de f possui concavidade para cima. 
c) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o 
gráfico de f possui concavidade para baixo. 
d) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. 
 
 
12 - Considerando a função real f, definida por xlog
3
x)x(f = , onde 
0 < x @ 1, assinale a alternativa correta. 
 
a) O gráfico de f é uma curva que possui assíntota. 
b) log[f(10)] = 1 
c) O conjunto imagem de f é {1000} 
d) log{log[f(4)]} < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 - Para medir ruídos, usa-se um aparelho, cuja escala é 
definida por R = 12 + logI, em que R é a medida do ruído, 
em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m2. No Brasil, a 
unidade utilizada é o decibel (1 decibel = 
10
1
 do bel). 
Sabendo-se que o limite a partir do qual o ruído passa a ser 
nocivo ao ouvido humano é de 80 decibels, assinale a 
alternativa correta. 
 
a) A intensidade sonora de ruído de 100 decibels é de 
2.10–1 W/m2 
b) Se o ruído de um avião a jato é RA = 160 decibels e o 
ruído do tráfego em uma esquina movimentada é 
RB= 80 decibels, então, pode-se dizer que a intensidade 
sonora desse avião é o oposto da intensidade sonora da 
esquina movimentada. 
c) Uma intensidade sonora maior que 410
1
 W/m2 produz 
um ruído que não é nocivo ao ouvido humano. 
d) A intensidade sonora de uma explosão de 200 decibels é 
de 108 W/m2 
 
 
14 - Analise as proposições seguintes e classifique-as em 
(V) verdadeiras ou (F) falsas. 
 
( ) A equação )
4
x(tgx2tg pi+= tem como solução o 
conjunto }k,k
4
xx{ ����� pi+pi= 
( ) O período da função f de þ em þ definida por 
f(x) = 1 + cos2x – sen2x é igual a pi 
( ) O valor mínimo da função f: [–1, 1] → [0, pi] definida por 
f(x) = 2arc cos x é 1 
( ) Se sen (pi – x) = a , então a)
2
3
xcos( −=pi− 
 
A seqüência correta para essa classificação é: 
 
a) F – V – V – V c) F – V – V – F 
b) V – V – F – V d) V – F – V – F 
 
 
15 - O comandante de um navio situado num ponto A avista otopo C de uma torre de altura h segundo um ângulo 2α com 
a horizontal e avista também uma janela da torre segundo 
um ângulo α com a horizontal como mostra a figura. Sabe-se 
que essa janela está situada a 
3
h
 do solo e a distância BA é 
de 20 m. Nessas condições, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) h g [50, ∞[ c) h g û 
b) h g ]0, 40] d) não é possível calcular h. 
 
 
 
 CPCAR 2006 MATEMÁTICA – 3o ANO – VERSÃO A 3
16 - Na seqüência (a1, a2, ..., a8), os cinco primeiros termos 
formam uma progressão aritmética de primeiro termo 1; os 
três últimos formam uma progressão geométrica de primeiro 
termo 2. Sabendo que a5 = a6 e a4 = a7, a diferença entre a 
soma dos termos da P.A. e a soma dos termos da P.G. é um 
número 
 
a) inteiro negativo. c) irracional negativo. 
b) quadrado perfeito. d) racional positivo. 
 
 
17 - Numa P.G. infinita, os três primeiros termos são números 
inteiros cuja soma é 26. Se o primeiro, o dobro do segundo e 
o triplo do terceiro formam, nessa ordem, uma P.A., então a 
soma dos infinitos termos da P.G. é 
 
a) 27 c) 46 
b) 38 d) 54 
 
 
18 - Sabendo-se que a matriz quadrada A de ordem 2 é dada por 





≠−
=
+
=
jiseji2
jise
2
ji
aij e B é a transposta de A, determine a 
matriz C, sendo B(ACt)–1 = B–1At 
 
a) 





−
−
76
32
2
1
 c) 










−
−
13
2
3
2
7
 
b) 










−
2
1
2
3
01
 d) I2 
 
 
19 - Julgue as sentenças quais sejam (V) verdadeiras ou 
(F) falsas e assinale a alternativa correspondente à 
seqüência correta. 
 
( ) Ao multiplicar-se por 3 duas linhas e dividir por 2 as 
colunas de uma matriz de ordem três, seu determinante 
fica multiplicado por 
8
27
 
( ) O determinante 
15651
11711
13031
 é múltiplo de 13 
( ) O valor do determinante 
1zcoszsen
1ycosysen
1xcosxsen
22
22
22
 é zero 
 
a) F – V – F c) V – V – V 
b) F – V – V d) F – F – V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 - Considere o sistema linear





=+
=+
=−+
0pzx4
qyx3
0z4y3x
 nas variáveis 
x, y e z, com p e q i þ 
 
É correto afirmar que: 
 
a) se p = q = 0, o sistema terá soluções além da trivial. 
b) se p = 2 e q = 1, o sistema terá mais de uma solução. 
c) existe algum valor de p para o qual o sistema é 
impossível, quando q = 0 
d) o sistema terá uma única solução se o determinante de 
sua matriz incompleta não for nulo, qualquer que seja o 
valor de q. 
 
 
21 - Sejam os conjuntos disjuntos A = {a1, a2, a3, a4, a5} e 
B = {b1, b2, b3, b4, b5}. Pode-se formar n subconjuntos de 
A N B, com quatro elementos, nos quais não existem ai, bj 
com i = j, onde 1 R i R 5 e 1 R j R 5. Nessas condições, o 
valor de n é igual a 
 
a) 210 c) 70 
b) 80 d) 60 
 
 
22 - De acordo com o triângulo de Pascal, pode-se afirmar que 
 
a) 





−
−
+




 −
=





+
−
1b
1a
b
1a
1b
2a
 em que a > b + 3 
b) 





−
=





+ qp
m
qp
m
 somente para m = 2p 
c) 1024
i
1010
1i
=





∑
=
 
d) 





+
+
=





+
+
+





+
+
3d
2c
3d
1c
2d
1c
 em que c Q d + 2 
 
 
23 - Dois jogadores vão lançar um par de dados. Eles combinam 
que vence aquele que acertar a soma dos números. Assim 
sendo, 
 
a) terá maior chance de vencer o jogador cuja aposta é na 
soma 12 
b) aquele que apostar na soma 5 terá mais chance de ser 
vitorioso. 
c) não se pode dizer nada sem o conhecimento dos 
números sorteados. 
d) aquele que apostar na soma 4 terá mais chances de 
acertar do que aquele que apostar na soma 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CPCAR 2006 MATEMÁTICA – 3o ANO – VERSÃO A 4
24 - Num octaedro regular inscreve-se uma pirâmide 
quadrangular regular (conforme figura). Os vértices da base 
da pirâmide são os pontos médios das arestas do octaedro, 
que medem 4 cm cada uma. O volume da pirâmide, 
em cm
3
, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 28 c) 22 
b) 24 d) 2 
 
 
25 - Um cone de revolução apresenta 18 cm de perímetro da 
seção meridiana e sua superfície lateral planificada forma 
um setor circular de ângulo central 288°. Ao efetuar uma 
seção transversal neste cone, obtém-se um tronco cuja 
razão entre as áreas das bases é 
9
4
. O volume deste tronco 
é, em cm3, 
 
a) 
9
308pi
 c) 
27
304pi
 
b) 
9
112pi
 d) 
27
128pi